ТМИ и.з.2 до 10 12

Тема7

f L(A, μ ),σ > 0 , то μ{x Î A

f (x)

³ σ }£

1

∫

7.1 Довести, що якщо

f

dμ .

σ

(Нерівність Чебишова).

A

Тема 8

визначена

формулою μφ

(A) = χ A

8.1 Нехай міра Лебега-Стільтьєса

(c), c -

фіксована точка Ñ. Побудувати приклад функції: а)сумовної за мірою μφ ,

але не сумовної за мірою Лебега; б) сумовної за мірою Лебега але не

сумовної за мірою μφ .

8.21. Довести нерівність 2πe ≤ ∫e x2 + y 2

χ

(x)

dμ2

≤ πe4 , де μ

- міра Лебега

2

2

x

R\Q

2

на Ñ2 , A = {(x, y) Ñ2

A

+ y

1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4} .

Тема 9

∫e-nx2 dμ1 ; μ1 - міра Лебега на Ñ

9.1 Знати границю: а) limn®¥

[0,1]

∫ n

f (x)

9.4Функція f : X → Ñ вимірна і sup

sin

dλ(x) < +∞

. Довести, що

n³1

X

n

Тема 7

Нехай

(X ,Σ,μ )-

простір

із

скінченою

мірою,

f L(X , μ ).

7.14

{An }∞n=1 Σ,μ (An ) → 0 .

Довести, що ∫

f dμ → 0 .

An

Тема 8

∞∑

8.8 f (x) =

sink

χ(k,k +1)(x),x Ñ.

Чи

збігається

невласний інтеграл

+ ∞

k = 1

k

Чи належить функція

f класу L [1,+¥),μ1 , де μ1- міра Лебега

∫ f (x)dx ?

1

на Ñ?

8.12 Нехай міра Лебега-Стільтьєса μφ на Ñвизначена функцією φ (x) = −[− x],

f : Ñ→ Ñ .

Довести, що ∫ f (x)dμφ =

∑ f (k ) ,

A Ñ,

якщо функція

інтегрована.

A

k Z I A

Тема 9

n ³ 1 вимірні і λ(X ) < +∞, fn

9.8 Функції f , fn : X → Ñ

→ f (mod λ ).

Довести, що

limn→∞ ∫sin fn (x) dλ(x) =

∫sin f (x) dλ(x).

X

X

+∞

9.13 Обчислити

: а) limn→∞ ∫e− x sin2 n x dx .

0

Тема 7

7.7

а)Нехай f - вимірна на множині A скінченої міри. Довести, що збіжність

ряду ∑k μ{x A k ≤ f (x) < k + 1} необхідна і достатня для

∞

k =1

інтегрованості f на A .

Тема 8

8.6

Нехай f (x) = (sin x), якщо x Ñ\Ð і f (x) = 2 x , якщо x Ð. Чи інтегрована

ця функція за Ріманом на відрізку [0,1] , за Лебегом відносно міри

Лебега? Інтеграли, які існують обчислити.

8.13 Нехай φ (x) = −[− x]. Описати клас L (Ñ, μφ ).Представити у вигляді суми

ряду ∫

1

dμφ .

2

R 1

+ x

Тема 9

f : X → Ñ вимірна і λ(X ) < +¥. Обчислити limn→∞ ∫e(−n ( f (x )−1)2 ) dλ(x).

9.9 Функція

X

9.12 Послідовність вимірних функцій {fn , n ³ 1} задовольняє умовам:

fn ® f (mod λ ) і C > 0 x X :

fn (x)

≤ C .Довести, що для будь якої

функції g Î L(X ,λ ) limn→∞ ∫ fn (x)g(x) dλ(x)

=

∫ f (x)g(x) dλ(x).

X

X

Тема 7

вимірна на множині A скінченої міри. Довести, що збіжність

7.7б) Нехай f -

ряду

∑ μ{x Î A f (x) ³ k}

необхідна і достатня для інтегрованості f на A .

∞

Тема 8

k =1

x Ñ. Обчислити інтеграл

∫ f (x)dμ1, де μ1-

8.5Нехай f (x) = (sin x)χ

\ (x)

,

0,π

міра Лебега на Ñ. Чи буде

f

інтегрованою за Ріманом на відрізку [0,π ] ?

8.14 При яких значеннях параметрів α,β

функція f L ( [1,+∞), μφ ) , якщо

μφ - міра Лебега-Стільтьєса на Ñ,що визначена функцією φ (x) = −[− x],

а

f (x) = xα sin x β Ñ? Ð

Тема 9

∫

cos2 n (x12

- x22 )dμ2 (x), μ

- міра Лебега на Ñ2.

9.11 Знайти lim

2

n→∞

∫∫

9.14 Обчислити

n

lim

2

1

2

dx1 dx2 , An = {(x1, x2 ) x1 £ 1,nx2 > x12 },n ³ 1.

x1

+ x2

≤4

→∞

An

x1

+ x2

Тема 7

- вимірна на множині A скінченої міри. Довести, що збіжність

7.7в)Нехай f

ряду ∑ 2k

μ{x Î A f (x) ³ 2k } необхідна і достатня для інтегрованості f на

∞

A .

k =1

Тема 8

¥

(-1)k

8.7 f (x) = ∑

χ[k,k +1)(x),x ÎÑ.

Чи

збігається

невласний інтеграл

k

+ ∞

k =1

Чи належить функція f

класу L [1,+∞),μ1 , де μ1- міра Лебега

∫ f

(x)dx ?

1

на Ñ?

0

,

- ¥ < x £ 0

2

-1

, μ

- міра Лебега-Стільтьєса на Ñ,

8.17 φ (x) = - [- ln(x +1)],0 < x £ e

,e

2

-1 < x

φ

4,

< +¥

∫ln

що відповідає цій функції. Обчислити

x + 1

dμφ .

R

Тема 9

μφ - міра Лебега-Стільтьєса

на Ñ.Описати клас

9.3 φ (x) = χ (0,+∞ ) (x), x Ñ.

L (Ñ, μφ ), знайти limn→∞

∫e− nx 2 dμφ . Знайти limn→∞

∫e− nx2 dμ1 ,

μ1 - міра Лебега на

Ñ.

9.10

Функція

f : X → Ñ

вимірна

і

λ(X ) < +∞. Обчислити

limn→∞ ∫sin2 n

f (x)dλ(x).

R

R

X

Тема 7

7.6 Нехай f L(Ak ,μ ){, Ak }∞k =1 - послідовність вимірних множин, що парами

не перетинаються. Чи достатня абсолютна збіжність ряду ∑

∫ f dμ для

∞

того, щоб f L(A,μ ) ? Відповідь пояснити.

k =1 Ak

Тема 8

∫ (− 1)[x2 + y 2 ] dμ2 , A = {(x, y): x2 + y 2

≤ 5}, де μ2 - міра Лебега на

8.15 Обчислити

Ñ2.

A

0,

x ≤ 1

2,

x ≤ 2

8.20 φ (x) =

2

2 < x < +∞

,

f (x) =

1

1 < x < +∞

.

Який з

x

,

1

,

інтегралів існує ∫ f

dμφ , ∫

x2

ln

x

2

f

dμ1 ? μφ - міра Лебега-Стільтьєса

на Ñ, що

R

R

відповідає функції

φ , μ1 -