7 Дослідження стійкості імпульсних систем автоматичного управління

7.1 Мета роботи

Метою роботи є дослідження методів оцінки стійкості імпульсних систем автоматичного управління та впливу параметрів системи на її стійкість.

7.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Під час підготовки до лабораторної роботи студенти повинні повторити відповідний лекційний матеріал і дані практичних занять, ознайомитися з матеріалами, наведеними у літературі [3-9], зокрема такими: V-перетворення, методи дослідження імпульсних систем на стійкість.

Програмою досліджень лабораторної роботи є оцінка стійкості імпульсної системи за допомогою алгебраїчних та частотних методів.

Стійкість імпульсної системи автоматичного управління залежить від її характеристичного рівняння:

a

0

z ⁿ

_{a z} n 1

... a

n

0

(7.1)

1

Ліва частина характеристичного рівняння називається характеристичним поліномом. Характеристичний поліном імпульсної системи збігається з її власним оператором і знаменником її передавальної функції.

Характеристичний поліном замкнутої імпульсної системи за одиничного негативного зворотного зв'язку дорівнює сумі поліномів чисельника і знаменника передавальної функції розімкнутої системи.

Для того, щоб імпульсна система автоматичного управління була стійкою, необхідно і достатньо, щоб усі корені її характеристичного рівняння були за модулем менше одиниці або знаходилися всередині одиничного кола на комплексній площині коренів характеристичного рівняння.

Критерії стійкості імпульсних САУ дозволяють визначати, чи знаходяться всі корені характеристичного рівняння всередині одиничного кола, не обчислюючи їх.

Для того, щоб можна було скористатися критеріями стійкості, розробленими для лінійних неперервних систем, необхідно застосувати v-перетворення.

v

z

1

.

(7.2)

z

1

61

При v-перетворенні окружність одиничного радіуса на площині z переходить в уявну вісь на v-площині, а нутро одиничного кола на z-площині – у ліву півплощину на v -площині.

Підставимо у характеристичне рівняння (7.1)

вираз z

v

1

. Тоді після

v

1

перетворення отримаємо рівняння:

A v ⁿ

A v ^{n 1}

... A

0 ,

(7.3)

0

1

n

де A_i – постійні коефіцієнти, які визначаються через коефіцієнти a_i . Якщо скористатися рівнянням (7.3), то для дослідження стійкості

імпульсної системи можна використовувати алгебраїчні та частотні критерії стійкості лінійних систем.

Алгебраїчний критерій стійкості Гурвіца формулюється таким чином: для того, щоб імпульсна система автоматичного управління була стійкою, необхідно та достатньо, щоб усі визначники Гурвіца були додатними

_i 0, i 1, n при A₀ 0 .

Алгебраїчний критерій стійкості Льєнара–Шипара формулюється так: якщо додатні всі коефіцієнти характеристичного рівняння системи, то для її стійкості необхідно та достатньо, щоб були додатними всі визначники Гурвіца із парними або непарними індексами.

Для того, щоб оцінити стійкість імпульсної системи за допомогою частотних критеріїв, розроблених для лінійних систем, у дискретній передавальній функції розімкнутої імпульсної системи перейдемо до змінної v :

~ _*

*

v

1

.

W

v

W

v

1

Підставивши сюди v j

^* , отримаємо:

~ _*

*

*

j

*

1

W

j

W

,

j

*

1

~ *

j

*

– псевдочастотна передавальна функція,

де W

^* – псевдочастота.

Характеристики, які побудовані за псевдочастотною передавальною функцією, називаються псевдочастотними характеристиками.

Частотний критерій стійкості Михайлова формулюється так: для того, щоб імпульсна система автоматичного управління була стійкою, необхідно та

достатньо, щоб псевдокрива Михайлова при зміні частоти

від 0 до

,

62

починаючись при A₀ 0 на дійсній додатній півосі, обходила послідовно n квадрантів (чвертей) координатної площини проти руху годинникової стрілки, не потрапляючи у початок координат.

