19

Таблица 11. Функционально полные логические базисы.

большинстве случаев имеется возможность его сократить. Внимательно посмотрев на таблицу истинности, можно заметить, что если x=1 и y=1, то результат будет равен 1 вне зависимости от значения z. Тогда z можно не учитывать, две последние конъюнкции будут заменены одной: f 3=x y z x y z x y . В данном случае с последней конъюнкцией x y z можно склеить и первые две, в результате получив f 3= y z x z x y . Такая запись функции называется минимальной ДНФ (МДНФ). Формализация этого подхода привела к созданию метода Квайна – Мак-Класки.

Метод Квайна – Мак-Класки позволяет минимизировать ДНФ произвольной логической функции с любым количеством переменных, а также автоматизировать процесс минимизации. Но он не является самым простым и наглядным, и в связи с этим подробно рассматриваться не будет. Более простой и наглядный способ предельно минимизировать ДНФ для функции, включающей в себя до четырёх входных переменных, основан на применении карт Карно. Карта Карно представляет собой таблицу истинности, записанную в специальной форме. Значения входных переменных записываются в заголовках строк и столбцов таким образом, что при переходе на соседний столбец или на соседнюю строку изменяется значение ровно одной переменной, записанной в соответствующем заголовке, причём соседними считаются также первые и последние строки и столбцы. Значения функции записываются в ячейках таблицы.

Ключевой этап формирования минимальной ДНФ по картам Карно состоит в выделении интервалов – смежных ячеек карты, в

20

пределах которых функция сохраняет единичное значение. Каждый интервал описывается одной конъюнкцией, в которую входят только те переменные, которые не изменяют своего значения в пределах интервала. Переменные, сохраняющие нулевые значения, входят в конъюнкции с инверсией. Интервал может состоять из одной ячейки – конъюнкция будет содержать все переменные, двух – одна из переменных в конъюнкции будет отсутствовать, четырёх – в конъюнкции будут отсутствовать две переменных, изменяющих свои значения в пределах интервала, и т.д. На карте Карно каждый интервал представляется в виде прямоугольной области, содержащей 2n единиц. Чем больше ячеек удаётся объединить в интервал, тем меньше будет ДНФ. Одна и та же ячейка может входить в несколько интервалов. Каждая представляющая единичное значение ячейка карты должна входить, по крайней мере, в один из интервалов. Ни один из интервалов не должен состоять только из ячеек, входящих в другие интервалы. Минимальная ДНФ представляет собой дизъюнкцию полученных конъюнкций.

Карта Карно для функции двух переменных x y представлена в Таблице 12. При построении ДНФ по таблице истинности (Таблица 6), получается: x y=x y x y xy . Результат принимает единичное значение при y=0 для любого значения x и при x=1 для любого y. Объединяются интервалы рядом стоящих единиц: два