1.3. Удар
а) классическая теория удара
Интересные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно наблюдаются при ударе тел. Ударом называется кратковременное взаимодействие тел, при этом оба тела деформируются и возникают ударные силы значительной величины. Процесс соударения можно разделить на две фазы:
1. Сближение тел - возникновение деформаций.
2. Разлет - исчезновение деформаций (полное или частичное).
Различают два предельных случая: абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.
При абсолютно упругом ударе на первой фазе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации, на второй фазе тела снова приобретают первоначальную форму, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации опять переходит в кинетическую и тела разлетаются. При абсолютно упругом ударе механическая энергия тел не переходит в другие немеханические виды энергии.
Рассмотрим абсолютно упругий удар двух шаров, центры которых движутся вдоль одной прямой. При этом движение вправо будет соответствовать положительной скорости, движение влево - отрицательной.
При абсолютно упругом ударе не выделяется теплота, следовательно систему из двух взаимодействующих шаров можно считать замкнутой (консервативной). К такой системе можно применить закон сохранения импульса и энергии.
Обозначим
массы шаров m1 и
m2 ,
их скорости до удара 
и 
,
а после удара 
и 
(рис.
1).
Рис. 1. Удар шаров: а) положение до удара; б) положение после удара
Применяем к двум взаимодействующим шарам законы сохранения энергии и импульса:
(1.8)
(1.9)
Перенося слагаемые, содержащие m1 в одну, а m2 в другую сторону равенства, получим:
(1.10)
(1.11)
Деление равенства (1.10) на (1.11) дает:
.
(1.12)
Решая совместно уравнения (1.11) и (1.12), находим значения скоростей U1 и U2:
(1.13)
По
этим формулам определяются скорости
шаров после удара. Следует помнить, что
в формулах (1.13) скорости U1 и
U2 могут
иметь как одинаковые, так и противоположные
знаки, в зависимости от направления
векторов 
и 
.
Проведем анализ полученных результатов
по формулам (1.12) и (1.13).
1, Преобразуем равенство (1.12)
или 
.
(1.14)
В
левой части равенства (1.14) 
-
есть относительная скорость шаров до
удара, в правой 
-
относительная скорость шаров после
удара.
Вывод: относительная скорость шаров после удара остается по абсолютной величине равной относительной скорости шаров до удара, но меняет знак на противоположный.
2.
Положим 
,
тогда из первого равенства (1.13) следует,
что 
и
из второго равенства (1.13) следует 
.
Вывод: при упругом центральном ударе двух шаров одинаковой массы, шары обмениваются скоростями.
3.
Пусть 
и 
,
тогда из равенства (1.13) получим: 
,
а 
.
Вывод: при ударе шара о массивную стенку его скорость меняется на противоположную, скорость же стенки практически не изменяется.
Абсолютно упругий удар является идеальным случаем. В реальных случаях в зависимости от того, из какого вещества изготовлены шары, большая или меньшая часть механической энергии переходит в тепло.
Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальная энергия упругой деформации не возникает, кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию, после удара сталкивающиеся тела либо покоятся, либо движутся с одинаковой скоростью.
При таком ударе шары деформируются, скорости их выравниваются, суммарная кинетическая энергия шаров после удара уменьшается по сравнению с первоначальной (до удара), так как часть ее перейдет в другие формы энергии - тепловую, энергию пластических деформаций и т.д.
Для этого случая закон сохранения энергии запишется в виде:
.
(1,15)
Система из двух шаров в этом случае будет являться диссипативной, так как часть механической энергии теряется, рассеивается и по формуле (1.15) можно определить потерю механической энергии Q, которую называют энергией диссипации. Скорость же шаров после удара можно найти, воспользовавшись законом сохранения импульса:
,
откуда
.
(1.16)
При
абсолютно неупругом ударе относительная
скорость шаров после удара равна нулю: 
,
так как 
.
При абсолютно упругом ударе она, как
известно, равна: 
.
При частично неупругом ударе относительная
скорость после удара будет составлять
некоторую долю относительной скорости
шаров до удара:
,
(1.17)
где 
-
коэффициент восстановления относительной
скорости шаров при ударе, характеризующий
степень упругости взаимодействующих
тел и может принимать значения 
.
Из формулы (1,17) определяется величина коэффициента восстановления
б) волновая теория удара
Классическая теория удара, основывающаяся главным образом на законах сохранения импульса и энергии, позволяет однозначно определить конечные скорости тел. Так как предполагается, что все элементы каждого тела жестко связаны и будут мгновенно испытывать одинаковые изменения движения, являющиеся результатом удара.
В действительности возмущение, порожденное в точке соударения, распространяется в телах с конечной скоростью, и его отражение от граничных поверхностей вызывает колебания и вибрации в телах. Таким образом, все сечения каждого тела при соударении одновременно не подвергаются одинаковому действию сил. Местные быстро изменяющиеся деформации и механические напряжения, вызванные этим возмущением, не могут быть определены методами классической теории, но могут быть исследованы с помощью рассмотрения волнового явления.
