3M

Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный университет путей сообщения»

Кафедра «Физика»

Г.П. Стариченко

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УДАР ШАРОВ

Методические указания по выполнению лабораторной работы

Хабаровск Издательство ДВГУПС

2008

УДК 531.3 (075.8) ББК В 236.34 я 73

С 771

Рецензент Кандидат физико-математических наук,

профессор кафедры «Физика» Дальневосточного государственного

университета путей сообщения

Д.С. Фалеев

Стариченко, Г.П.

С 771 Центральный удар шаров : методические указания по выполне- нию лабораторной работы / Г.П. Стариченко. – Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2008. – 16 с.: ил.

Методические указания выполнены в соответствии с профессиональ- ной образовательной программой.

Рассмотрены понятия основных физических величин и явлений, опи- сывающих удар. Помимо традиционной классической теории удара изло- жены элементы волновой теории.

Предназначены для студентов 1–2-го курсов инженерно-технических специальностей всех форм обучения, изучающих дисциплину «Общий курс физики».

Методические указания разработаны в рамках инновационно-образова- тельной программы «Инновационный научно-образовательный комплекс на Дальнем Востоке России».

УДК 531.3 (075.8) ББК В 236.34 я 73

©ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный университет путей сообщения (ДВГУПС), 2008

2

ВВЕДЕНИЕ

Основной задачей высшего образования является формирование на- учного мировоззрения студента. Этому способствуют все дисциплины, изучаемые в высшей школе. Однако ведущая роль принадлежит фунда- ментальным общенаучным и общетехническим дисциплинам. К их числу относится и физика.

Конечная цель в преподавании физики следующая: способствовать развитию физического мышления студентов, освоению ими современной физической картины мира, формированию научного мышления и тем са- мым заложить фундамент для изучения специальных дисциплин. Ее роль в становлении инженера, создателя современной техники, чрезвычайно велика. Работа в лаборатории, анализ лекционного материала и лекцион- ных экспериментов, изучение литературы – все это соответствует основ- ным элементам современной научной деятельности.

В физической лаборатории студент самостоятельно решает ряд экспе- риментальных задач. При этом он должен научиться воспроизводить и анализировать основные физические явления и получить некоторые эле- ментарные навыки работы с измерительными инструментами и прибора- ми.

При выполнении физического практикума особенно важны следующие моменты:

∙понимание роли эксперимента в физике, умение делать правильные выводы из сопоставления теории и эксперимента;

∙умение выделить главное, существенное, отвлечься от несущест- венного, второстепенного;

∙понимание роли идеализаций;

∙умение находить безразмерные параметры, определяющие данное явление;

∙умение делать выводы при переходе к предельным условиям;

∙знание фундаментальных физических постоянных и численных зна- чений величин, характерных для данного раздела физики.

В этом плане методические указания по выполнению лабораторной ра- боты «Центральный удар шаров» особенно актуальны по содержанию и своим задачам. В ней на примере соударения шаров, теоретически изуча- ются основные законы природы: законы сохранения импульса и энергии.

Экспериментальная проверка закона сохранения импульса позволяет уяснить смысл идеализации физических явлений. Вычисление коэффици- ента восстановления при ударе дает возможность оценить степень упру- гости тел, изготовленных из различных материалов и сделать определен- ные выводы.

3

Лабораторная работа ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УДАР ШАРОВ

Цель работы: изучить законы сохранения в механике и измерить ко- эффициент восстановления при ударе шаров.

Приборы и принадлежности:

1)установка для изучения упругого и неупругого удара шаров;

2)шары;

3)источник тока.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1. Импульс

Для характеристики механического состояния при движении тела вво- дится физическая величина – импульс (или количество движения).

Импульс – векторная величина, численно равная произведению массы тела на его скорость и имеющая направление, совпадающее с направле- нием скорости тела:

Согласно второго закона динамики: скорость изменения импульса тела

равна по величине действующей силе и совпадает с ней по направлению

Таким образом, любое изменение импульса этого тела может происхо- дить только при действии сил.

При рассмотрении системы тел импульс этой системы определяется как векторная сумма импульсов тел, входящих в систему. Для изучения

состояния механической системы вводятся понятия внешних и внутренних сил. Силы взаимодействия между телами, входящими в рассматриваемую систему, называются внутренними.

