9

6 Теоретические и справочные сведения

6.1 Позиционные системы счисления

Число – количественная характеристика величины.

Система счисления – метод записи чисел с помощью символов. Символы, предназначенные для представления чисел, называются цифрами.

Различаются позиционные, непозиционные и смешанные системы счисления. Наиболее удобны для вычислений позиционные системы счисления, поэтому они используются в вычислительной технике и математике в подавляющем большинстве случаев.

Каждая позиционная система счисления определяется некоторым числом b , которое называется основанием системы счисления. Система счисления с основанием b также называется b -рич- ной. Число x в b -ричной системе счисления представляется в

k=−m

где a k — это целые числа, удовлетворяющие неравенству 0 a k b , k – позиция числа a k , называемая разрядом, n - число разрядов целой части числа, m - число разрядов дробной части числа при записи вещественного числа в виде b -ричной дроби. Число bk можно считать весом разряда. В соответствии с весом разряды различаются по старшинству. Каждая единица в k -м разряде соответствует b единицам в k −1 -м разряде или bk единицам в числе, представленном в данной системе счисления, таким образом, вес разряда зависит от позиции.

Для записи чисел в b -ричной системе счисления достаточно b цифр, и удобно, когда их ровно b . Если количество цифр, используемых в системе счисления, меньше основания, разряды отделяются друг от друга специальными символами. Наиболее часто в настоящее время применяют позиционные системы с основаниями:

2 — двоичная: применяется в вычислительной технике, дискретной математике, информатике, программировании, логике; в качестве цифр используются 0 и 1.

10

10 — десятичная: в связи с традициями наиболее привычна для человека; используются цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

16 — шестнадцатеричная: используется в программировании, вычислительной технике; используются цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

60 — шестидесятеричная: измерение времени, углов и, в частности, долготы и широты; используются цифры десятичной системы счисления, для отделения разрядов используются симво-

лы - минуты, - секунды.

Для того чтобы при записи чисел различать системы счисления с разными основаниями, подписывают основание или используют условные обозначения: для двоичного числа – b, для шестнадцатеричного – h, к десятичному ничего не добавляют.

6.1.1 Десятичная система счисления

Основание системы счисления – 10. Выбор такого основания связан со счётом при помощи пальцев. Позиция каждого разряда соответствует степени, в которую возводится основание системы счисления: 101 - десятки, 100 - единицы, 10−1 - десятые доли. Значение каждого разряда показывает, сколько в данном числе десятков, единиц, десятых долей и т.д. Каждый разряд может принимать одно из десяти значений, обозначаемых соответствующими цифрами. Целая часть числа отделяется от дробной с помощью запятой в России и некоторых странах или точки в других странах. Нули в начале числа обычно не пишутся, и число начинается со старшего ненулевого разряда. Число 78901,23456 можно представить как 78901,23456=7 104 8 103 9 102 0 101 1 100 2 10−1 3 10−24 10−3 5 10−4 6 10−5 .

6.1.2 Двоичная система счисления

При конструировании ЭВМ информацию целесообразно кодировать набором двоичных чисел. В этом случае компоненты ЭВМ проще создать физически, например (упрощённо): при передаче сигнала нулю соответствует низкое напряжение на проводнике, единице – более высокое. При хранении на магнитном диске единице соответствует область более высокой намагниченности,

11

нулю – более низкой. Для оптического диска единица – область с высокой отражательной способностью, нуль – с низкой.

В двоичной системе счисления каждый разряд принимает одно из двух значений – 0 или 1. Позиция разряда соответствует степени двойки. Перевод в десятичную систему - по формуле (1)

10101010b=1 27 0 26 1 25 0 24 1 23 0 22 1 21 0 20= =128 32 8 2=170.

Для перевода числа из десятичной системы в двоичную, необходимо выяснить, из каких степеней двойки оно состоит. Практически это можно сделать с помощью деления на два с остатком так, как показано на примере в Таблице 1: 175=10101111b .

Таблица 1. Пример перевода числа из десятичной в двоичную систему счисления

определённой длины, характерной для данной технической реализации, называемым «слово». Размер слова обычно кратен байту. В восьмиразрядных компьютерах слово составляет один байт, в тридцатидвухразрядных – четыре байта, в ЭВМ БЭСМ-4 (1962г.) слово составляло 45 разрядов. Если размер слова не оговорен, используют минимально возможный, кратный байту. Записывают слово целиком, поэтому старшие разряды могут быть нулевыми:

00010000b=16 .

Вещественные двоичные числа в вычислительной технике обычно представляются в нормализованном виде с помощью мантиссы и порядка. Для этого двоичный код установленной для представления вещественного числа длины разбивается приблизительно следующим образом: один бит для знака числа, несколько битов

12

для представления величины мантиссы, один бит для знака порядка и несколько битов для представления величины порядка.

6.1.3Шестнадцатеричная система счисления

ВТаблице 2 показано соответствие чисел от нуля до шестнадцати в десятичной, двоичной и шестнадцатеричной системах счисления. По мере увеличения от нуля до девяти, количество цифр в двоичном числе увеличилось, в Таблица 2. соответствии с увеличением степеней двойки, до Шестна- четырёх. Объём этого значения – половина байта дцатерич-

Таблица 4. Выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления