Применение теоремы к движению жидкости
|
|
|
|
V0 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a |
|
|
C 0 |
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
z |
|
|
V1 |
|
d |
d1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
c1 |
|
|
|
|||
K20 K10 |
Kcdc d |
|
Kaba b |
|
|
mcdc d |
|
|||||||||
1 |
r c |
1 |
rc |
0 |
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|||
maba b |
mcdc d |
Gcek t K20 |
|
|
|
|
V1 |
|||||||||
K10 Gcek (rc |
|
|||||||||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
t 0 |
|
|
V1 |
V0 ) MO (Fke ) |
||||||||||||
|
Gcek (rc1 |
rc0 |
||||||||||||||
maba1b1
rc0 V0 ) t
(19)
Разность секундных моментов импульса относитель- но центра О, протекающих через два поперечных сечения трубы, равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на объем жидкости, ограниченной этими сечениями, относительно того же центра О
|
|
|
|
|
|
V1 |
α1 |
|
Gcek (rc1 |
V1 rc0 V0 ) MO (Fke ) (19) |
|
R1 |
|
|
Определим с помощью (19) |
||
α2 |
hk |
R2 |
момент Moz на ось турбины |
||
V2 |
сил давления воды. |
||||
|
|||||
|
|
O |
|
|
|
Внешние силы давления жидкости во входном и выходном сечении направлены вдоль радиусов и момента относительно оси Оz не создают
Для симметричной турбины сила тяжести проходит через ось Oz и также момента не создает. Следовательно MO (Fke ) Moz
Из (19) получаем: Moz Gcek (R1V1 cos 1 R2V2 cos 2 )
- турбинное уравнение Эйлера
Решение задач
Напомним рекомендации к решению задач:
1Выбрать механическую систему (удачно!)
2Изобразить все нужные силы (активные и реакции связей)
3Записать одну из общих теорем динамики(или несколько)
4Проинтегрировать полученную систему уравнений. Постоянные интегрирования определяются при этом из дополнительных (начальных) условий задачи
5Определить искомые величины
Задача 1
|
z |
RB |
|
|
|
|
|
u |
R |
|
r |
|
P |
Q |
|
|
|
|
|
RA |
|
A |
|
Дано: платформа однородная веса P, радиуса R, трения в опорах нет, ось z –
вертикальная, при t=0 человек веса Q покоился. (0) 0
Определить , если человек пойдет
по платформе на расстоянии r с относительной скоростью u.
Решение. 1. М.С. – платформа + человек 2. Внешние силы: P,Q,RA,RB
3. |
|
dKz |
|
|
|
|
|
|
M z (Fke ) 0 Kz const |
||||
|
|
dt |
||||
4,5. |
Jz 0 (Q / g)r2 0 Jz (Q / g)r( r u); Jz PR2 / 2g |
|||||
|
|
(PR2 |
2Qr2 ) 0 2Qru |
|
||
|
|
|
||||
|
|
|
PR2 2Qr2 |
Проанализировать ответ! |
||
|
|
|
|
|
||
Задача 2
|
R0 |
|
vk |
O |
|
vk |
||
|
u
m1g m2g
Дано: две одинаковые обезьяны сидят на концах каната. Первая – ползет все время по канату вверх, вторая – просто сидит. Какая из обезьян окажется наверху быстрее? 
Считать канат и блок невесомыми, трением в блоке пренебречь.
Решение. 1. М.С. – обе обезьяны + канат + блок
2. Внешние силы: m1g, m2g, R0 |
|
|||
3. |
dKo |
|
|
|
Mo (Fke ) m1gr m2 gr 0 K0 |
const |
|||
dt |
||||
4,5. |
Ko rm1V1 rm2V2 0; V1 u Vk ; V2 Vk |
|||
m1 m2 Vk u / 2; V1 V2 u / 2 |
|
|||
|
|
|
||
Обезьяны поднимутся одновременно! |
|
|||
Если бы вторая обезьяна тоже ползла, то |
||||
они поднялись бы вдвое быстрее! Vk 0; |
V1 V2 |
|||
0
u
Задача 3 |
|
Дано: однородный цилиндр массы |
||||
y |
|
|
N |
|||
O |
|
|
m, катится без проскальзывания |
|||
C |
|
|
по плоскости с углом наклона |
|||
|
|
|
||||
F |
|
|
α |
Трением качения пренебречь. Найти |
||
тр |
P |
|
|
ускорение |
цилиндраa |
. |
|
|
x |
||||
|
mg |
|||||
|
|
|
C |
|
||
Решение. 1. М.С. – цилиндр |
|
|
||||
2.Внешние силы: mg, Fтр, N
3.ДУ плоского движения: mxC Fkxe mg sin Fтр
|
|
F |
e |
N mg cos ; |
|
e |
|
my |
C |
|
JC MC (Fk |
) Fтр R |
|||
|
ky |
|
|||||
4,5. |
yC 0 N mg cos ; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
P МЦС VC / |
R; |
aC / R xC / R |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем: ma mg sin F |
; N mg cos ; J a |
F R2 |
|||||||
J |
|
C |
|
тр |
|
C |
C |
|
тр |
C |
mR2 |
/ 2 F ma / 2 |
a 2g sin |
/ 3 |
|
||||
|
|
|
тр |
C |
C |
|
|
|
|
Замечание F |
|
fN tg f |
Иначе будет |
|
|
|
|||
|
|
тр |
|
|
проскальзывание! |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Заключение
1.Изучена теорема моментов
иее частные случаи - законы сохранения момента импульса
2.Выведены ДУ поступательного, вращательного и плоского движения твердого тела
3.Приведены примеры применения теоремы моментов к движению Земли вокруг Солнца, к движению жидкостей, к
физическому маятнику 4. Рассмотрены решения задач с
использованием теоремы моментов
Вопросы для самоконтроля
1.Как определяется и для чего вводится момент количества движения системы?
2.Чему равен момент количества движения твердого тела относительно оси его вращения?
3.Как связаны моменты количеств движения относительно разных точек?
4.В чем состоит теорема моментов для системы?
5.Справедлива ли она с системе отсчета, движущейся поступательно с центром масс системы?
6.Когда сохраняется момент количества движения системы относительно точки? А относительно оси?
7.Зачем фигурист прижимает руки к туловищу, если он хочет вращаться быстрее?
8.Можно ли изменить момент количества движения за счет внутренних сил? А момент инерции относительно оси?
9.В чем аналогия между поступательным и вращательным движением твердого тела?
Вопросы для самоконтроля
10.Как происходит движение материальной точки под действием центральной силы?
11.Что называют физическим маятником? Каким уравнением описываются его малые колебания?
12.Какой вид имеют ДУ вращательного, поступательного и плоского движения твердого тела?
13.Можно ли составить ДУ произвольного движения твердого тела?
14.Каковы основные этапы решения задач на применение теоремы моментов? В каких случаях удобно использовать именно эту теорему?
Тема следующей лекции
Теорема об изменении кинетической энергии системы