Силы, действующие на систему со стороны тел, не входящих в рас- сматриваемую систему, называются внешними.

Механические системы, на которые внешние силы не действуют или их действие скомпенсировано, называются замкнутыми (или изолирован-

ными).

Для замкнутых систем непосредственно из второго закона динамики вытекает закон сохранения импульса.

Если F = 0 , то уравнение (1.2) принимает вид:

4

Когда производная некоторой величины равна нулю, то эта величина

i=1

Взамкнутой системе тел суммарный импульс системы оста-

ется неизменным – в этом заключается закон сохранения импульса.

Закон сохранения импульса принадлежит к числу основных физических законов, так как связан с определенным свойством симметрии пространства – его однородностью. Однородность пространства проявляется в том, что фи-

зические свойства замкнутой системы и законы ее движения не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.

1.2. Энергия

Введенное понятие импульса, как некоторая мера механического дви- жения, не во всех случаях пригодна для оценки изменения движения тела или его механического состояния. Существует другая мера движения тела, кроме импульса, особенно необходимая там, где происходит превращение механического движения тела в другие виды движения. Такой мерой дви- жения, пригодной для всех случаев, является физическая величина, назы- ваемая энергией.

Энергия – скалярная физическая величина, являющаяся общей мерой различных форм движения материи, рассматриваемых в физике.

Энергия системы количественно характеризует последнюю в отноше- нии возможных в ней превращений движения. Эти превращения происхо- дят благодаря взаимодействию частей системы как друг с другом, так и с внешними телами. Для анализа качественно различных форм движения и

соответствующих им взаимодействий в физике вводят различные виды энергии: механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную и др.

Энергия является важнейшей физической величиной, характеризую- щей способность тел или системы тел совершать работу и измеряется ве- личиной работы, которую при определенных условиях может совершить система, т. е.

Одной из разновидностей механической энергии является энергия, обусловленная движением тел и зависящая от скорости движения. Эта

энергия получила название кинетической и определяется по формуле

5

Другой разновидностью механической энергии является потенциаль- ная энергия Еп, обусловленная взаимным расположением всех частей системы во внешнем поле потенциальных сил,

dEп = −(F dr).

Единой формулы для вычисления потенциальной энергии нет, выра- жение для вычисления потенциальной энергии определяется видом взаи- модействия.

Работа консервативных (потенциальных) сил всегда равна убыли по-

тенциальной энергии

Величина Е, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, на- зывается полной механической энергией тела.

E = Ek + Eп .

Для замкнутой системы тел, в которой действуют только консер- вативные силы, полная механическая энергия системы остается неиз- менной (Ek + Eп = const ), в этом заключается закон сохранения меха-

нической энергии.

Если в системе действуют неконсервативные силы, например, силы тре- ния, то закон сохранения энергии в данной выше форме неприменим. Но его можно обобщить и на случай любых сил, если учесть переход энергии из ме- ханической в другой вид, например, во внутреннюю, электрическую и др.

В природе и технике постоянно происходят превращения энергии из одних видов в другие. Все такие переходы происходят с соблюдением закона сохра- нения энергии. Таким образом, закон сохранения энергии подчеркивает коли- чественную неизменность энергии изолированной системы во времени, в ре- зультате изменения формы движения, и выражает однородность времени. Это свойство времени проявляется в том, что законы движения замкнутой системы не зависят от выбора начала отсчета времени. Использование зако- нов сохранения энергии и импульса позволяют решать многие задачи меха- ники, не прибегая непосредственно к уравнениям движения.

1.3. Удар

а) классическая теория удара

Интересные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно наблюдаются при ударе тел. Ударом называется кратковремен- ное взаимодействие тел, при этом оба тела деформируются и возникают

6

ударные силы значительной величины. Процесс соударения можно разде- лить на две фазы:

1)сближение тел – возникновение деформаций;

2)разлет – исчезновение деформаций (полное или частичное). Различают два предельных случая: абсолютно упругий и абсолютно

неупругий удары.

