Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
начерталка.Ермилова.pdf
Скачиваний:
134
Добавлен:
15.03.2016
Размер:
5.75 Mб
Скачать

Итак, начертательная геометрия — раздел геометрии, в котором пространственные образы изучаются при помощи построения их графических изображений на плоскости, а также рассматриваются способы и методы решения и исследования на плоскости пространственных геометрических задач. Правила построения графических изображений, излагаемые в начертательной геометрии, основаны на методе проекций.

1.3.Методы проецирования

Сточки зрения начертательной геометрии геометрическое пространство как точечное множество отображается на плоскость по закону проецирования.

Проецированием называется процесс построения изображения объекта (точки, прямой, плоской фигуры и т. д.) на плоскости с помощью проецирующих лучей. Полученное изображение объекта на плоскости является проекцией этого объекта. Плоскость, на которой получают проекцию, называют плоскостью проекций.

Проекцией любой точки пространства на плоскость или поверх-

ность называют точку пересечения проецирующего луча, проходящего через точку пространства, с данной плоскостью (поверхностью).

По направлению проецирующих лучей различают проецирование центральное и параллельное.

Метод центрального (конического) проецирования заключается в том, что все проецирующие лучи, проходящие через точки пространства, исходят из одной точки S — центра проецирования (рис. 1).

Рис. 1. Метод центрального проецирования

Метод параллельного проецирования основан на том, что центр проецирования S удален на бесконечно большое расстояние от плоскости проекций, и проецирующие лучи становятся параллельны между собой и некоторому заданному направлению проецирования N.

При параллельном проецировании различают:

ортогональное (прямоугольное) проецирование, когда проецирую-

щие лучи перпендикулярны плоскости проекций (рис. 2, а); косоугольное проецирование, когда проецирующие лучи не пер-

пендикулярны плоскости проекций (рис. 2, б).

20

а

б

Рис. 2. Метод параллельного проецирования

Рассмотрим некоторые свойства параллельных проекций.

1. Проекция точки есть точка. Это очевидно из самого определения проекции точки как точки пересечения проецирующего луча

сплоскостью проекций.

2.Проекция прямой в общем случае прямая. Действительно, для по-

строения проекции прямой АВ необходимо через каждую принадлежащую этой прямой точку провести проецирующий луч. Все проецирующие лучи, проходящие через точки прямой АВ, параллельны заданному направлению проецирования N. Совокупность этих лучей образует про-

ецирующую или лучевую плоскость α, которая при пересечении с плоскостью проекцийП1 определяет проекцию прямой А1В1:

|А1В1|= α ∩ П1, |АВ| α.

В частном случае проекция прямой СD есть точка C1 D1 (рис. 3).

Рис. 3. Проекции прямых

3. Если точка пространства принадлежит прямой, то и проекция этой точки принадлежит проекции прямой (рис. 3). Это свойство следует непосредственно из определения проекции геометрической фигуры как множества проекций всех принадлежащих ей точек. Если точка K принадлежит прямой АВ и плоскости α, то и проецирующий

21

луч, исходящий из точки K, принадлежит плоскости α. Следовательно, этот луч пересечет плоскость проекций П1 в линии пересечения плоскостей α и П1, т. е. в точке K1, принадлежащей проекции прямой А1В1:

K |AB| K1 |A1B1|.

4. Отношение отрезков прямой пространства равно отношению их проекций (рис. 3). Если точка K делит отрезок прямой пространства АВ в отношении m : n, то и проекция этой точки K1 делит в таком же отношении проекцию этого отрезка прямой А1В1:

АK = А1K1 = m KB K1В1 n .

В начертательной геометрии рассматривают следующие основные

виды проекций:

ортогональные; перспективные; аксонометрические;

проекции с числовыми отметками.

При ортогональном проецировании каждой точке пространства соответствует одна и только одна проекция точки (рис. 4, а). Вместе с тем, каждой проекции точки соответствует множество точек пространства, расположенных на одном проецирующем луче (рис. 4, б).

Следовательно, одна проекция точки не определяет положения этой точки в пространстве. Для определения положения точки в пространстве необходимо иметь две ее проекции, полученные при двух различных направлениях проецирования.

а

б

Рис. 4. Проецирование точки

В 1799 г. французский ученый Гаспар Монж предложил метод проецирования объекта (точки, прямой, плоской фигуры и т. д.) на две и три взаимно перпендикулярные плоскости проекций.

22

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.