Д.У. плоского твердого тела
Вспомним кинематику: Плоское (или произвольное) движения твердого тела мы можем представить как сумму поступательного движения вместе с центром масс C и вращательного (или сферического) движения вокруг центра масс C
Поступательная часть движения определяется теоремой о движении центра масс
Mac Fke |
(9) |
k |
|
Для определения вращательной части движения |
|
найдем выражение для теоремы моментов во |
|
вспомогательной системе координат |
Cx1 y1 z1 |
|
|
z1 |
|
Радиус вектор |
|
||
z |
y1 |
|
|||||
|
|
x1 |
rk rC r1k |
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
rC |
r1k |
Fkein mkake , |
|||
|
|
Mk |
|||||
x |
|
rk |
Fin m a |
|
|||
|
|
|
y |
kc |
k |
kc |
|
O |
|||||||
|
|
|
|||||
второй закона Ньютона в неинерциальной системе
отсчета |
mk akr Fki Fke Fkein Fkcin |
(10) |
|
Oxyz - инерциальная системе координат
Cx y z |
1 |
- подвижная система координат, |
|
1 |
1 |
движение поступательное |
|
|
|
|
|
Имеем: |
|
e |
0 |
Fin 0 |
|
|
|
kc |
|
|
M0 (Fki ) 0 |
свойство внутренних сил |
||
|
k |
|
|
|
Повторяя те же выкладки, что были при выводе теоремы моментов, получим
dKc Mc (Fke )
dt k
Mc (Fkein ) (11) k
Kc |
вычисляется в системе координат |
Cx1 y1 z1 |
|
akc |
ac - для всех точек; Fkein mkaek |
mk ac |
|
|
MC (Fkein ) ( mkr1k ) aC Mr1C aC 0, |
||
|
k |
k |
|
т.к. r1C 0
В результате мы получили
dKc Mc (Fke ) (12)
dt k
В системе координат, движущейся поступательно вместе с центром масс, теорема моментов относительно центра масс сохраняет тот же вид, что и относительно неподвижного центра
Д.У. плоского движения твердого тела:
|
e |
|
Mxc |
Fkx |
|
|
k |
|
|
e |
|
Myc Fky |
|
|
|
|
(13) |
|
|
|
|
k |
|
|
e |
) |
Jc M c (Fk |
||
k
при начальных условиях
xc (0) xc0 , yc (0) yc0 , (0) 0 , x(0) vCxo , y(0) vCyo , (0) o
Законы сохранения момента импульса
1. Пусть сумма моментов внешних сил равна
нулю
M0 (Fke ) 0
k
Тогда из уравнения
dK0 M0 (Fke ) dt k
следует K0 const (14)
Если сумма моментов внешних сил относительно О, действующих на механическую систему равна нулю, то момент импульса сохраняется во все время движения
Законы сохранения момента импульса
2. Если сумма моментов всех внешних сил, действующих на систему относительно некоторой оси равна нулю M z (Fke ) 0
k
то момент количества движения относительно
этой оси сохраняется |
K z const |
(15) |
|
|
Для вращающегося тела формула (15) дает:
Jz const
Примеры: вращение фигуриста, сальто гимнаста, падение человека – руки расставляет, падающая кошка приземляется на ноги!
Физический маятник |
|
|
С - центр масс; OC a |
|||||||||
|
|
|
|
R0 |
|
|
|
J0 |
- момент инерции |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
O |
|
|
|
|
относительно оси O |
|||||||
|
|
|
|
|
|
dKO |
|
|
|
|||
|
|
φ |
|
|
MO (Fke ) |
|||||||
|
|
C |
|
dt |
||||||||
|
|
mg |
K |
J0 mgasin |
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
mga / J0 |
||
|
|
|
|
|
2 |
sin 0; k |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Получили нелинейное ДУ, ограничимся случаем малых колебаний
|
|
Случай малых колебаний |
sin |
|||||
|
|
2 |
0 |
|
|
|||
|
k |
|
|
cos 1 |
||||
|
Asin(kt ) |
|
|
|||||
|
t 0, (0) 0 |
, (0) (0) 0 |
||||||
НУ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg ( 0 k / 0 ) |
||||
A 02 |
(v0 / k)2 |
|||||||
Период колебаний: TФ 2 / k 2 
J0 / mga (17)
(не зависит от начальных условий)
Из (17) следует: |
J0 mgaTФ2 / 4 2 |
(18) |
Формулу (18) используют для опытного определения J0
Движение Земли вокруг Солнца
М – Земля, О - Солнце
z |
M(t+Δt) |
F |
|
|
|
|
|
|
S |
M(t) |
|
|
|
|
|
O |
|
dK |
0 |
|
y |
|
|
|
|
dt |
|
x
KO r mV m lim(
– сила притяжения |
||||
Земли к Солнцу |
||||
|
|
|
||
MO (Fke ) 0 |
||||
K |
|
|
|
|
r mV const |
||||
|
O |
|
|
/ t) |
|
||||
r |
r |
|
||
mlim(2 S / t) 2mS const S const
Радиус-вектор описывает равные площади в любые одинаковые промежутки времени (закон площадей)
Из постоянства направления KO следует, что
траектория движения является плоской кривой