Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекция4

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
14.03.2016
Размер:
549.67 Кб
Скачать

Приближенное решение ОДУ

ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА ЭЙЛЕРА НА СИСТЕМУ ОДУ

 

dyj

f

x, y , y

,...,y ,

j 1, 2,..., n

Все условия

 

 

 

заданы в

 

 

 

 

 

dx

j

1

2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

одной точке!

 

Начальные условия

 

 

y j x0 y j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА КОШИ ИСПОЛЬЗУЕМ МЕТОД ЭЙЛЕРА

 

 

 

ПРИМЕР: Система 2х ОДУ первого порядка:

 

 

 

 

 

y f (x, y, z)

 

.

y(a) y0 ,

z(a) z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

x [a, b];

 

 

 

 

 

z g(x, y, z)

 

 

 

yi 1

yi

f (x , y

 

 

 

Обобщение метода Эйлера:

, z

),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

i

i

 

i

 

Реализация:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zi 1

zi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

g(xi

, yi

, zi

).

 

 

 

y0 =y , z0 =z ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yi+1=yi+h f(xi , yi ,zi),

h

 

 

 

zi+1=zi+h g(xi, yi, zi). i=0, 1,..., M-1.

11

 

 

Приближенное решение ОДУ

ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ НА СИСТЕМУ ОДУ

Система 2х ОДУ первого порядка:

y f (x, y, z)

x [a, b];

y(a) y0 ,

z(a) z0

 

,

z g(x, y, z)

 

 

 

 

Обобщение двухэтапного метода Рунге-Кутты:

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

k1 f (xi , yi , zi ),

l1 g(xi , yi , zi ),

 

 

 

k2 f (xi h, yi hk1, zi hl1 ),

 

 

 

l2 g(xi h, yi hk1, zi

hl1 )

 

 

 

 

 

y

 

y

 

h

k1 k2

, z

 

z

 

h

l1 l2

.

 

i 1

i

 

i 1

i

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

Приближенное решение ОДУ

УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА:

y p( t )y q( t )y r( t ),

t [ a, b ]

2 дополнительных условия на функцию y заданы в одной точке x=a

 

0

 

0

- начальные данные

 

y(a) y ,

y (a) z

 

 

 

 

 

Задача Коши с помощью замены: z(t)=y(t), z(t)=y(t)

 

 

 

 

.

 

 

сводится к системе 2х ОДУ первого порядка:

 

y f (t, y, z) z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z g(t, y, z) p(t)z q(t) y r(t)

 

y(t), z(t) – искомые функции;

 

f ( t, y, z ), g (t ,y ,z) –функции правых частей;

 

y0, z0начальные данные

 

13

Приближенное решение задачи Коши для ОДУ 1 порядка

Для решения задачи Коши в MathCAD используется процедура Odesolve

Член с высшей производной должен быть линейным

Количество начальных условий должно равняться порядку ОДУ

Необходимо создать блок решения, который начинается с ключевого слова Given и заканчивается вызовом Odesolve

Внутри блока задается ОДУ и начальные условия

Число разбиений можно не задавать, программа сама выберет оптимальное значение

Для решения используются методы Адамса (многошаговые) или Рунге-Кутты (одношаговые)

Опции решателя выбираются через контекстное меню

Пример 1 - начало

Дано:

d y

- y cos(t) ½ sin 2 t ,

t [0, 3],

y(0) 0

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точное решение:

u(t) sin(t) e- sin(t) -1

 

 

Проверка точного решения в MathCAD:

u(t) sin(t) e sin(t) 1

d u(t) cos (t) e sin(t)cos (t) dt

Начальные данные u(0) 0

 

1

 

sin(2 t)

 

 

 

sin(t)

 

u(t)cos (t)

 

 

sin(2 t)

 

cos (t)

 

e

 

sin(t) 1

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1 - конец

Решение в MathCAD

Given

d y(t)

 

y(t)cos (t)

1

sin(2 t)

y(0)

 

0

 

 

 

 

2

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

y Odesolve(t 3)

0.4

 

 

 

 

0.368

 

 

 

 

0.3

 

 

 

 

u(t)

 

 

 

 

y(t) 0.2

 

 

 

 

0.1

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

0

1

2

3

 

0

 

t

3

ПРИМЕР 2

Задано уравнение гармонического осциллятора

2

d 2 y

 

dy

y 0

dt 2

dt

 

 

 

Описывает колебание маятника (угол отклонения от вертикали) с демпфированием. Начальные данные задают начальное значение угла и скорости

 

0, y(0) 1

y (0)

Параметры 0.5,

0.2

задают частоту колебаний и величину демпфирования.

Найти решение задачи Коши с помощью встроенных функций MathCAD

Использование блока Given-Odesolve

Решение с помощью вычислительного блока Given-Odesolve

 

0.5

 

0.2

 

 

 

 

Given

2 y'' (t)

y' (t) y (t)

 

0

 

 

 

 

 

 

 

y' (0)

 

0

y (0)

 

1.0

 

 

 

 

 

 

y Odesolve(t 10)

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(t)

0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

4

6

8

10

Сведение к системе ОДУ

 

 

 

 

 

 

y (t) z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

z (t)

 

2 ( y y )

 

 

 

 

 

y(0) 1,

 

z(0) 0

Обозначим: u1=y(t), u2=z(t)

Решение с помощью встроенной функции

rkfixed

ORIGIN 1

 

 

 

 

u1 1

u2 0

t0 0

tk

 

 

 

 

u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D(t u)

u1

 

u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

U rkfixed u t0 tk n D

10

 

1

 

 

 

 

 

 

U 2

0

 

 

 

 

 

 

U 3

1

 

 

 

 

 

 

 

2

0

2

4

6

8

10

 

 

 

 

U 1

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.