VbIshka / Специальные главы математики 2
.pdf
|
|
|
11 |
|
|
1) |
y(4) |
3y 4 y 3y y 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3x 2z |
2) |
y |
6 y 11y 6 y 0, |
3) |
|
|
y x 2 y z |
|||||
|
|
|
|
|
z x y |
|
|
|
|
|
|
2.Исследовать, при каких значениях параметров нулевое решение асимптотически устойчиво
1)y ay by 2y 0
2)y( 4) 2y 4y ay by 0
Практические занятия 11-12. Нелинейные системы. Устойчивость по первому приближению. Геометрические методы анализа устойчивости.
Литература [3,6,7,8,11]
Задачи.
1.Исследуйте на устойчивость нелинейные системы дифференциальных уравнений:
а) найдите положения равновесия (неподвижные точки)
б) постройте линеаризованную систему в окрестности каждой неподвижной точки и определите характер неподвижных точек с) схематично постройте фазовые траектории в окрестности положений
равновесия. В том случае, если неподвижная точка является центром, проведите дополнительные исследования.
x x2 y2 2x 1) y 3x2 x 3y
x (2x y)(x 2)
3) y xy 2
x ln( 5 2x 2 y) |
|||||||||||
2) |
y exy |
1 |
|||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x y) |
2 |
3 2 |
||||||
4) |
x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
y |
2 |
x |
|
|
||
|
|
y |
|
e |
|
e |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x tg(z y) 2x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
2 |
6) |
|
|
9 12x 3e |
y |
||||||||||
5) x |
x |
|
|
x |
y |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 3y |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.Исследовать, при каких значениях параметров нулевое решение системы является устойчивым
x y sin x
1)y ax by y2
x ax 2 y x2
2)y x y xy
Практическое занятие 13. Защита расчетно-графической работы по теме 4 «Элементы теории устойчивости» (РГР № 7, 8, 9).
Вопросы, выносимые на защиту:
1. Понятие устойчивости линейных систем. Критерий Гурвица.
2. Логарифмический вычет и принцип аргумента для функции комплексного переменного. Применение принципа аргумента к исследованию на устойчивость линейных систем на примере критерия устойчивости Михайлова.
3. Нелинейные системы. Устойчивость по первому приближению. Теорема о линеаризации.
Литература [3,6,8,11]
Практическое занятие 14. Вариационное исчисление: уравнение Эйлера, экстремали
Литература [7,11]
Задачи.
Найти экстремали функционала, удовлетворяющие заданным граничным условиям.
|
|
|
|
2 |
y |
2 |
|
y(0) y( ) 0 |
1) |
|
|
|
)dx, |
||||
I ( y) (4 y cos x ( y ) |
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: y sin x(C x) ) |
|
|
|
|
|
|||
|
e |
|
2 |
|
|
|
|
|
2) |
I ( y) (2 y x |
2 |
dx, |
y(1) e, y(e) 0 |
||||
|
( y ) |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: y ex ln x )
13 |
|
3.Материальная точка перемещается вдоль |
плоской кривой y y(x), |
соединяющей точки M 0 (0,0) и M1 (1,1) со |
скоростью v x . Найдите |
кривую, двигаясь по которой материальная точка попадет из одной точки в другую за наименьшее время. (Ответ: y 
1 x 2 1)
Практическое занятие 15. Вариационное исчисление: задачи с подвижными границами
Литература [7,11]
Задачи
Найти экстремали в задачах с подвижными границами
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) I ( y) |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2, |
y(x1) x1 |
|||||
( y ) |
dx, y(x0 ) x0 |
|||||||||||||||
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( y x |
11 |
, x |
|
|
1 |
|
, x |
11 |
) |
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4 |
|
|
2 |
|
|
1 |
8 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) I ( y) ( y |
2 |
)dx, y(0) |
0 |
|
||||||||||||
( y ) |
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( y |
1 |
x(1 x) ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Практические занятия 16-17. Максимум Понтрягина.
