Лекция4
.pdfПриближенное решение ОДУ
УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА:
y p( t )y q( t )y r( t ), |
t [ a, b ] |
|
2 дополнительных условия на функцию y заданы |
||
в разных точках: t=a, t=b |
|
|
k1y(a) k2 y (a) A |
|
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА |
|
|
|
l1y(b) l2 y (b) B |
. |
|
Нельзя решить методом Эйлера
Нужны специальные методы!
21
Линейное ОДУ 2 порядка
u p(t)u g(t)u f (t), |
t [a, b] |
|
Краевые условия: |
k1u(a) k2u (a) A |
|
|
|
|
|
m1u(b) m2u (b) B |
|
Приближенные методы решения:
•конечных разностей
•стрельбы
•балансов (конечных объемов)
•коллокации;
•вариационные (наименьших квадратов, Ритца);
•проекционные (Галеркина);
•проекционно-сеточные (конечных элементов)
Приближенное решение ОДУ
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА:
y p( t )y q( t )y r( t ), |
t [ a, b ] |
k1y(a) k2 y (a) A |
|
|
|
l1y(b) l2 y (b) B |
|
КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД
1. Введем на отрезке [a, b] разностную сетку
.
(t0, t1, t2, ..., tM), ti=a+τ i, i=0, 1,..., M,
τ =(b–a)/M, M – параметр задачи
2. Вместо точного решения y(t) будем отыскивать приближенное решение в узлах разностной сетки: yi=y(ti)
24
Приближенное решение ОДУ
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА:
|
|
y p( t )y q( t )y r( t ), |
t [ a, b ] |
|
|
|
|||||||||||||||||
3. Формулы приближенного дифференцирования: |
|||||||||||||||||||||||
|
y (ti ) |
yi 1 2 yi |
yi 1 |
|
, y (ti ) |
yi 1 yi 1 |
|
|
, i 1,2,..., M 1 |
||||||||||||||
|
τ 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Подставим в уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y |
2 y y |
|
|
yi 1 |
y.i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
i 1 |
i |
i 1 |
p(t |
) |
|
|
|
q(t |
) y |
r(t |
), i 1,..., M 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
τ 2 |
|
|
i |
|
|
|
2τ |
|
i |
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Заменим производные в краевых условиях: |
|||||||||||||||||||||
|
k1y(a) k2 y (a) A |
|
|
|
k1 y0 k2 |
|
|
y1 y0 |
|
A, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||
|
l1y(b) l2 y (b) |
|
|
|
l y |
|
l |
|
|
|
y |
M |
M 1 |
B. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Приближенное решение ОДУ
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА:
|
|
k y(a) k |
|
|
y p( t )y q( t )y r( t ), |
t [ a, b ] |
|
y (a) A |
|
1 |
2 |
|
||
|
|
l1y(b) l2 y (b) B |
||
Заменили производные в уравнении и краевых условиях приближенными формулами
Получили СЛАУ на вектор приближенного решения:
–СС0 y0 +BB0 |
y1 =FF0. |
|
|
|
|
||||
AAi yi–1 – CCi yi + BBi yi+1= FFi, i=1, 2,..., M – 1 |
|
||||||||
AAM y M–1 – CCM yM = FFM |
|
|
|
|
|||||
где: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CC |
i |
=2 – q ( t |
) τ 2 |
AA = 1 – p ( t |
|
) τ / 2, |
|
||
|
|
i |
|
i |
i |
|
|
||
BB =1 + p (t |
) |
τ/ 2, |
FFi = τ2 r ( t |
), |
|
||||
i |
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
CC0 =k2 – τ k1, |
BB0= k2, |
|
|
FF0 = A τ, |
|
||||
CCM =l2+ τ l1, |
AAM= l2, |
|
|
FFM= –B τ. |
26 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приближенное решение ОДУ
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА:
Матрица СЛАУ: |
|
|
|
|
||
CC0 |
BB0 |
0 |
|
0 |
... |
|
|
|
CC1 |
|
|
|
|
|
AA1 |
BB1 |
|
0 |
... |
|
|
0 |
AA2 |
CC2 |
|
BB2 |
... |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
... |
... |
... |
|
... |
... |
|
|
0 |
0 |
... |
. |
AAM 1 |
CCM 1 |
|
|
|||||
|
0 |
0 |
.... |
|
0 |
AAM |
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
||
|
||
... |
|
|
|
|
BBM 1
CCM
Матрица трехдиагональная
Система решается методом прогонки
Точный экономичный метод (см. Лекцию про
27
решение СЛАУ)
МЕТОД ПРОГОНКИ
ПРЯМОЙ ЭТАП: НАХОДИМ КОЭФФИЦИЕНТЫ
|
|
|
|
BB0 |
|
|
|
k2 |
, |
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
CC0 |
|
|
k2 k1τ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
i 1 |
|
|
BBi |
|
|
|
, i 1 |
||
CCi i |
|
|
|
||||||
|
|
AAi |
|
||||||
|
|
FF0 |
|
Aτ |
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
CC0 |
|
|
( k2 k1τ ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
AAi i |
FFi |
, |
i 1,2,...,M 1 |
|||||
|
CC |
AA |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
i |
i |
|
i |
|
|
|
|
ОБРАТНЫЙ ЭТАП: НАХОДИМ РЕШЕНИЕ
y |
|
|
AAM M FFM |
|
l2 M Bτ |
|
|
M |
CCM AAM M |
l2 τ l1 l2 M |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
yi 1 i yi i , |
i M ,M 1,...1 |
||||
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА:
1. Решить тестовую задачу
y tg(t) y cos2 (t) y 0, |
t [0,1], y(0) 1, y(1) 10, |
Точное решение :
u(t) = cos(sin(t)) + C1 sin(sin(t)), C1=(10 - cos(sin(1)))/sin(sin(1)).
Сравнить приближенные решения, полученные на различных сетках, с точным. решением.
Найти максимальную погрешность при каждом M. Приготовить для отчета Таблицу:
M |
Max погрешность u(ti) – yi |
|
|
На основании анализа погрешности сделать
вывод о порядке точности метода |
29 |
|
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА:
t0 0 |
tk 1 |
y0 1 |
yk 10 |
|
p(t) tan (t) |
q(t) cos (t)2 |
r(t) 0 |
||
C1 |
10 cos (sin(1)) |
12.518 |
|
|
|
|
|||
|
sin(sin(1)) |
|
||
yt(t) cos (sin(t)) C1 sin(sin(t))