Литература / Оптимизация труда_Огородников_2013

Существующие в настоящее время матема! тическиемоделиэкономическойдинамикипред! ставляют собой формальное описание мно! жеств вариантов развития экономической сис! темы, или траекторий экономики, удовлетворя! ющих тем или иным требованиям. Траектори! ей в дальнейшем будем называть отображение, которое каждому значению переменной време! ни ставит в соответствие состояние экономики в данный момент времени.

Если для переменной времени допускают! ся любые значения из некоторого интервала множеств вещественных чисел, то соответству! ющую модель называют моделью с непрерыв! но меняющимся временем, или непрерывной моделью. Если переменная времени принима! ет только целые значения, то говорят о модели с дискретным временем, или о дискретной мо! дели. Для описания зависимости производи! тельности труда от фондовооруженности или энерговооруженности предлагается функция Кобба!Дугласа.

Зависимость производительности труда от фондовооруженности можно описать в виде функции Кобба —Дугласа:

(1) По смыслу величина k является фондово!

оруженностью живого труда, а функция f{k) ус! танавливает зависимость производительности труда от фондовооруженности.

Динамикавеличиныkописываетсядиффе! ренциальным уравнением [1]

где s – норма накопления 0 ≤ s ≤ 1; η – постоян! ный (возможно меняющийся в зависимости от

совершенства фондов) коэффициент, учитыва! ющий затраты на возмещение, восстановление износа фондовооруженности.

Средитраекторий,удовлетворяющихурав! нению (2), существует особая, стационарная, траектория, вдоль которой начальное значение фондовооруженностисохраняетсяпостоянным во все моменты времени.

Однако поскольку к* — стационарное зна! чение, то выполняется равенство

Фонд потребления увеличивается лишь до тех пор, пока рост производительности труда, вызванный ростом k* (который в свою очередь является следствием увеличения нор! мы накопления), опережает рост величины со! вокупного возмещения η k . Формально не! обходимым условием максимума величины ñ(k ) в точке k является выполнение в этой точке равенства

Достаточные условия выполняются авто! матически, поскольку

Следовательно, из (5) при f(k ) = A (k )α получим оптимальную стационарную фондо! вооруженность

Соответствующее значение оптимальной нормы накопления находят из (3):

s = η k = α . (7) f(k )

Зависимостьмеждуфондовооруженностью и энерговооруженностью живого труда не яв! ляется линейной, то есть с увеличением энерго! вооруженности стоимость основных производ! ственных фондов увеличивается не прямо про! порционально,аснекоторымуменьшениемсто! имости единицы энерговооруженности. Иначе

– энергоемкость технологии растет быстрее, не! жели ее стоимость.

Если представить эту зависимость в виде

(8) р –энерговооруженность,кВт/чел.илил.с./чел.; а и λ – постоянные коэффициенты.

1

= k λ

Откуда p .

a

Тогда dk = d(a pλ ) = s A (a pλ )α − η a pλ dt dt

И, соответственно, оптимальная энергово! оруженность, соответствующая стационарной траектории развития, будет равна

По данным таблиц 1 и 2 получены средне! годовые показатели, приведенные в таблице 3.

Используя среднее отношение среднегодо! войфондовооруженностиксреднегодовойэнер! говооруженности, которое равно 5,41, были скорректированы среднегодовые показатели, представленые в таблице 4.

Далее по данным таблицы 4 были получе! ны методом наименьших квадратов математи! ческие модели, отражающие зависимости годо! вой производительности работающих от фон! довооружонности, фондовооруженности от энерговооруженности.

Зависимости годовой производительности работающих от фондовооруженности f(k) = A kα =1,149444 k0,69 . Коэффициент де! терминации равен 60%. Полученная зависи! мость представлена на рисунке 1.

Зависимость фондовооруженности от энерговооруженности k = a pλ =66,3466.p0,371824. Коэффициент детерминации равен 55%. Полученная зависимость представлена на рисунке 2.

Рисунок 1. Зависимость производительности труда от фондовооруженности

Зависимость между энерговооруженнос! тью живого труда и фондовооруженностью не является линейной, то есть с увеличением фон! довооруженности (стоимости основных произ! водственных фондов) рост энерговооруженно! сти замедляется, что соответствует закону па! дающей производительности факторов, то есть дальнейшее увеличение мощности машин и ме! ханизмов требует значительно больших зат! рат и, как следствие, энерговооруженность ра! стет медленнее, чем фондовооруженность. Это обусловлено тем, что с увеличением мощности силовой установки цена единицы мощности увеличивается. Таким образом, если предста! вить зависимость цены единицы мощности силовой установки от ее мощности в форме ω = pλ , где ω – цена единицы мощности сило! вой установки; p – мощность силовой уста! новки; λ – коэффициент пропорциональнос! ти (коэффициент эластичности цены едини! цы мощности силовой установки относитель! но ее мощности, показывающий на сколько процентов изменится ценаприизменениимощ! ности установки на один процент). Иначе –

энергоемкость технологии растет медленнее, нежели ее стоимость.

Тогда фондовооруженность работника можно выразить через энерговооруженность в виде уравнения k = a p ω = a p1+ λ , где р – энер! говооруженность, кВт/чел, или л. с./чел.; k – фондовооруженность, тыс. руб./чел.; a и λ – постоянные коэффициенты, причем коэффи! циент а характеризует долю стоимости основ! ных производственных фондов, приходящую! ся непосредственно на силовые агрегаты, а ко! эффициент λ характеризует пропорциональ! ность между стоимостью силовых агрегатов общей стоимостью основных производствен! ных фондов.

Дляобоснованияоптимальнойэнерговоору! женностиработниковможноприменить макро! экономическийподход,основанныйнаодносек! торноймоделиэкономическойдинамикиСолоу.

Следовательно, оптимальная энерговоору! женность будет равна

=799,16 л.с./чел.

На рис. 3 представлена динамика состав! ляющих модели развития предприятия в за!

s*f(p) Амортизация d/dt f(p) C(p)

Рисунок 3. Динамика составляющих модели

висимости от энерговооруженности работа! ющих.

Приэтомследуетожидатьгодовуюпроизво! дительность живого труда в приделах f(kîïò )=115,4 тыс. руб./чел. в год. При доле на! копления sîïò=0,69максимальноепотреблениесо! ставит c(kîïò ) =35,777 тыс. руб./чел. в год и s f(kîïò )=79,632тыс.руб./чел.вгоднаподдер! жаниефондовооруженностииэнерговооружен! ности на стационарном уровне, соответственно, kîïò=796,32тыс.руб./чел.и pîïò =799,16л.с./чел.

14.11.2012