Литература [7,11]
Задачи.
|
|
U |
|
||
|
|
|
|
||
1.Объект управления задается уравнением x |
k |
. Определите алгоритм |
|||
|
|||||
оптимального управления, который обеспечит перевод объекта из начального
состояния x(0) 0, |
|
|
|
|
|
x(T ) 1, |
|
||
|
x (0) 0 в конечное состояние |
x (T ) 0 |
|||||||
за минимальное время T . |
Определите |
число |
и моменты переключений. |
||||||
Постройте кривую управления, кривые |
x(t), |
|
фазовые траектории. |
||||||
x (t), |
|||||||||
Заданы параметры |
|
U |
|
0,5 |
k 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Объект управления задается уравнением
14
T1 x x kU .
Определить алгоритм оптимального управления, который обеспечит перевод
объекта из начального состояния x(0) 0, |
|
0 |
в конечное состояние |
|||||||
x (0) |
||||||||||
|
x(T ) 1, |
|
|
минимальное |
время |
T |
при условии |
|||
|
x (T ) 0 за |
|||||||||
|
U |
|
10, |
k 1, |
T1 0,1 c . |
Определите число и |
моменты |
переключений. |
||
|
|
|||||||||
Постройте фазовый портрет и графики функций x(t), |
|
|
||||||||
x (t) |
|
|||||||||
Ответ : (T 0,59c)
Основная учебная литература, включая книги издательства «Лань»
1.Казунина, Г. А. Преобразования Фурье. Преобразования Лапласа: учеб. пособие для вузов [электронный ресурс] / Г. А. Казунина; ГУ КузГТУ. – Кемерово, 2009. – Режим доступа: http://library.kuzstu.ru/meto.php?n=90368&type=utchposob:common
2.Свешников, А. А. Прикладные методы теории случайных функций [электронный ресурс] / А. А. Свешников .– СПб.: Лань, 2011. – 464 с.
3.Алексеев, Д. В. Математика. Дифференциальные уравнения с элементами теории устойчивости: учеб. пособие для вузов [электронный ресурс] / Д. В. Алексеев, Г. А. Казунина, Н. В. Трушникова, Н. М. Латыпова; ГУ КузГТУ. – Кемерово, 2010. . – Режим доступа: http://library.kuzstu.ru/meto.php?n=90412&type=utchposob:common
Дополнительная учебная литература
4.Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости [электронный ресурс] / Б. П. Демидович.– СПб.: Лань, 2008. – 480 с. .–Режим доступа http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=123
5.Казунина, Г.А. Математика: элементы теории функций комплексного переменного: учеб. пособие для вузов [текст] / Г.А. Казунина, Г.А. Липина, Л.В. Пинчина; ГУ КузГТУ. –Кемерово, 2003. – 104 с.
6.Аграчев А. А. Геометрическая теория управления [электронный ресурс] / А. А. Аграчев, Ю. Л. Скачков. – М: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 336 с.
7.Гюнтер, Н. М. Курс вариационного исчисления [электронный ресурс] / Н. М.
Гюнтер. – СПб.: Лань, 2009. – 320 с.
8.Арнольд, В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения [текст] / В. И.
Арнольд. – М.: Наука, 1987. – 320 с.
9.Вентцель, Е. С. Теория вероятности [текст] / Е. С. Вентцель. – М.: Высш. шк.,
1999. – 575 с.
10.Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3: теория вероятностей и математическая статистика [текст]/ под ред. А. В. Ефимова. – М.: Наука, 1990. – 425 с.
7.3. Методическая литература
11.Казунина, Г.А. Специальные главы математики : 3 семестр [Электронный ресурс] : учебное пособие для самостоятельной работы студентов направления подготовки 140400.62 «Электроэнергетика и электротехника», профиль «Электропривод и автоматика» / Г.А. Казунина; КузГТУ- −Кемерово. – 2012. – Режим доступа:
http://library.kuzstu.ru/meto.php?n=90953&type=utchposob:common
15