8 Дослідження нелінійних сау методом фазової площини
8.1 Мета роботи
Метою роботи є дослідження нелінійних систем автоматичного управління методом фазової площини.
8.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів
Під час підготовки до лабораторної роботи студенти повинні повторити відповідний лекційний матеріал і дані практичних занять, ознайомитися з матеріалами, наведеними у літературі [3-9], а саме: нелінійні САУ, типи нелінійних елементів, методи дослідження нелінійних систем.
Програмою досліджень лабораторної роботи є побудова фазового портрету нелінійної системи за різних типів нелінійностей.
Метод фазової площини належить до аналітичних методів розв'язання нелінійних САУ за конкретних початкових умов і вхідних впливів. Метод дозволяє аналізувати нелінійні системи другого порядку і полягає у поданні динаміки САУ рухом зображуючої точки на фазовій площині. Метод засновано на побудові та вивченні фазового портрету, оскільки за ним можна судити про стійкість і рухи системи.
Нехай САУ описується нелінійним рівнянням виду:
p2 y F ( y, py) . (8.1)
Змінні стану, які збігаються з вихідною змінною і швидкістю, називають фазовими змінними:
x1 y, x2 py .
(8.2)
З урахуванням (8.2) рівняння (8.1) можна замінити двома рівняннями:
px1 x2 , px2 F(x1 , x2 ) . (8.3)
Перехідний процес у системі (8.3) розглядається на площині параметрів x1 та x2 (рис. 8.1), яку називають фазовою площиною.
Стан системи у кожний момент часу (або фаза руху) визначається парою чисел (X1, X2) і представляється на фазовій площині відображаючою точкою М0. Під час зміни стану системи відображаюча точка описує у фазовому просторі траєкторію. Ця траєкторія називається фазовою, а множина фазових траєкторій системи – її фазовим портретом.
69
x2
py
М0
x1 y
Рисунок 8.1 – Фазова траєкторія на фазовій площині
Диференціальне рівняння фазових траєкторій отримаємо, розділивши друге рівняння системи (8.3) на перше:
dx2
F (x1, x2 )
.
(8.4)
dx1
x2
Фазові траєкторії будуються за розв’язком рівняння (8.4), якщо його можна знайти, або безпосередньо за рівнянням (8.4) за допомогою методу ізоклін.
Ізокліною називають геометричне місце точок однакового нахилу фазових траєкторій до горизонталі, тобто точок, в яких
dx2
c const ,
(8.5)
dx1
де c tg – тангенс кута нахилу фазової траєкторії до горизонталі.
З (8.5) та (8.4) випливає рівняння ізоклін:
F (x1, x2 )
c .
(8.6)
x2
Задаючись різними значеннями С у межах
c
, за рівнянням (8.6)
будують сімейство ізоклін на фазовій площині. На кожну ізокліну наносять серію коротких спрямованих відрізків під кутом до горизонталі. Фазові траєкторії проводять так, щоб знайдені відрізки були дотичними до них.
70
8.3 Опис лабораторної установки
Лабораторна робота виконується у середовищі Matlab за допомогою пакета моделювання динамічних систем Simulink. Опис лабораторної установки наведено у пункті 1.3.
8.4 Порядок виконання роботи і методичні вказівки з її виконання
На рис. 8.2 наведено характеристики нелінійних елементів.
y
y
y
y
y
c
c
c
c
x
-b2
x
x
x
x
-b
-b
-b
-c
b
b2
b
-b
b
b
-c
-c
-c
а)
б)
в)
г)
д)
Рисунок 8.2. Характеристики нелінійних елементів:
ідеальна релейна характеристика (а); характеристика із зоною нечутливості та насиченням(б); релейна характеристика із зоною нечутливості (в); релейна характеристика з гістерезисом(г); люфт (д)
Побудувати віртуальний макет (рис. 8.3), який складається з настроєних відповідно до завдання нелінійних характеристик та послідовно підключеної лінійної частини, яку задано у завданні відповідно до варіанту (додаток Г).
Рисунок 8.3 – Віртуальній макет для моделювання
71
8.4.1 Для моделювання процесу побудови фазових портретів у нелінійних САУ спочатку потрібно у системі вибрати та настроїти задані нелінійності.
Для реалізації ідеальної релейної характеристики необхідно вибрати блок Relay (рис. 8.4, а), та відкрити його для редагування параметрів (двічі натиснувши лівою кнопкою миші на блоці) (рис. 8.4, б).