При абсолютно упругом ударе на первой фазе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой де- формации, на второй фазе тела снова приобретают первоначальную форму, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой де- формации опять переходит в кинетическую и тела разлетаются. При абсо- лютно упругом ударе механическая энергия тел не переходит в другие не- механические виды энергии.

Рассмотрим абсолютно упругий удар двух шаров, центры которых дви- жутся вдоль одной прямой. При этом движение вправо будет соответство- вать положительной скорости, движение влево – отрицательной.

При абсолютно упругом ударе не выделяется теплота, следовательно,

систему из двух взаимодействующих шаров можно считать замкнутой (консервативной). К такой системе можно применить закон сохранения им- пульса и энергии.

Обозначим массы шаров m1 и m2, их скорости до удара V1 и V2 , а после удара U1 и U2 (рис. 1).

Рис. 1. Удар шаров: а – положение до удара; б – положение после удара

Применяем к двум взаимодействующим шарам законы сохранения

Перенося слагаемые, содержащие m1 в одну, а m2 в другую сторону в

7

Решая совместно уравнения (1.11) и (1.12), находим значения скоро- стей U1 и U2:

По этим формулам определяются скорости шаров после удара. Следу- ет помнить, что в формулах (1.13) скорости U1 и U2 могут иметь как одина- ковые, так и противоположные знаки, в зависимости от направления век-

торов V1 и V2 . Проведем анализ полученных результатов по формулам

(1.12) и (1.13).

1. Преобразуем равенство (1.12) к виду:

В левой части равенства (1.14) (V1–V2) – есть относительная скорость шаров до удара, в правой (U1–U2) – относительная скорость шаров после удара.

Вывод: относительная скорость шаров после удара остается по абсо- лютной величине равной относительной скорости шаров до удара, но ме- няет знак на противоположный.

2.Положим m1 = m2, тогда из первого равенства (1.13) следует, что U1 = V2 и из второго равенства (1.13) следует U2 = V1.

Вывод: при упругом центральном ударе двух шаров одинаковой массы шары обмениваются скоростями.

3.Пусть m2 > m1 и V2 = 0, тогда из равенства (1.13) получим: U1 = – V2, а

U2 = 0.

Вывод: при ударе шара о массивную стенку его скорость меняется на противоположную, скорость же стенки практически не изменяется.

Абсолютно упругий удар является идеальным случаем. В реальных случаях в зависимости от того, из какого вещества изготовлены шары, большая или меньшая часть механической энергии переходит в тепло.

Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальная энергия упругой деформации не возникает, кинетическая энергия тел полно- стью или частично превращается во внутреннюю энергию, после удара стал- кивающиеся тела либо покоятся, либо движутся с одинаковой скоростью.

При таком ударе шары деформируются, скорости их выравниваются,

суммарная кинетическая энергия шаров после удара уменьшается по сравнению с первоначальной (до удара), так как часть ее перейдет в дру- гие формы энергии – тепловую энергию пластических деформаций и т.д.

Для этого случая закон сохранения энергии запишется в виде:

8

не могут быть определены методами классической теории, но могут быть исследованы с помощью рассмотрения волнового явления.

Выводы классической теории удара приводят к серьезным ошибкам, когда значительная часть общей энергии обусловливает вибрацию. Этот эффект зависит от соотношения продолжительности удара и периода ко- лебаний, возникающих в телах.

В основе волновой теории удара лежит классическая теория упругости. Уравнения распространения упругих волн получаются в результате совмест- ного рассмотрения трехмерных соотношений между механическими напряже- ниями и деформациями, условий совместности и уравнений движения.

Соотношения между механическим напряжением и деформацией для однородной изотропной среды записываются следующим образом:

где D = dUdx + dUdy + dUdz – объемное расширение тела; si и tij – проекции нор-

мальных и касательных напряжений; ei – относительная деформация рас-

постоянная Ляме; E и G – модули упругости и сдвига соответственно. Уравнения движения могут быть получены из условия равновесия про-

екций напряжений, действующих на элементарный объем (dx,dy,dz).

При отсутствии объемных сил в элементе со сторонами dx, dy и dz, ус- ловие равновесия сил приводит к выражениям:

где r – плотность тела; Ui – проекции перемещения (деформации). Подстановка (1.19) в (1.20) приводит к уравнению движения в переме-

щениях:

10