ТМИ и.з.1 до 26 11

Тема 1.

Нехай

множина.

Покажіть,

що

Σ = {Ø, Х}-

є σ -алгебра

1.1

X -

підмножин Х.

1.12

Нехай f : A → B . A - система підмножин множини А,B- система

підмножин множини В, f −1 ( B):={f −1 (Y ) A, Y B },

σ-

f (A):={f ( X ) B, X A

}.Чи буде f (A) –

σ-алгеброю, якщо A –

алгебра? Чи буде f −1 ( B)–

σ-алгеброю, якщо B – σ-алгебра?

Тема 2.

Нехай {An

n ³ 1}- послідовність вимірних множин і

2.7

∞

∑μ (An ) < +∞ .Довести, що μ (

An ) = 0 .

lim

n=1

Тема 3.

Нехай

X = [0,1]× [0,1]× [0,1] у просторі R3 . На сукупності R

3.10

паралелепіпедів вигляду Pa,b,c,d

:= {(x1, x2 , x3 ) X

a ≤ x1 < b,c ≤ x2 < d,0 ≤ x3 ≤ 1}

визначимо функцію μ (Pa,b,c,d ):= (b − a)(d − c). Для

множин

A :=

(x , x

, x

) X

x

=

1

,i = 1,2,3 , B := (x , x

, x

) X

0 ≤ x

< 1, x

= x

=

1

3

i

3

2

3

1

2

2

1

2

1

2

знайти μ ( A),μ (B

) . Чи будуть μ -

вимірними ці множини?

Тема 4.

Довести, що у кожній множині A [0,1]

додатної міри існує така

4.1

пара точок, відстань між якими ірраціональна.

4.17

Нехай

λF - міра Лебега-Стільтьєса. Довести, що існує не більш ніж

зліченна

множина

J Ñ1 така, що

x J : λF ({x}) > 0 .

Тема 1.

Нехай

X = {1,2,3} і Σ = {Ø, {2}{, 1,3}{, 1,2,3}}.Покажіть, що Σ є σ -алгебра

1.2

підмножин

Х.

сукупність

підмножин

множини

Х. σ{ H1

1.14Нехай

H i

(i = 1,2)-

}

–

мінімальна

σ-алгебра,

що

породжена

системою

H1

і

H1 H 2

σ (H1 ) .Довести, що σ (H1 ) = σ (H 2 ).

Тема 2.

Нехай μ − невід’ємна, адитивна функція, що задана на σ-алгебрі A

2.8

підмножин множини Х, і Ai IAj = Ø (i ¹ j). Довести, що якщо

k

k

μ(A).

A належить σ-алгебрі A і UAi A ,то ∑μ (Ai ) ≤

Тема 3.

i =1

i =1

Нехай X = [0,1]× [0,1]× [0,1] у просторі R3 . На сукупності R

3.9

паралелепіпедів вигляду

< d,0 ≤ x3 ≤ 1} визначимо функцію

Pa,b,c,d

:= {(x1, x2 , x3 ) X

a ≤ x1 < b,c ≤ x2

μ (Pa,b,c,d ):= (b − a)(d − c).

Для множин

A := (x , x

, x

) X

0

≤ x

≤ 1,i

= 1,2, x

=

1

, B := (x , x

, x

) X

0 ≤ x

<

1,i = 1,2, x

=

1

3

i

3

i

3

1 2

1 2

3

2

2

знайти μ ( A),μ (B) . Чи будуть

μ - вимірними ці множини?

Тема 4.

Довести, що у кожній множині

A

[0,1] додатної міри існує така

4.8

пара точок,

відстань між якими раціональна.

4.18

Нехай

μ (A)(A Ñ ) дорівнює числу елементів множини A I Ù,

якщо воно скінчене,

і

+ ∞

у протилежному випадку. Довести, що μ σ -

скінчена міра на 2Ñ

Довести, що міра

μF ,

побудована по функції

F(x) = −[− x], співпадає з мірою

μ .

Тема 5.

Довести , що функції з класу C[a,b]

- борелівські.

5.6

Тема 1.

підмножини

множини

Індикатором

множини

1.3 Нехай E, F -

X .