а) б)
Рисунок 8.4 – Настроювання блока Relay:
зовнішній вигляд блоку (а), вікно редагування параметрів блока (б)
Реалізація характеристики із зоною нечутливості та насиченням – послідовне з’єднання блоків Dead Zone, Gain та Saturation з відповідним настроюванням їх параметрів (рис. 8.5).
Для реалізації релейної характеристики із зоною нечутливості викорис-товується блок Dead Zone (рис. 8.6).
Для побудови макета використовуються такі блоки:
– Sine Wave – генератор синусоїдального сигналу;
– Subtract (бібліотека Simulink/MathOperations) – від’ємний суматор;
– Multiport Switch (Simulink/SignalRouting) – перемикач конфігурацій,
перемиканя здійснює відповідно до значення блока Constant, який вказує на номер увімкненої гілки системи;
– Derivative (Simulink/CommonlyUsed Blocks ) – блок диференціювання;
– XY Graph та Scope (Simulink/Sinks).
72
а) б)
в) г)
Рисунок 8.5 – Характеристика із зоною нечутливості та насиченням: зовнішній вигляд блока (а), вікно редагування параметрів блоків Gain (б),
Saturation (в) та Dead Zone (г)
а) б)
Рисунок 8.6 – Настройки блока Dead Zone:
зовнішній вигляд блока (а), вікно редагування параметрів блока (б)
73
Для реалізації релейної характеристики з гістерезисом використовується блок Relay (рис. 8.7).
а) б) Рисунок 8.7 – Настройки блока Relay для реалізації
релейної характеристики з гістерезисом: зовнішній вигляд блока (а), вікно редагування параметрів блока (б)
Для реалізації нелінійної характеристики типу люфт використовується блок Backlash (рис. 8.8).
а) б)
Рисунок 8.8 – Настройки блока Backlash для реалізації нелінійності типу люфт: зовнішній вигляд блока (а), вікно редагування параметрів блока (б)
Здійснити моделювання фазових портретів для системи за різних нелінійних характеристик. Проаналізувати результати.
74
8.5 Зміст звіту
Оформлення матеріалів звіту визначено у загальних положеннях до методичних вказівок.
теоретичній частині слід навести ескізи фазових портретів та супроводжувальні розрахунки: диференціальні рівняння, що описують лінійну частину; рівняння, що описують нелінійні елементи; рівняння фазових траєкторій та ліній перемикання.
В експериментальній частині необхідно навести результати моделювання: фазові портрети, фазові траєкторії, перехідні процеси.
висновках навести аналіз отриманих результатів: знаходження відповідності між видами фазових траєкторій і процесів у часі, аналіз впливу коефіцієнта зворотного зв'язку на вид фазового портрету, на виникнення ковзаючого режиму у системі та ін.
8.6. Контрольні запитання та завдання
Дайте визначення фазової траєкторії і фазового портрету.
Дайте визначення лінії перемикання. Від чого залежить нахил лінії (ліній) перемикання?
Дайте визначення ковзаючого режиму. Назвіть умови його появи.
Опишіть граничний цикл: визначення, умови виникнення і графічне зображення на фазовій площині.
Дайте визначення системи, стійкої/нестійкої у малому/великому.
Наведіть приклад фазової траєкторії і знайдітьи відповідний їй перехідний процес.
75
ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ
Андриевский, Б.Р. Избранные главы теории автоматического управления
примерами на языке Matlab [Текст] / Б.Р. Андриевский, А.П. Фрадков. – Спб.:
Наука, 2000. – 475 с.
ДСТУ 3008–95. Документація. Звіти у сфері науки і техніки. Структура і правила оформлення [Текст]. – Введ. 1996-01-01. – К. : Держстандарт України,
1995. – 29 с.
Юркевич, Е.И. Теория автоматического управления [Текст] : учеб. / Е.И. Юркевич. – 3-е изд. – СПб. : БХВ-Петербург, 2007. – 560 с.
Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования [Текст] / В.А. Бесекерский, Е П. Попов. – 4-е изд. – СПб. : Профессия, 2004. – 752 с.
Певзнер, Л.Д. Практикум по теории автоматического управления [Текст] : учеб. пособие / Л.Д. Певзнер. – М. : Высшая школа, 2006. – 590 с.
