Для планарного волновода градиентный профиль показателя преломления зависит только от координаты, поэтому каждая точкалучевой траектории описывается с помощью двух компонентов (-го и -го)

Для выяснения физического смысла этих уравнений введен угол , образующийся между касательной к траектории луча и осью волновода(см. рис. 5.28). Из треугольника можно записать

(5.29)

Если проинтегрировать второе уравнение в выражении (5.28), то получится соотношение

(5.30)

справедливое для всех . Оно является обобщением закона Снеллиуса (5.13) для градиентных сред (). При этом выражениепостоянно вдоль траектории луча. Для конкретного профиля траектория луча однозначно определяется углом.

Из закона Снеллиуса () для градиентных сред получим

Каустика точек поворота.

Каустика (от лат. жгучий) — огибающая семейства лучей, не сходящихся в одной точке. Каустики в оптике — это особые линии (в двухмерном случае) и особые поверхности, вблизи которых резко возрастает интенсивность светового поля.

Из уравнения (5.30) следует, что если уменьшается при удалении от оси волновода, то внутри сердцевины существует граница, на которой . Причем положение этой границы определяется значением. За ней луч распространяться не может. Указанную границу принято называтьточкой поворота , которая определяется из условия

(5.31)

Из сопоставления понятия кривизны лучевой траектории с понятием точки поворота, проиллюстрированного рис. 5.29, видно, что траектория луча подобна траектории на рис. 5.29 а (луч проходит через точку поворота и возвращается к оси), если уравнение (5.31) имеет решение, и траектория луча подобна траектории на рис. 5.29 б (луч достигает границы раздела и уходит из волновода), если оно не имеет решения.

Рис. 5.29. Кривизна лучей и точка поворота

В первом случае луч непрерывно поворачивается и возвращается к оси, во втором случае луч достигает границы сердцевины и, преломляясь выходит наружу. Так как профиль непрерывен вблизи границы раздела, то угол падения равен углу преломления, . Штриховая линия, соответствующая, представляет собой геометрическое место точек поворота всех лучей с одинаковым значением, которое часто называютлучевой каустикой или каустикой точек поворота.

Характеристики траектории луча.

Траекторию луча в волноводе можно построить повторением отрезков траектории, изображенной на рисунке слайда 41. Если профиль показателя преломления симметричный, то есть , то траектория примет вид синусоиды, как показано на рисунке.

Такие лучи являются направляемыми. Лучи, траектория которых достигает границы раздела, теряют свою мощность и называются рефрагирующими по аналогии с соответствующими лучами в волноводе со ступенчатым профилем.

Рис. 5.30. Траектория луча в сердцевине симметричного планарного волновода с градиентным профилем

Траектория луча, касающаяся границы раздела сердцевины с оболочкой, разделяет области, заполненные траекториями лучей каждого из указанных типов. Для граничной траектории . Обозначая соответствующее этой траектории значениечерез, получим

предполагая, что - максимальное значение. Таким образом, лучи в волноводе с градиентным профилем могут быть классифицированы в соответствии со значением:

направляемые лучи: ,

рефрагирующие лучи: .

Решение уравнения (5.28) для лучевых траекторий рассмотрим при анализе лучевых параметров.

1. Анализ лучевого инварианта

(Инвариа́нт в физике—физическая величина, значение которой в некотором физическом процессе не изменяется с течениемвремени)

Ранее было введено понятие лучевого инварианта . В случае градиентного профиля он определяется выражением:

Следовательно, постоянен вдоль траектории и определяет направление луча в любой ее точке, а также положение точки поворота.

Так как в точке поворота , то

и между исуществует взаимно однозначное соответствие.

Классификация лучей может быть проведена также и относительно Прииследует, что. Таким образом,направляемые лучи:

рефрагирующие лучи: ,

где - максимальное значение.

2. Лучевые параметры

(длина пути , оптическая длина пути, полупериод траектории луча, количество отражений на единицу длины волновода)

Ранее введенные параметры для волноводов со ступенчатым профилем легко обобщаются на волноводы с градиентным профилем. Хотя процесс обобщения можно упростить, получив предварительно явное решение системы уравнений для траектории луча, однако на практике очень редко используют зависимость характеристик луча вдоль траектории . Используют направление распространения луча.

Заменяя в первом уравнении (5.28) наиз выражения (5.34), после соответствующих преобразований получаем

(5.37)

Полагая гдепосле интегрирования имеем

(5.38)

так как ипри. Второе интегрирование дает

Точный параметр для траектории направляемых лучей при и для рефрагирующих лучей при

где при.

Параметры траектории луча будем находить, используя левый рисунок, на котором представлен отрезок траектории направляемого луча между следующими друг за другом точками поворота и(по аналогии с правым рисунком), отстоящими на расстоянии, равном полупериодуи измеренном вдоль оси волновода.