Выводы классической теории удара приводят к серьезным ошибкам, когда значительная часть общей энергии обуславливает вибрацию. Этот эффект зависит от соотношения продолжительности удара и периода колебаний, возникающих в телах.
В основе волновой теории удара лежит классическая теория упругости. Уравнения распространения упругих волн получаются в результате совместного рассмотрения трехмерных соотношений между механическими напряжениями и деформациями, условий совместности и уравнений движения.
Соотношения между механическим напряжением и деформацией для однородной изотропной среды записываются следующим образом:
,
(1.19)
где 
и 
-
проекции нормальных и касательных
напряжений; 
-
относительная деформация растяжения
(сжатия); 
-
деформация сдвига;
- постоянная Ляме; E и G - модули упругости и сдвига соответственно;
Рис. 2. Проекции напряжений, действующих на элементарный объем
Уравнения движения могут быть получены из условия равновесия проекций напряжений, действующих на элементарный объем, который показан на рис. 2
При отсутствии объемных сил в элементе со сторонами dx, dy, dz
Условие равновесия сил приводит к выражениям:
,
(1.20)
где 
-
плотность тела; 
-
проекции перемещения (деформации).
Подстановка (1.19) в (1.20) приводит к уравнению движения в перемещениях:
,
(1.21)
где 
-
оператор Лапласа.
Решение этих уравнений при заданных начальных и граничных условиях определяет в любой точке тела весь процесс деформирования. С помощью соответствующих преобразований уравнения (1.21) могут быть приведены к виду:
или
(1.22)
где 
-
скорость распространения деформации.
Уравнение (1.22) называется волновым уравнением, указывающим, что (объемное расширение) распространяется со скоростью волн расширения.
При ударе тел возникает весьма сложное поле напряжений, изменяющихся не только от точки к точке (как при статической нагрузке), но и в данной точке тела со временем. Поле напряжений еще больше усложняется в результате отражения волн от границ тела.
В силу сказанного математическое описание процесса удара в общем виде оказывается настолько сложным, что выходит за рамки возможностей теории упругости. Решение уравнений (1.21) или (1.22) может быть получено лишь для ограниченного числа специальных случаев. В остальных случаях для решения частных прикладных вопросов теории удара приходится применять упрощения и допущения, которые не вели бы одновременно к ошибкам качественного и количественного характера.
Для примера рассмотрим удар двух тонких и длинных стержней с плоскими торцами (рис. 3).
Рис. 3. Удар двух стержней
Для таких стержней все точки, расположенные на поверхности контакта обоих тел, находятся в одинаковых условиях, и, следовательно, скорости и напряжения в них будут одинаковыми.
Это
постоянство скоростей и напряжений
сохранится для каждого сечения, которого
достигнет распространяющаяся волна,
расположенного перпендикулярно ее
распространению. Пусть ось ОХ направлена
вдоль осей стержня. Так как жесткость
воздуха ничтожно мала по сравнению с
жесткостью стержней и силы трения
воздуха о стержень малы, то напряжения
на боковые поверхности нормальные к
ней 
, 
и
касательные к ней 
, 
.
Взаимные касательные напряжения 
и 
также
равны нулю.
Поскольку диаметр стержней принят малым и стержни однородные, можно полагать, что напряжения в центре сечения мало отличаются от соответствующих напряжений в других точках этого сечения.
С
учетом перечисленных условий, можно
приближенно считать, что для любой точки
соударяющихся стержней справедливы
условия 
, 
.
Таким образом, из рассмотрения исключаются
все напряжения, кроме направленного
вдоль оси стержней, нормального
напряжения 
.
Напряжения,
направленные вдоль оси стержня вызывают
кроме продольных 
и
поперечные деформации 
и 
.
Эти деформации можно определить по
известным в теории упругости уравнениям:
,
(1.23)
Решая уравнения (1.23) получим:
; 
,
где r - радиусы стержней по осям y и z.
Так как x не зависит от координат y и z, то
.
(1.24)
Если
по стержням бежит волна сжатия, то 
и
из равенства (1.24) вытекает, что диаметр
стержней увеличивается на величину 
. В
случае волны растяжения, диаметр стержней
уменьшается на величину 
.
Общая система уравнений (1.20) с учетом сделанных допущений значительно упрощается. Второе и третье уравнения тождественно обращаются в нуль, а первое примет вид:
Поскольку 
,
то это уравнение можно переписать в
виде:
или 
(1.25)
Сравнивая
(1.25) с (1.22) видим, что волновое уравнение
имеет простой вид и легко может быть
решено при задании начальных и граничных
условий. Коэффициент 
определяет
скорость продольной волны механических
напряжений в данном материале.
Простой анализ уравнения (1.25) показывает, что механические напряжения и деформации от поверхности контакта стержней распространяются вдоль стержня со скоростью звука
.