Statics_L7_K-2
.pdf
F3 |
y |
|
|
|
YA |
|
X A |
III |
|
6 |
IV |
8 |
V |
||
F2 |
4 |
|
5 |
7 |
9 |
A |
|
II |
3 |
|
|
|
|
||
F1 |
RB |
1 |
2 |
VI a |
|
|
|
I |
B |
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
1.Пронумеруем все стержни фермы арабскими цифрами:
1, 2, 3, … 9
2. Пронумеруем узлы фермы римскими цифрами:
I, II, III, … IV
3. Рассмотрим равновесие каждого из узлов и составим уравнения равновесия (cчитаем условно все стержни растянутыми и направляем реакции соединительных шарниров от узлов).
При этом учитываем 3-й закон Ньютона: для каждого из стержней усилия со стороны узлов равны по величине и
направлены в разные стороны.
11
F3 |
y |
|
|
|
YA |
|
X A |
III |
|
6 |
IV |
8 |
V |
||
F2 |
4 |
|
5 |
7 |
9 |
A |
|
II |
3 |
|
|
|
|
||
F1 |
RB |
1 |
2 |
VI a |
|
|
|
I |
B |
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
1.Пронумеруем все стержни фермы арабскими цифрами:
1, 2, 3, … 9
2. Пронумеруем узлы фермы римскими цифрами:
I, II, III, … IV
3. Рассмотрим равновесие каждого из узлов и составим уравнения равновесия (cчитаем условно все стержни растянутыми и направляем реакции соединительных шарниров от узлов).
При этом учитываем 3-й закон Ньютона: для каждого из стержней усилия со стороны узлов равны по величине и
направлены в разные стороны.
12
|
|
|
|
|
|
|
|
F3 |
y |
|
|
|
YA |
|
Начнем расчет с узла V, в котором сходятся |
|
III 6 |
IV 8 |
V |
||||||||||
2-а стержня с неизвестными усилиями. |
|
F2 |
4 |
3 5 |
7 |
9 |
A X A |
|||||||
|
II |
|
||||||||||||
Узел V |
|
∑Fix =0 : |
X A −S8 −S9 cos 45 |
|
= 0 F1 |
RB |
1 |
2 |
VI a |
|
||||
|
|
|
YA |
|
|
|
|
|
x |
|||||
|
|
|
X A |
i |
|
|
|
I B |
|
|
|
|||
S8 |
8 |
|
|
∑Fiy =0 : |
YA −S9 sin 45 =0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
9 |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
S9 |
|
|
∑Fix =0 : |
S8 −S6 =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Узел IV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
S6 |
|
S8 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑Fiy =0 : S7 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
S7 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Узел III |
S6 |
∑Fix =0 : |
S6 + F3 +S5 cos45 =0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
F3 |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
4 |
|
S5 |
∑Fiy =0 : −S4−S5 sin 45 =0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Узел II
F2 S4 
S3
S1
Узел I
S1
F1 RB 
S2
Узел VI
S5 S7
S3
S9
S2
∑Fix
i
∑Fiy
i
∑Fix
i
∑Fiy
i
∑Fix
i
∑Fiy
i
=0 : F2 +S3 =0
=0 : S4 −S1 =0
=0 : F1 + S2 cos45° = 0
F3 |
y |
|
|
|
|
YA |
|
III |
6 |
|
IV 8 |
V |
|||
F2 |
4 |
3 |
5 |
7 |
9 |
A X A |
|
II |
|
|
|
||||
F |
RB |
1 |
2 |
VI a |
|
||
1 |
B |
|
|
x |
|||
|
I |
|
|
|
|
||
=0 : S1 + RB + S2 sin 45° = 0
=0 : −S3 −S2 cos45 −S5 cos45 +S9 cos45 =0
=0 : S7 −S2 sin 45 +S5 sin 45 +S9 sin 45 =0
Последний узел (узел VI) можно использовать для проверки
решения: уравнения при подстановке найденных усилий в
стержнях должны удовлетворяться тождественно
14
Удобен если требуется определить усилия в каких-то отдельных стержнях фермы, например, 6, 7, 9 (число стержней должно быть не более трех)
Последовательность действий
y |
z |
|
|
YA |
|
X A |
F3 |
|
6 IV |
8 |
V |
||
4 |
|
5 |
7 |
|
A |
|
F2 |
3 |
|
VI |
9 |
z |
|
RB |
1 |
2 |
a |
|
|
|
F1 |
B |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.Проведем сквозное сечение z–z через стержни 6,7,9.
2.Пользуясь принципом отвердевания, рассмотрим равновесие одной из частей фермы, например, правой. Для этого составляем 3 уравнения моментов сил относительно
точек в которых пересекаются 2 стержня с неизвестными усилиями - IV, V(А), VI.
15
y z |
|
|
YA |
|
X A |
∑mA =0 : |
S7 =0 |
6 IV |
|
V |
|||||
S6 S7 |
|
|
|
A |
|
i |
|
|
7 |
9S9 |
|
∑mIV =0 : |
aYA −aS9 sin 45°=0 |
||
|
|
||||||
|
|
|
z |
|
|
i |
|
|
VI |
|
|
|
|||
|
|
|
|
∑mVI =0 : |
aYA +a S6 −a X A =0 |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
i |
|
Решив систему уравнений находим усилия в стержнях 6,7,9 Полученные результаты можно использовать для проверки результатов, полученных методом вырезания узлов.
Всегда, если значение усилия в стержне получено со знаком «−», то стержень не растянут, а сжат.
16
Стоунхендж, Англия,
2440-2100 гг. до н. э.
Дмитровский мост, Новосибирск,
1971-1780 гг.
Триумфальные ворота Москва,
1829-1834 гг.
1-ый панельный дом Новосибирск, 1960 г.
17
Система тел будет находится в равновесии тогда и только тогда, когда в равновесии находится каждое из составляющих ее тел.
18
Последовательность действий
1.Освободившись от связей рассматриваем равновесие каждого из тел конструкции.
2.Составляем для каждого тела уравнения равновесия (наряду с активными силами учитываем силы реакций внешних и внутренних связей).
Такой способ расчета конструкции называют
методом расчленения.
19
Статически определимые и неопределимые конструкции
Если 2-я задача статики (на определение неизвестных сил) имеет единственное решение, то система называется статически определимой, в
противном случае – статически неопределимой
В этом случае либо решений не существует, либо решение не единственно (обычно в этом случае может быть бесконечно много решений)
Определить мы можем не больше неизвестных величин, чем имеется линейно независимых уравнений равновесия
Если число неизвестных величин равно числу линейно независимых уравнений равновесия, то задача является статически определимой, в
противном случае – статически неопределимой
Для плоской конструкции, состоящей из двух тел, мы можем составить шесть независимых уравнений равновесия (по 3 для каждого из двух тел) и определить из них шесть неизвестных
20