Калинин / Приборостроителям / Математика 1 (5)

Задача 5

Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) методом Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса.

Решение

Решаем методом Крамера:

1. Метод Крамера: найдём главный и вспомогательные определители:

Отсюда

.

Проверка:

Уравнения системы превратились в верные тождества, что подтверждает правильность решения.

2. Метод обратной матрицы.

Главный определитель определили в предыдущем методе:

Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

Тогда обратная матрица имеет вид

Следовательно

Следовательно:

– что совпадает с предыдущим методом.

3. Метод Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы и расположим строки в обратном порядке. Затем вычтем из второй строки первую, умноженную на 2, а из третьей первую, умноженную на 3, затем из новой третьей строки новую вторую строку, умноженную на4/3.

Система уравнений приняла треугольный вид:

Из последнего уравнения имеем .

Подставляя это значение z во второе уравнение получаем

Теперь из первого уравнения находим х, подставляя y и z:

.

Таким образом,

Задача 11.

Построить прямую . Определить её угловой коэффициент. Составить уравнения нескольких прямых, параллельных ей. Записать уравнение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через начало координат. Коэффициенты А=-15; В=5; С=20.

Решение

.

Преобразуем заданное уравнение .

Отсюда угловой коэффициент прямой равен:

Задавая , получим . Задавая , получим .

Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент.

Например: ; ; ; .

Производные угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно -1. Поэтому, угловой коэффициент прямых, перпендикулярных заданной прямой, будет равен . Если прямая проходит через начало координат, то свободный член в уравнении такой прямой равен 0.

Тогда уравнение прямой, перпендикулярной к данной и проходящей через начало координат, будет иметь вид: .

Задача 28

Вычислить пределы:

А) Б)

Решение

А) для того, чтобы избавиться от получившейся неопределённости, раздожим на множители числитель и знаменатель:

Этот же результат можно было получить и используя правило Лопиталя, по отдельности дифференцируя числитель и знаменатель:

Б) разделим числитель и знаменатель на старшую степень х³:

Задача 38

Найти производные функций:

А) Б)

Решение

А) Находим производную как производную от частного двух функций:

Б) Находим производную как производную сложной функции:

Задача 47

Выполнить исследование функции по следующей схеме:

1. найти область определения;

2. проверить чётность- нечётность функции;

3. найти точки пересечения с осями координат;

4. найти экстремумы и интервалы монотонности;

5. найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости;

6. найти пределы функции при

7. построить график функции.

Функция:

Решение

1) Область определения – всё множество действительных чисел: .

2) Функция общего вида (ни чётная ни нечётная), так как не выполняются

3) Точки пересечения с осями координат:

- (0;2) – точка пересечения с осью y.

, при х=-2; х=0,21 и при х=4,77 – три пересечения с осью х.

4) Экстремумы:

Точки экстремума:

- функция возрастает.

- функция убывает.

Значит точка х=-1 – максимум; х=3 – точка минимума.

5. Точки перегиба: .

Интервал выпуклости .

Интервал вогнутости .

6) найдём пределы функции при

- асимптот нет.

7) График