Якщо задано структурну схему імпульсної системи, то для оцінки її стійкості за критерієм Михайлова необхідно виконати такі дії:

– отримати дискретну передавальну функцію досліджуваної імпульсної САУ;

– скласти характеристичне рівняння імпульсної САУ в z -змінних (7.1);

– отримати характеристичне рівняння імпульсної САУ в v -змінних (7.3),

– в отримане рівняння підставити v j ^* ;

– в

отриманому поліномі виділити уявну та дійсну частини

G^* ( j ^* )

X ( ^* ) jY ( ^* ) ;

– побудувати псевдокриву Михайлова;

– зробити висновок про стійкість системи.

Частотний критерій Найквіста формулюється таким чином: для того, щоб замкнута імпульсна система була стійкою, необхідно та достатньо, щоб псевдочастотна АФЧХ її розімкнутої системи зі зростанням частоти від 0 до

охоплювала точку

(

1; j0) у

додатному

напрямку, тобто проти руху

годинникової стрілки,

l

2 разів,

де l

– кількість

правих коренів

характеристичного рівняння розімкнутої системи.

Зокрема, якщо розімкнута імпульсна система стійка ( l

0 ), то для того,

щоб замкнута імпульсна система була стійкою, необхідно та достатньо, щоб псевдочастотна АФЧХ її розімкнутої системи не охоплювала точку ( 1; j0) .

Якщо задано структурну схему імпульсної системи, то для оцінки її стійкості за критерієм Найквіста необхідно виконати такі дії:

– отримати дискретну передавальну функцію досліджуваної розімкнутої імпульсної САУ;

v

1

~ _*

– зробити підстановку z

та отримати W

v ;

v

1

~ *

– розрахувати псевдочастотну передавальну функцію, зробивши у W

підстановку v

j ^* ;

– за отриманою функцією побудувати псевдочастотну АФЧХ;

– скласти

характеристичне

рівняння

розімкнутої

імпульсної

САУ

z -змінних (7.1);

– отримати характеристичне рівняння

розімкненої

імпульсної

САУ

v -змінних (7.3);

v

у

у

63

–порахувати кількість правих коренів характеристичного рівняння розімкнутої системи;

– зробити висновок про стійкість системи.

Опис лабораторної установки

Лабораторна робота виконується у середовищі Matlab за допомогою пакета моделювання динамічних систем Simulink. Опис лабораторної установки наведено у пункті 1.3.

7.4 Порядок виконання роботи і методичні вказівки з її виконання

7.4.1 Задати у системі MatLab передавальну функцію неперервної частини імпульсної САУ згідно з варіантом (Додаток Е).

системі MatLab передавальні функції систем задаються за допомогою функції tf. Передатна функція ланки:

MatLab її можна задати у такий спосіб:

W=tf([10 10],[0.01 0.11 1.1 1]).

7.4.2 Для заданої неперервної передавальної функції (табл. Е.1) отримати дискретну передавальну функцію розімкнутої системи.

Аналіз і синтез дискретних систем управління провести за допомогою MatLab, застосувавши до передавальної функції безперервної системи спеціальну функцію с2d. Формат функції:

Wz=c2d(W,T,’zoh’),

де Wz – передавальна функція дискретної системи; Ws – передавальна функція безперервної системи; Т – період квантування; ’zoh’ – екстраполятор нульового порядку.

Отримати перехідну характеристику дискретної системи за допомогою функції step(Wz).

7.4.3 Провести моделювання дискретної перехідної характеристики досліджуваної системи у пакеті Simulink.

Зібрати у пакеті Simulink віртуальний макет (рис. 7.1 ) САУ, що має три гілки: перша містить передавальну функцію (Transfer Fcn з бібліотеки Continuous) лінійної частини, яку задано в індивідуальному завданні; друга –

64

неперервну передавальну функцію (Transfer Fcn з бібліотеки Continuous) та екстраполятор нульового порядку (Zero-Order Hold з бібліотеки Discrete); третя – дискретну передавальну функцію розімкнутої системи (Discrete Transfer Fcn з бібліотеки Discrete), яку отримали на попередньому етапі роботи.