Е(характеристичною

функцією)

називають

функцію

χ E

1, x E

(x):= 0, χ X (x):= 1. При якому співвідношенні між

(x):=

, χ Ø

0, x E

E і F χ E (x) ≤ χ F (x)?

∞

1.15 H − σ -алгебра. {A1 , A2 ,..., An ,...} H . Довести, що IAn Î H .

Тема 2.

n=1

Нехай μ − невід’ємна, адитивна, скінчена функція на алгебрі A

2.10

підмножин множини Х.

Довести, що для σ-адитивності μ

достатньо ,щоб

μ (lim An ) = lim μ (An ) для кожної спадної послідовності {An

n ³ 1}Ì A, такої

що і lim(An ) A.

Тема 3.

3.3 Нехай μ - зовнішня міра. Довести, що множина А μ - вимірна тоді і

тільки тоді, коли U A, V Ac : μ (U UV ) = μ (U ) + μ (V )

Тема 4.

Довести, що підмножина R1, яка має додатну міру Лебега,

4.1

незліченна.

(A)+ μ (A), де

4.19

Нехай G(x) = x − [− x], x Ñ. Довести, що μG

(A) = μ1

(A Ñ - вимірна за Лебегом множина), μ -

міра,

що визначається

наступним чином:

μ (A)(A Ñ )

дорівнює числу елементів множини

A I Ù, якщо воно скінчене, і + ∞

у протилежному випадку. Обчислити

μG (A), якщо: а) A = [− n,n),n Í;

в) A = {x Ñ

ln x< 2}.

Тема 5.

Довести, що монотонна на Ñ функція –

борелівська.

5.7

Індивідуальне завдання №1

(максимальна сума балів – 5)

Тема

1.

Варіант № 3

E, F - підмножини множини

X . Індикатором

множини

1.4

Нехай

Е(характеристичною

функцією)

називають

функцію

χ E

1, x E

(x):= 0, χ X (x):= 1.Виразити через χ E , χ F

функції

(x):=

, χ Ø

0, x

E

χ E ÇF , χ E ÈF .

\ F − скінченна}.Довести, що

1.17

Нехай H = {F

одна з множинF або R1

Н-

алгебра,

але не є σ-алгебра.

Тема

2.

μ − невід’ємна, адитивна, скінчена функція на алгебрі A

2.9

Нехай

підмножин множини Х .

Довести, що для σ-адитивності μ достатньо

,щоб μ (lim An

) = lim μ (An

) для кожної зростаючої послідовності

{An

n ³ 1}Ì A, такої що і lim(An ) A.

Тема 3.

3.8 Побудуйте приклад зовнішньої міри λ* : 2 X ® [0,+¥] такої, щоб

а) σ (λ* ) = {Ø

, X }, б) σ (λ* ) = 2 X ( σ (λ* )- σ -

алгебра λ* - вимірних множин.

Тема

4.

4.2

Нехай A [a,b) - вимірна за Лебегом множина, що має хоча б одну

внутрішню точку. Довести, що μ1 ( A) > 0 ( μ1 - міра Лебега на прямій).

4.21 B(Ñ) –

борелівська

σ - алгебра. Σ − σ -

алгебра підмножин Ñ, для якої

Тема 3.

3.7 Нехай μ - зовнішня міра на 2 X , σ (μ ) -σ -алгебра μ - вимірних

∞

множин; Bn ,B Îσ (μ ), B = CBn , T Ì X . Довести, що

n=1

∞

μ (T I BC )+ ∑μ (T I Bn ) ≤ μ (T ).

n=1

Тема 4.

міра Лебега яких

4.3 Навести приклади необмежених множин A R1,

дорівнює : б) α (0,+∞);

4.22 Наведіть приклад неспадної функції f : Ñ→ Ñ( f (x) ¹ const ), щоб σ -

алгебра вимірних відносно міри Лебега-Стільтьєса μ f

множин а)

співпадала з 2Ñ ;б) ¹ 2Ñ

Індивідуальне завдання №1

(максимальна сума балів – 5)

Варіант № 5

Тема 1.

= Ø i ¹ j , знайти lim En .

1.6 Для послідовності множин {En }∞n=1, Ei Ç E j

1.11Позначимо σ{M} – мінімальну σ-алгебру,

що породжена системою

M

- підмножин множини Х, B(Ñ) – борелівська σ-алгебра на прямій.

