Проекции момента импульса твердого тела, |
|
вращающегося вокруг оси |
|
vkz 0, |
- проекции скорости точки тела |
vky xk ,
vkx yk
Следовательно
Kx mk ( yk vkz zk vky ) ( mk xk zk ) J xz k k
K y mk (zk vkx xk vkz ) ( mk yk zk ) J yz k k
J xz , J yz |
- центробежные моменты инерции тела |
Проекции момента импульса твердого тела,
вращающегося вокруг оси
Для вращающегося вокруг оси Z твердого тела его
моменты импульса относительно осей X,Y,Z
K0 (K x , K y , K z )
K x J xz
K y J yz |
(3) |
|
Kz J z
Чтобы K0 был направлен вдоль Z необходимо и достаточно, чтобы его центробежные моменты инерции были равны нулю
(например, Z - ось симметрии тела)
Аналогия между поступательным и вращательным движением
для поступательного движения мерой его движения является количество движения
Q (Qx ,Qy ,Qz )
для вращательного движения мерой движения
(мерой вращения) является его момент
количества движения
K0 (K x , K y , K z )
Если твердое тело движется поступательно, то его момент импульса относительно центра O
K0 rk mk vk ( mk rk ) v Mrc v rc (Mv)
k k
при определении момента импульса его можно считать точкой, расположенной в центре масс
Момент количеств движения системы
относительно разных точек A и B
K B K A BA (MvC )
аналогична формуле из статики
MB M A BA R*
R* - главный вектор
Теорема моментов
|
dvk |
e |
i |
|
|
mk |
|
Fk |
Fk |
, k 1,..., N |
(4) |
dt |
|||||
|
|
|
|
|
умножим обе части уравнений векторно на rk
rk (mk ddtvk ) rk Fke rk Fki
левая часть
rk (mk ddtvk ) dtd (rk mk vk ) vk mk vk
Теорема моментов |
|
|
|
|||||
векторы |
|
vk |
mk vk |
параллельны |
||||
|
|
|
|
|
vk mk vk 0 |
|
||
|
|
|
|
|
мы получаем |
|
|
|
|
|
d |
|
|
e |
i |
|
|
|
|
dt |
|
(rk mk vk ) rk Fk |
rk Fk |
(5) |
||
|
d |
|
|
|
суммируем |
|
|
|
|
(rk mk vk ) rk Fke rk Fki |
|
||||||
dt |
|
|||||||
k |
|
|
k |
k |
|
|||
Теорема моментов |
|
По свойству внутренних сил rk Fki |
0 |
k
Учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, получаем
d |
(rk mk vk ) rk Fke |
||
|
|||
dt k |
k |
||
|
|
или |
|
|
|
dK0 |
M0 (Fke ) (6) |
|
|
dt |
|
|
|
k |
|
теорема моментов
Теорема моментов |
|
|
|
dK0 |
M0 (Fke ) (6) |
|
dt |
|
|
k |
|
Производная по времени от момента импульса механической системы относительно некоторого неподвижного центра О равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на эту систему относительно того же центра О
Теорема моментов, также как и теоремы о
движении центра масс и об изменении количества движения, позволяет исключить из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы.
Теорема моментов в проекциях на оси
|
dK x |
M x (Fke ) |
|
|
|
dt |
|
||
|
k |
|
||
|
dK y |
M y (Fke ) |
(7) |
|
|
|
|||
|
dt |
k |
|
|
dK z M z (Fke ) |
|
|||
|
dt |
k |
|
|
Д.У. вращательного движения твердого тела
K z J z |
dK z M z (Fke ) (7) |
|||
|
|
dt |
k |
|
|
|
J z M z (Fke ) |
||
|
|
k |
|
|
или |
|
e |
) |
(8) |
J z |
M z (Fk |
|
||
k
ДУ вращательного движения твердого тела,
Начальные условия: (0) 0 , (0) 0