Рисунок 7.1 – Макет для дослідження імпульсних САУ

Для зміни значень блоків, необхідно двічі натиснути ліву кнопку миші та внести відповідні зміни. Так під час внесення змін до блоку Discrete Transfer Fcn необхідно зазначити ще й крок дискретизації (рис. 7.2).

Коефіцієнти полінома чисельника

Коефіцієнти полінома знаменника

Рисунок 7.2 – Внесення змін до блоку з дискретною передавальною функцією Провести моделювання та отримати на осцилографі графіки перехідної

характеристики для досліджуваних САУ.

65

7.4.4 Дослідити імпульсну САУ на стійкість за допомогою перехідної характеристики, для чого необхідно зібрати віртуальний макет (рис. 7.3).

Рисунок 7.3 – Макет для дослідження стійкості імпульсної САУ

Запустити процес моделювання та отримати графік перехідної характеристики імпульсної САУ на осцилографі. Якщо за графіком неможливо встановити вид перехідного процесу, необхідно відвести більший час для моделювання.

7.4.5 Дослідити стійкість системи за її характеристичним рівнянням. Для цього потрібно визначити корені характеристичного полінома імпульсної САУ, що збігаються з полюсами переданої функції Wz. Для цього у командному вікні набрати команду pole(Wz).

Функція pzmap автоматично будує графік розташування на комплексній площині полюсів та нулів передавальної функції. Нулі на діаграмі позначаються кружечками, а полюси – хрестиками (рис.7.4).

Рисунок 7.4 – Полюси та нулі передавальної функції на комплексній площині

66

7.4.6 Застосування v-перетворення.

Для того, щоб можна було оцінити стійкість імпульсних систем за допомогою критеріїв стійкості, які розроблені для неперервних систем, необхідно застосувати v-перетворення.

Розглянемо приклад із передатною функцією імпульсної системи, отриманою на попередньому етапі. Для одержання псевдочастотної дискретної передавальної функції та побудови її графіка АФЧХ слід у командному вікні MatLab ввести послідовність команд (рис. 7.5).

Рисунок 7.5 – Фрагмент програмного коду для побудови АФЧХ імпульсної системи

7.4.7 Оцінка стійкості за допомогою критерію Михайлова.

Задамо в командному вікні характеристичне рівняння замкненої системи в v -змінних та проведемо заміну v на jw (рис.7.6).

Рисунок 7.6 – Фрагмент програмного коду для проведення підстановки jw в характеристичне рівняння замкненої САУ в v -змінних

Для побудови псевдокривої Михайлова необхідно використати програмний код (рис.7.7).

Рисунок 7.7 – Фрагмент програмного коду для побудови псевдокривої Михайлова

67

7.5 Зміст звіту

Оформлення матеріалів звіту зазначено у загальних положеннях до методичних вказівок.

У теоретичній частині необхідно навести передавальну функцію неперервної частини досліджуваної системи, дискретну передавальну функцію розімкнутої системи, дискретну передавальну функцію замкнутої системи. Скласти характеристичне рівняння розімкнутої і замкнутої систем, одержати вирази для дискретної частотної передавальної функції розімкнутої системи, визначити дійсну та уявну частини.

В експериментальній частині необхідно навести всі отримані характеристики.

7.6. Контрольні запитання та завдання

Дайте визначення імпульсних САУ.

Назвіть види імпульсної модуляції.

Які три операції містить у собі Z-перетворення?

Як пов'язана стійкість імпульсної системи з коренями характеристичного рівняння?

Як визначити дискретну передавальну функцію розімкнутої системи?

Як визначити дискретну передавальну функцію замкнутої системи?

Як визначити дискретну частотну передавальну функцію системи?

Назвіть алгебраїчні критерії стійкості імпульсних систем.

Вкажіть частотні критерії стійкості імпульсних систем.

68