14

6.1.4 Операции над числами

Для любых чисел определены операции сложения, вычитания, умножения, деления и т.д. Найти сумму, разность, произведение и частное двоичных и шестнадцатеричных чисел, применяя соответствующие этим системам правила переноса и таблицы умножения, можно так же, как и десятичных (Таблица 4).

Технически сложение реализуется с помощью аппаратной реализации логических функций, вычитание может быть реализовано, например, через сложение с числом, представленном в дополнительном или обратном коде. Устройство преобразования числа в дополнительный код в совокупности с сумматором оказываются проще специального устройства для вычитания за счёт сложности реализации заёмов. Если вычитание производится на имеющемся сумматоре, оборудование экономится ещё больше.

Представление числа в обратном (инверсном) коде реализуется заменой значений всех разрядов числа на противоположные: 00011100b 11100011b . Представление числа в дополнительном коде реализуется прибавлением единицы к числу, представленному в обратном коде: 00011100b 11100011b 00000001b=11100100b . Сумма числа и его представления в дополнительном коде даёт единицу: 00011100b 11100100b=100000000b . Если отбросить старший разряд, результат суммы с числом в дополнительном коде будет представлять собой разность чисел. Так как число в обратном коде на единицу меньше, чем в дополнительном, ри реализации вычитания через сложение с числом в обратном коде к результату прибавляется единица в младшем разряде, после чего соответствующее число младших разрядов рассматривается как результат.

6.2 Булева алгебра

История развития булевой алгебры начинается с книги Джорджа Буля «Законы мышления», изданной в 1854г. В ней Буль развил алгебру высказываний. В булевой алгебре каждое высказывание может иметь одно из двух значений: «True» и «False», любые логические выводы формируются посредством простейших логических операций. Значение «True» обычно соответствует двоичной единице, а «False» - нулю. Логические операции аппаратно реали-

15

зуются по несложным электрическим схемам, где нулю и единице соответствуют разные напряжения. Применение аппаратно реализованных логических операций булевой алгебры позволило поручить машине автоматическое формирование определённых логических выводов на основе исходных данных, представленных в

Таблица 5. Таблица истинности одноместных операций.

Таблица 6. Таблица истинности двуместных операций.

16

двоичном виде. В связи с этим, булева алгебра получила широкое распространение для реализации обработки информации на ЭВМ.

6.2.1 Булевы функции

Булева алгебра включает в себя четыре одноместные операции (Таблица 5) и шестнадцать двуместных (Таблица 6). По традиции операции булевой алгебры принято называть логическими функциями или функциями - связками. Логические функции описываются с помощью таблиц истинности, которые однозначно определяют значение результата в зависимости от значений аргументов.

Операции, не изменяющие входные значения, называются тривиальными. Операции, результат которых зависит не от всех входных переменных, называются вырожденными. Переменные, не участвующие в результате, называются фиктивными. Для описания более сложных логических функций ни тривиальные, ни вырожденные операции не используются. Логические операции обладают рядом свойств (Таблица 7).

Таблица 7. Свойства логических операций

17

6.2.2 Описание произвольной логической функции

Булевы функции можно определить и для большего числа аргументов (как это можно видеть из свойств). Например, логическое сложение, умножение и ещё три функции для трёх аргументов: f 1 - исключающее «ИЛИ», f 2 - сумма по модулю 2, f 3 - мажоритарная функция, задаются таблицей истинности (Таблица 8).

Всего различных логических функций трёх аргументов будет 256. Рассматривать их все нет никакого смысла, если учесть, что любую из них можно реализовать в виде выражения с помощью одноместных и двуместных логических операций, используя их свойства. Так, X Y Z= X Y Z и XYZ = XY Z .

Значение выражения вычисляется в порядке приоритета операций, а в случае равного приоритета – слева направо. Наивысший

18

ным одночленом или минтермом и принимает единичное значение только на рассмотренном для неё наборе, в остальных случаях её значение будет нулевым. Для каждого набора входных значений, где в результате получается единица, необходимо создать соответствующий минтерм. В данном случае для первой функции получим три минтерма, каждый из которых включает по три переменных: x y z , x y z , x y z . Для остальных функций – по четыре минтерма. После этого, все полученные минтермы объединяются операцией дизъюнкции. В результате единица появляется тогда, когда один из минтермов принимает единичное значение, в свою очередь, единичное значение каждый минтерм принимает только для своего набора значений входных переменных. Такой способ задания логической функции называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). В итоге: f 1=x y z x y z x y z . Так логическая функция трёх переменных описана с помощью одноместной и двуместных операций: отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. Аналогично

f 2=x y z x y z x y z x y z , f 3=x y z x y z x y z x y z . Пользуясь тем, что дизъюнкция принимает нулевое значение

только на одном входном наборе, можно описать все нули дизъюнктивными одночленами (макстермами), и полученные дизъюнкции объединить конъюнкцией – получим конъюнктивную нормальную форму (КНФ). Например, КНФ для f 2 (Таблица 10):

f 2= x y z x y z x y z x y z . Очевидно, КНФ выгоднее ДНФ, когда количество нулей меньше количества единиц.

С помощью операций конъюнкции, дизъюнкции и отрицания можно описать любую логическую функцию любого количества