Андриевский, Б.Р. Избранные главы ТАУ с примерами на языке MATLAB [Текст] / Б.Р. Андриевский, А.Л. Фрадков. – СПб. : Наука, 1999. – 467 с.
Попович, М.Г. Теорія автоматичного керування [Текст]: підруч./ М.Г. Попович, О.В. Ковальчук. – К. : Либідь, 1997. – 544 с.
Основы автоматизации управления производством [Текст] : учеб. пособие / под ред. И.М. Макарова. – М. : Высш. шк., 1983. – 504 с.
Воронов, А.А. Теория автоматического управления [Текст] : учеб. /
2-е изд. Ч.1. Теория линейных систем автоматического управления / А.А. Воронов. – М. : Высшая школа, 1986. – 367 с.
10. Перепелкин, С.Р. Расчѐт следящих систем [Текст] / С.Р. Перепелки – М. : Высш. шк., 1978. – 124 с.
76
Додаток А
Варіанти індивідуальних завдань до лабораторної роботи 1
Таблиця А.1 – Варіанти індивідуальних завдань до лабораторної роботи 1
варіанта
Назва ланки
Ідеальна інтегруюча
Реальна інтегруюча
Реальна диференціююча
Номер
Значення коефіцієнтів
К1
К2
К3
К
Т1
Т2
Т3
К
Т1
Т2
Т3
1
0,6
0,2
1,0
2
0,5
1,0
1,5
5
1,0
1,3
2,0
2
1,0
0,4
2,0
2
1,0
1,7
0,4
5
2,4
1,6
0,8
3
3,0
2,3
1,7
2
0,2
0,4
0,8
5
3,0
1,5
2,0
4
2,0
1,4
2,3
2
1,4
0,8
2,0
5
3,7
4,0
1,5
5
0,1
0,3
0,6
2
0,7
1,3
2,0
5
1,5
3,8
2,0
6
1,5
1,0
1,2
2
2,0
1,5
0,6
5
4,5
3,0
2,0
7
2,1
1,0
1,5
2
1,0
1,4
0,8
5
2,3
1,4
3,0
8
1,0
2,0
3,0
2
0,7
0,2
1,0
5
1,4
2,8
3,6
9
2,2
1,5
2,6
2
1,2
1,7
2,2
5
2,4
2,0
4,0
10
1,5
2,0
1,0
2
0,8
1,4
1,8
5
0,5
1,5
2,0
77
Таблиця А.2 – Варіанти індивідуальних завдань до лабораторної роботи 1
варіанта
Назва ланки
Аперіодична
Коливальна
Аперіодична другого
Консервативна
першого порядку
порядку
Номер
Значення коефіцієнтів
T1
T2
Т3
Т
d1
d2
T
d1
d2
d3
T1
T2
1
0,5
1,0
1,5
0,1
0,10
0,30
1,5
1,5
2,0
3,4
1,0
1,5
2
0,8
2,0
1,4
0,2
0,05
0,20
0,9
1,4
2,6
2,0
0,8
1,0
3
1,4
0,5
1,8
0,3
0,02
0,08
4,0
1,0
2,0
1,5
1,2
1,8
4
2,0
1,6
1,3
0,4
0,20
0,60
3,0
2,6
2,2
1,8
2,0
1,6
5
0,1
0,4
0,6
0,5
0,08
0,06
5,0
4,5
4,0
3,5
0,3
0,7
6
1,0
1,2
1,4
0,1
0,20
0,70
2,5
3,0
3,5
5,0
0,8
0,1
7
0,6
1,4
2,0
0,2
0,30
0,10
6,0
6,8
7,0
7,2
2,0
1,5
8
0,5
1,5
1,8
0,3
0,04
0,10
1,4
1,8
3,5
2,0
0,6
1,4
9
0,2
0,7
1,3
0,4
0,20
0,50
2,4
2,8
3,4
3,8
0,5
1,3
10
1,2
1,5
2,0
0,5
0,23
0,50
1,6
1,8
2,4
3,0
2,0
1,4
Для варіантів № 1–10 значення К для всіх ланок дорівнює 2,0.