Довести, що : б) B(Ñ)=σ {(a,b]

a < b},

Тема 2.

2.6 μ − міра на σ-алгебрі A підмножин множини Х. {An

n ³ 1}Ì A і

∞

μ UAn < +¥ , то limμ (An ) £ μ (limAn )

n=1

Тема 3.

= {1,2,3,4}, R= {Ø ,{2}{, 1,3}}. Довести, що R-півкільце, μ − σ -

3.5 X

адитивна на R, якщо

μ (Ø ) = 0,μ ({}1 ) = 1,μ ({2}) = 1,μ ({3,4}) = 2 .Побудувати на 2 X зовнішню

міру μ , індуковану функцією μ . Описати μ - вимірні множини.

Тема 4.

Навести приклад спадної послідовності

{An }∞n=1 Ì B(R1) (B(R1) –

4.4

борелівська σ - алгебра на прямій) такої, що μ1 ( An ) = +¥ (n ÎÍ) і

B = lim An таке, що виконується одна з наступних умов: в) μ1 (B) = +¥ ,

д) μ1 (B) = 1, B É Ð.

4.23

Довести, що довільна підмножина A Ñ μ f - вимірна і написати

формулу для обчислення μ f ( A) , якщо : а)

− 5, x

≤ 2

f (x) =

Тема

4 , x > 2

5.

5.8

Довести, що числова функція, що задана на вимірному просторі

(Ñ, S) вимірна тоді і тільки тоді, коли вимірні множини

{x : x ÎÑ,

f (x)< q},"q ÎÐ.

Індивідуальне завдання №1

(максимальна сума балів – 5)

Варіант № 6

Тема 1.

Нехай E -

підмножина

множини

Індикатором

множини

1.7

X .

Е(характеристичною

функцією)

називають

функцію

χ E

1, x E

(x):= 0,

χ X (x):= 1.

Довести,

що

(x):=

, χ Ø

0, x E

χ E

(x) = limχ En (x) , якщо E := limEn .

χ E - індикатор множини Е.

1.11 Позначимо σ{M}

–

мінімальну

σ-алгебру,

що

породжена

системою

M -

підмножин множини Х,

B(Ñ) –

борелівська σ-

Тема 2.

алгебра на прямій. Довести,

що а) B(Ñ)=σ {[a,b)

a < b}.

H . Нехай

2.1 Нехай μ − адитивна функція на класі множин H і

Ø

A H (μ( A) < +∞). Довести,

що

μ( Ø)=0.

Тема 3.

Нехай μ -

зовнішня міра на 2 X , σ (μ ) -σ - алгебра μ - вимірних

3.6

множин;

A, B σ (μ ), T X .

Довести,

що

μ (T I AC )+ μ (T I A I BC ) = μ (T I (A I B)C ).

Тема 4.

Нехай A [0,1]

вимірна за Лебегом множина. Довести, що

4.10

функція

f (x) = μ1 (A I [0, x]) (μ1 −

міра Лебега) неперервна на [0,1].

4.19

Нехай

G(x) = x − [− x], x Ñ. Довести, що μG

(A) = μ1

(A)+ μ (A),

де

(A Ñ

-

вимірна за

Лебегом множина),

μ

-

міра,

що

визначається наступним чином:

μ

(A)(A Ñ

)

дорівнює числу

елементів

множини

A I Ù,

якщо

воно

скінчене, і

+ ∞

у

протилежному

випадку.

Обчислити

μG (A),

якщо:

б)

Тема 5.

A = (− n,n) \ Ð, (n Í); г) A = (− n,n) \ É, (n Í).

Нехай f -

диференційована на відрізку [0,1] фукція. Довести, що

5.19

f ′ - вимірна за Лебегом .

Індивідуальне завдання №1

(максимальна сума балів – 5)

Варіант №

7

Тема 1.

підмножина

множини

X . Індикатором

множини

1.8Нехай

E -

Е(характеристичною

функцією)

називають

функцію

1, x E

(x):= 0,

χ X (x):= 1.

Довести,

що χ E (x) = limχ En (x) ,

χ E (x):=

, χ Ø

0, x

E

якщо E := limEn .

