Лабораторная работа №18

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА НА ЭВМ

Цель работы

Изучение особенностей распределения Максвелла для молекул газа по скоростям.

Содержание работы

В газе, находящемся в состоянии термодинамического равновесия, в процессе хаотического теплового движения устанавливается стационарное, не меняющееся со временем, распределение молекул по скоростям. Это распределение подчиняется статистическому закону Максвелла, который описывается функцией f(v), называемой функцией распределения молекул по скоростям.

Если разбить диапазон скоростей молекул (количеством N) на малые интервалы, равные dv, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(v), имеющих скорость, заключенную в интервале от v до v+dv. Функция f(v) определяет относительное число молекул dN(v)/N, приходящихся на единичный интервал скоростей, то есть

= dN (v)

f (v) (8.21)

N dv

Применяя методы теории вероятности, Максвелл нашел функцию f(v) − закон распределения молекул идеального газа по скоростям:

где m − масса молекулы; k − постоянная Больцмана, равная 1,38.10−23 Дж/К; Т − абсолютная температура.

Из выражения (8.22) видно, что конкретный вид функции Максвелла зависит от рода газа (от массы молекулы m) и от параметра состояния (температуры Т).

Функцию (8.22) можно преобразовать с целью более удобного вычисления ее значений. Для этого целесообразно перейти от массы молекулы m к молярной массе соответствующего газа М (в кг/моль), используя известное соотношение:

k/m = R/M,

где R − универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль · К). Используя эту замену, получим после преобразований для функции

распределения Максвелла f(v) следующее выражение:

В этом виде функция Максвелла и используется для вычислений в данной работе.

График функции распределения Максвелла приведен на рис. 8.5. Из него видно, что функция Максвелла стремится к нулю при v → 0 и при v → ∞ и проходит через максимум при скорости vвер, называемый наиболее вероятной скоростью. Этой скоростью (и близкой к ней) обладает наибольшее число мо-

лекул. Кривая несимметрична относительно vвер.

Значение наиболее вероятной скорости можно найти, используя условие максимума функции Максвелла f(v), то есть продифференцировав выражение (8.22) по аргументу v и приравняв результат нулю. Тогда получим

Можно также найти среднюю квадратичную скорость молекул газа, которая равна

Кроме того, можно найти среднюю арифметическую скорость <v>, которая определяется так

0

Сопоставление выражений (8.24),

vвер : <v> : vср.кв

При повышении температуры (при одинаковой m или М) максимум функции распределения (рис. 8.6) сместится вправо (значение vвер становится больше). Однако площадь, ограниченная кривой, остается неизменной, так как общее число молекул N не зависит от температуры. Поэтому при повышении температуры Т кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться.

Аналогичное изменение кривых f(v) (рис. 8.6) можно наблюдать при одинаковой температуре Т, но при изменении массы молекул газа m (или

152

молярной массы М). При уменьшении массы m (или М) кривая f(v) будет смещаться вправо, растягиваясь и понижаясь.

В данной работе изучается изменение вида кривой функции распределения Максвелла при изменении температуры газа Т и молярной массы М. Закон распределения Максвелла можно представить через относительную скорость молекул u=v/vвер. Тогда функция Максвелла f(v) будет изображаться в более простом виде f(u):

Изменение температуры газа (или массы его молекул) будет сказываться на изменении значений v и vвер. Но так как u − величина относительная, то вид функции f(u) при этом остается неизменным, что удобно для расчетов.

Используя закон распределения Максвелла (8.27), можно получить следующее выражение для относительного количества молекул dN/N, относительные скорости которых лежат в интервале от u до u + du:

где du − интервал относительных скоростей, малый по сравнению со скоростью u.

Тогда нахождение относительного числа молекул ∆N/N в некотором узком интервале скоростей от u1 до u2 сводится к интегрированию выра-

жения (8.28):

Такое интегрирование также используется в данной работе и производится по методу Симпсона, детально рассматриваемому в курсе высшей математики.

Кроме того, используя распределение Максвелла и метод Симпсона, можно подсчитать относительное число молекул Nх/N, скорости которых превышают заданное значение скорости их. При этом в формуле (8.29) верхний предел интегрирования u2 можно с достаточной степенью точности взять равным 3, то есть в три раза превышающим наиболее вероятную скорость молекул данного сорта.

Нижний предел интегрирования будет составлять и = их , то есть будет равен выбранному значению относительной скорости.

Такой расчет относительного числа молекул Nх/N также проводится в данной работе.

153