metod_pz

Таблиця 1.1 – Продовження

9

10

s(t)

A

s(t)

A

τі/4

τі/2

–τі/2 –τі/4 0

t

–τі/2 –τі/4 0 τі/4 τі/2

t

–A

Задача 2 Побудувати часові діаграми та розрахувати норми сигналів,

часові діаграми яких надані в табл. 1.2.

1

2

s t Um cos

2

t,

T

t

T

s t Um sin

2

t,

T

t

T

T

2

2

T

2

2

3

4

s t Um cos

2

t,

T

t

T

s t Um sin

2

t,

T

t

T

T

4

4

T

4

4

5

6

s t t 2 T 2 ,

T t T

s t t 4 T 4 ,

T t T

7

8

s t

t3

T 3 ,

T t T

s t

t5

T 5 ,

T t T

9

10

s t t 2 ,

T t T

s t

t3

,

T t T

T

a0

1

2

s t dt ,

(2.1)

2

T

T

2

T

a

2

2 s t cos k t dt ,

(2.2)

T

k

T

1

2

T

2

b

2 s t sin k t dt ,

(2.3)

T

k

T

1

2

де T –

величина періоду

сигналу;

2

– величина

основної

частоти

1

T

k –

сигналу;

номер (індекс)

спектрального коефіцієнту;

ak

та bk –

значення

спектральних

коефіцієнтів;

a0

–

коефіцієнт

постійної

складової

спектру

2

a0

s t

ak cos k 1t bk sin k 1t .

(2.4)

2

k 1

a0

s t

Ak cos k 1t k ,

(2.5)

2

k 1

a0

s t

Ak sin k 1t k ,

(2.6)

2

k 1

де Ak – коефіцієнти амплітудного спектру сигналу; k ,

k

– коефіцієнти

A a2

b2

(2.7)

k

k

k

k

arctg

bk

(2.8)

ak

k

arctg

ak

(2.9)

bk

Залежність коефіцієнтів Ak від індексу k ,

зображена у вигляді графіку,

k ,

k від індексу k – фазовою спектральною діаграмою

періодичного

сигналу.

Також поширено поняття комплексного ряду Фур’є, який визначається

виразом:

s t S k e jk 1t ,

(2.10)

k

де S k

– коефіцієнти комплексного спектру періодичного сигналу.

Коефіцієнти комплексного спектру періодичного сигналу розраховуються

за формулою:

експоненційній формі:

Re S k j Im S k ,

S k

(2.12)

S k

S k

S k

e j arg S k .

(2.13)

На основі коефіцієнтів

будується амплітудна спектральна діаграма, а

на основі коефіцієнтів arg S k

– фазова спектральна діаграма

періодичного

сигналу.

S s t e j t dt

–

пряме перетворення Фур’є,

(2.14)

1

s t

S e j t d

–

зворотне перетворення Фур’є.

(2.15)

2

Для розрахунку значення спектральної густини сигналу на частоті 0

слід використовувати окреме співвідношення:

S 0 s t dt 0.

(2.16)

алгебраїчній та експоненційній формі:

S Re S j Im S ,

(2.17)

S

S

S

e j arg S .

(2.18)

Функції

, Re S є парними,

а

функції arg S ,

Im S є

непарними функціями частоти .

S сигналів

В процесі розрахунку функції спектральної густини

застосовуються властивості перетворення Фур’є такі, як:

– лінійність

ai si t ai S i ;

(2.19)

i

i

– зміна масштабу часу (частот)

s nt

1

S

;

(2.20)

n

n

S n

1

t

s

;

(2.21)

n

n

s t t0 S e j t0 ;

(2.22)

s t t0 S e j t0 ;

(2.23)

– диференціювання та інтегрування сигналу

s t S

d

s t j S ;

(2.24)

dt

s t S

s t dt

S

.

(2.25)

j

–T/2

0

τі

T/2

t

A,

0 t i ;

s t

T

t 0, i

t

T

0,

.

2

2

a0

1

i

1

i

1

0i A

1

i 0 A

i

A

Adt

A dt A

t

,

2

T

0

T

0

T

T

T

q

де q

T

10 10 3

5

– коефіцієнт шпаруватості, який є мірою заповнення

i

0,2 10 3

часового інтервалу періоду сигналу імпульсом.

За формулою (2.2) знайдемо вираз для коефіцієнтів ak .

2

i

2

i

2

1

i

ak

Acos k 1t dt

A cos k 1t dt

A

sin k 1t

0

T

T

T

k

0

0

1

2A

sin k

0

2A

sin k

2A

2

A

2

sin k

i

sin k

.

k 1T

1

i

k 1T

1 i

2

T

k

q

k

T

T

За формулою (2.2) знайдемо вираз для коефіцієнтів bk .

2

i

2

i

2

1

i

bk

Asin k 1t dt

A sin k 1t dt

A

cos k 1t

0

T

T

T

k

0

0

1

2A

cos k

1

A

2

1 cos k

.

k

q

k T

1

i

1

За формулою (2.7) знайдемо вираз для коефіцієнтів Ak .

A

A

2

2

A

2

2

sin

k

1 cos k

k

q

q