1.11

Позначимо σ{M} – мінімальну σ-алгебру, що породжена системою

M -

підмножин множини Х,

B(Ñ) – борелівська

σ-алгебра на прямій.

Довести,

що в)B(Ñ)=σ {(a,b)

a < b}.

Тема 2.

2.3 Довести, що невід’ємна, адитивна , скінчена і неперервна зверху на

порожній множині функція, що задана на σ-алгебрі підмножин деякої

множини є міра на цій σ-алгебрі.

2 X зовнішню міру μ , індуковану функцією μ . Описати μ - вимірні

множини.

Тема 4.

, що парами

4.13 Навести приклад послідовності множин {An }∞n=1 B(R1)

не перетинаються (B(R1) –

борелівська σ - алгебра на прямій) і

∞

= R1; б)

задовольняють одній з умов :а) μ1 ( An ) = 1 (n Í), UAn

n=1

∞

μ1 ( An ) = +∞ (n Í), в) μ1 ( An ) = +∞ (n Í), UAn = R1.

4.23 Довести, що довільна підмножина

n=1

A Ñ μ f - вимірна і написати

− 4, x ≤ 2

формулу для обчислення

μ f ( A) , якщо

:б) f (x) = − [− x], x > 2 .

Тема 5.

) − вимірні простори.{A1 , A2 } Σ, A1

A2

= Ø,

5.1 (X ,Σ),(X ,Σ

′

′

x , x A

I

A1 U A2 = X , f (x)

= 1

1 , x1 , x2 - фіксовані елементи з X ′ . Довести,

що відображення

x2 , x A2

f

є Σ − Σ′ - вимірне.

Тема 3.

А,В,}, де А,Втакі, що A I B, A \ B, B \

A - непорожні.

3.2 Нехай U={Ø,

Нехай

μ (A) = μ (B) = 1,μ (Ø)=0.

Доведіть, що μ σ -

адитивна на U.

Задайте хоча б два продовження μ

на σ (U) (мінімальну σ-алгебру ,

породжену системою U). Скільки таких продовжень існує?

Чи є μ -

вимірними (вимірними за Каратеодорі) множини з U?

Тема 4.

Нехай

А

вимірна

за

Лебегом

на

R1

множина.

4.12

B = a + A = {a + x : x A}. Чи

вимірна множина

В?

Якщо – так,

то

порівняйте міри А

і В.

- вимірна і написати

4.23 Довести, що довільна підмножина A Ñ μ f

− 3, x ≤ 2

формулу для обчислення μ f ( A) , якщо : в) f (x) =

− [− 2 x ], x > 2 .

Тема 5.

(X ,S),(X ,S

) - вимірні простори.{A1 , A2 , A3 }Ì S, Ai

Aj = Ø,

5.2

′

′

I

i ¹ j

. A1 U A2

U A3 = X , f (x) = xi , x Î Ai ,1 £ i £ 3

x1, x2 , x3 - фіксовані

елементи з X ′ . Довести, що відображення f є S - S′ - вимірне.

Тема 3 .

А,В,С}, де AIB = Ø, AUB C і

3.1 Нехай U={Ø,

μ (A) = μ (B) = μ (C ) = 1,μ (Ø)=0.

Довести, що функція μ σ − адитивна на

U. Чи можна μ продовжити до міри на σ (U) (мінімальну σ-алгебру

,

породжену системою U)? Чи є μ - вимірними (вимірними за

Каратеодорі) множини з U?

Тема 4.

обмежена множина і μ1 ( A) > 0 . Довести,

4.11 Нехай Авимірна за Лебегом,

що α (0, μ1 (A)) B A, B - вимірна за Лебегом множина і μ1 (B) = α .

− 1, x ≤ 1

− 1, x ≤ 1

4.20 f (x) =

,

g(x) =

. μ f , μ g - відповідні міри Лебега-

ln x, x > 1

x −

2, x > 1

Стільтьєса. Яка з рівностей вірна

μ f ({}1 ) = 0, μ g ({}1 ) = 0 ? Невірне

виправити.

Тема 5.

що породжена

5.3 (X ,Σ)- вимірний простір , а Σ - мінімальна σ - алгебра,

системою

∞

Описати клас

H = {An

n³ 1}, An Ì X , An I Am = Ø, n ¹ m,UAn

= X .