78
Додаток Б
Варіанти індивідуальних завдань до лабораторної роботи 2
Таблиця Б.1 – Варіанти індивідуальних завдань до лабораторної роботи 2
Номерваріанта
Структурна схема багатоконтурної лінійної САУ
Передавальні функції
1
W1
1
0.1s
1 ,
W
2
W
1
2
s
, 3
2.5 s
1
W4
5
,W5
10 ,
s 2
2
W6
1
0.3s
1
2
W1
12
1.4s
1 ,
W
1
W
1
2
2s ,
3
5s
W4
0.1
0.1s 2
4 ,
W5
1.2 ,W6
1
3s
1
3
Як у 1 варіанті
4
Як у 2 варіанті
5
Як у 1 варіанті
6
Як у 2 варіанті
7
Як у 1 варіанті
8
Як у 2 варіанті
79
Додаток В
Варіанти індивідуальних завдань до лабораторної роботи 3
Таблиця В.1 – Варіанти індивідуальних завдань до лабораторної роботи 3
Варіант
К
Т1
Т2
Т3
1
25
1,2
0,6
0,1
2
26
1,4
0,7
0,2
3
35
2,2
0,8
0,4
4
30
1,4
0,7
0,1
5
15
0,25
0,1
2
6
20
0,75
0,05
1
7
22
0,55
0,15
0,5
8
24
1,1
0,5
5
80
Додаток Г
Варіанти індивідуальних завдань до лабораторної роботи 5
Таблиця Г.1 – Варіанти індивідуальних завдань до лабораторної роботи 5
Варіант
Час
завдання,
Передавальна функція, W
Перерегулювання, %
регулювання, с
номер
1
W (s)
13.2
20
3
2s 2
0.5s
1
2
W (s)
5
15
4
2.5s
2
5s 2
3
W (s)
15
25
3
3.5s 2
0.5s
1
4
W (s)
1.7
30
5
7s 2
0.7s
1
5
W (s)
5
20
3
2
15s
1.5s
1
6
W (s)
13
15
4
13s 2
3s 2.5
7
W (s)
25
25
2,5
2.5s 2
2s
5
8
W (s)
5
30
4
2
7.5s
0.5s
2
81
Додаток Д
Варіанти індивідуальних завдань до лабораторної роботи 6
Таблиця Д.1 – Варіанти індивідуальних завдань до лабораторної роботи 6
Варіант завдання Передавальна функція наведеної неперервної частини, WПНЧ
1
WПНЧ ( s )
13.2
0.5 s
1
2 s 2
2
WПНЧ ( s )
5
2.5 s
2
5 s 2
3
WПНЧ ( s )
15
0.5 s
1
3.5 s 2
4
WПНЧ ( s )
1.7
0.7 s
1
7 s 2
5
WПНЧ ( s )
5
2
1.5 s
1
15 s
6
WПНЧ ( s )
13
3s 2.5
13s 2
7
WПНЧ ( s )
25
2 s
5
2.5 s 2
8
WПНЧ ( s )
5
2
0.5 s
2
7.5 s
82
Додаток Е
Варіанти індивідуальних завдань до лабораторної роботи 7
Таблиця Е.1 – Варіанти індивідуальних завдань до лабораторної роботи 7
Варіант
Період дискретизації, Т
1
0,1
2
0,1
3
0,1
4
0,1
5
0,1
6
0,1
7
0,1
8
0,1
83
Додаток Ж
Варіанти індивідуальних завдань до лабораторної роботи 8
Таблиця Ж.1 – Варіанти індивідуальних завдань до лабораторної роботи 8
Варіант
Передавальна функція лінійної
с
b
b2
завдання
частини, W(s)
1
W ( s )
13.2
1
0,1
1,1
2 s 2
0.5 s
1
2
W ( s )
5
1,5
0,2
1,7
5 s 2
2.5 s
2
3
W ( s )
15
2
0,25
2,25
3.5 s 2
0.5 s
1
4
W ( s )
1.7
2,5
0,25
2,75
7 s 2
0.7 s
1
5
W ( s )
5
3
0,3
3,3
15 s 2
1.5 s
1
6
W ( s )
13
3,5
0,35
3,85
13s 2
3s 2.5
7
W ( s )
25
4
0,4
4,4
2
2.5 s
2 s
5
8
W ( s )
5
4,5
0,5
5
7.5 s 2
0.5 s
2
84
Електронне навчальне видання
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до лабораторних робіт з дисципліни
«ТЕОРІЯ АВТОМАТИЧНОГО УПРАВЛІННЯ»
для студентів напряму підготовки 6.050202 – «Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології»
Упорядники: ТОКАРЄВА Олена Віталіївна ПОНОМАРЬОВА Ганна Вікторівна
Відповідальний випусковий І.Ш. Невлюдов
Авторська редакція
85