Рис. 5.31. Траектория луча в сердцевине планарного волновода

с градиентным профилем

Длина пути (измеряется вдоль траектории между точкамиииоптическая длина пути определяются интегралами по траектории:

Полупериод траектории луча можно получить

в виде

В случае симметричного профиля интеграл вычисляется в пределах , а результат удваивается.

Отсюда определяется и количество точек поворота траектории луча на единицу длины волновода

Локальный критический угол скольжения.

Этот угол важен только для волноводов с градиентным профилем.

В любой точке поперечного сечения волновода со ступенчатым профилем все направляемые лучи распространяются под углами к оси волновода, значения которых лежат в интервале где- критический угол скольжения.

Для волноводов с градиентным профилем область значений углов направляемых лучей изменяется в зависимости от положения луча в поперечном сечении. На оси указанная область определяется известным выражением, а на границе сердцевины все направляемые лучи имеют, то есть они параллельны оси волновода. Соответственно локальный критический угол скольжениябудет

В результате интервал углов направляемых лучей в точке с координатой определяется следующим образом:

При выражение сводится к известному выражению, а при

3. Время прохождения луча

Время прохождения луча в волноводах с градиентным профилем определяются интегралом вдоль искривленной траектории луча (см. рис. 5.30). Локальная скорость света непрерывно изменяется по закону , где– скорость света в свободном пространстве и- профиль показателя преломления. Итак, время прохождения луча на расстояниевдоль оси волновода определяется интегральным выражением

Здесь интегрирование выполняется вдоль кривой . Этот интеграл не имеет простого представления, но его можно аппроксимировать. Время прохождения луча на расстояние равное полупериоду траектории, составляет, где- оптическая длина пути. Таким образом, еслиточно кратно полупериоду траектории, то время прохождения луча можно представит выражением

В общем случае не кратно, однако привыражение может служить достаточно точным приближением для интегрального уравнения.

Выравнивание времени прохождения.

В волноводах с градиентным профилем происходит выравнивание времени прохождения для различных лучей, что легко объяснить.

Так как уменьшается при удалении от оси, то чем дальше от оси распространяется луч, тем больше локальная скорость светаТакое увеличение скорости частично компенсирует увеличение длины пути неосевых лучей, а в случае гиперболического секансного профиля (как будет показано позже) происходит полное выравнивание.

Дисперсия материала.

Обобщим и влияние дисперсии материала на групповую скорость, рассмотренное ранее для ступенчатого профиля.

Профиль в первом интеграле правой части выражения (5.46) необходимо заменить групповым показателем. Следовательно,

(5.48а)

Далее, повторяя рассуждения, используемые при выводе выражений (5.47) и (5.46) получаем

(5.48б)

Таким образом, (дисперсная длина пути) заменяет оптическую длину путив выражении (5.47).

4. Слабонаправляющие волноводы

Оптические волноводы, используемые в технике связи, обычно являются слабонаправляющими, то есть перепад между максимумом и минимумом показателя преломления в поперечном сечении мал и обычно не превосходит 1% от максимального значения. В следующем разделе будут часто использоваться вытекающие отсюда преимущества, так как это позволяет значительно упростить алгебраические выражения и решать задачи, которые в общем случае не могут быть решены аналитически. Здесь рассматриваются некоторые особенности такого приближения применительно к лучевому анализу.

Параксиальное приближение.

Если максимальное и минимальное значения показателя преломления близки, то из выражений (5.12) и (5.32) следует, что критические углы скольжения ималы и справедливо следующее соотношение:

(5.49)

аналогичное соотношение получается для . Таким образом, интервал углов направляемых лучей в выражениях (5.14) и (5.33) мал, и любой направляемый луч распространяется почти параллельно оси. Такое приближение называетсяпараксиальным.

Параксиальное приближение не приводит к упрощению уравнений (5.28), поскольку, как видно из выражения (5.39), - константа, апринимает значения, уменьшающиеся вплоть до. Однако оно позволяет упростить выражения для путив выражении (5.41) при использовании указанной ниже аппроксимации. Профиль может быть описан следующим образом:

(5.50)

где – максимальное значение показателя преломления,- неотрицательная функция, а- константа, определяемая с учетом (5.12) соотношением

(5.51)

В однородной оболочке , а. Такое определениепредполагает выполнение условияв приближении слабонаправляющего волновода, то есть условие. Таким образом, в низшем порядке приближения величинапредставляет собой относительный перепад междуи, то есть

(5.52)

и характеризует относительную высоту профиля, поэтому параметр называетсяпараметром высоты профиля. При из выражения (5.50) получаем приближенное соотношение

(5.53)

которое будет использовано при определении .