Результаты вычислений

Контрольные вопросы

1.Дайте определения момента импульса материальной точки относительно неподвижной точки, момента импульса материальной точки относительно неподвижной оси, момента силы относительно неподвижной точки и момента силы относительно неподвижной оси.

2.Чему равен момент импульса твердого тела относительно оси?

3.Дайте определение момента инерции твердого тела. Какие свойства момента инерции твердого тела вы используете в данной работе?

4.Сформулируйте и докажите теорему Штейнера.

5.Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения. Запишите его применительно к данной работе.

6.Выведите формулу для кинетической энергии вращательного движения твердого тела.

7.Сформулируйте закон сохранения полной механической энергии для системы тел. Запишите его применительно к шарику, скатывающемуся с наклонной плоскости. Какие приближения вы при этом используете?

8.Сформулируйте закон сохранения момента импульса для системы тел. Запишите его применительно к данной работе. Какие приближения вы при этом используете?

9.Сформулируйте закон сохранения импульса для системы тел. Можно ли им пользоваться для описания соударения шарика с ловушкой в данной работе? Почему?

10.Выведите расчетные формулы (4.92 – 4.94).

11.Выведите формулы относительных погрешностей косвенных измерений (4.95).

78

Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА

Под действием приложенных к любому реальному телу сил оно деформируется, то есть изменяет свои размеры и форму. В теории упругости под термином деформация понимается всякое изменение в относительном расположении частиц твердого тела, возникшее под влиянием внешних сил.

В случае твердых тел различают два предельных случая: деформации упругие и деформации пластические. Если после прекращения действия достаточно малых сил тело принимает первоначальные размеры и форму, то есть деформация исчезает, то такая деформация называется упругой. Упругие деформации наблюдаются в том случае, если сила, обусловившая деформацию, не превосходит некоторый, определенный для каждого конкретного тела предел, называемый пределом упругости. В случае если действующие на тело силы велики, то с прекращением их действия вызываемая ими деформация исчезает не полностью и наблюдается так называемая

остаточная деформация. Таким образом, пластическими или остаточ-

ными деформациями называют такие деформации, которые сохраняются в теле (по крайней мере, частично) после прекращения действия внешних приложенных сил. Когда появляются первые признаки остаточной деформации, то говорят, что достигнут предел упругости. Является ли деформация упругой или пластической – это зависит не только от материала тела, но и от величины приложенных сил. Тела называются упругими, если предел упругости достигается при больших внешних усилиях (например, сталь, каучук и т. д.), и неупругими, если предел упругости достигается уже при очень слабых усилиях (например, свинец).

Деформация приводит к возникновению упругих сил. Упругая сила отличается от внешней только знаком. Упругие силы принято характеризовать напряжением σ, которое определяется как модуль силы, приходящейся на единицу площади поперечного сечения:

В случае растяжения напряжение σ считается положительным, в случае сжатия – отрицательным. Напряжение называется нормальным, если сила Fупр направлена по нормали к площадке S, и касательным, если она

направлена по касательной к этой площадке.

Пределом упругости называется максимальное напряжение, при котором еще не возникают остаточные деформации.

Различают следующие виды деформаций: растяжение, сжатие, сдвиг, кручение, изгиб. Отметим, что среди множества различных видов деформаций следует выделить две простейшие: деформацию растяжения (или сжатия) и деформацию сдвига. Все остальные виды деформаций имеют

79

более или менее сложный характер. В случае если деформации достаточно малы, то можно любую деформацию рассматривать как сумму некоторых растяжений и сдвигов.

В пределах малых деформаций все деформации удовлетворяют следующим основным законам:

1)в пределах упругости деформация пропорциональна величине внешнего усилия;

2)перемена знака внешнего усилия вызывает только перемену знака деформации, без изменения ее абсолютной величины;

3)при действии нескольких внешних усилий общая деформация равна сумме частных деформаций.

Мерой деформации является относительная деформация

нию величины 0 , характеризующей размеры или форму тела.

Зависимость между напряжением σ и относительной деформацией ε показана на рис. 5.1. Точка А соответствует пределу пропорциональности. При небольших напряжениях относительное удлинение прямо пропорционально напряжению σn, а после снятия нагрузки размеры тела полностью восстанавливаются. Как уже упоминалось, такая деформация называется упругой. Если еще увеличить нагрузку, то деформация становится нели-

нейной, напряжение перестает быть пропорциональным относительному удлинению. Тем не менее, при небольших и линейных деформациях после снятия нагрузки форма и размеры тела практически полностью восстанавливаются (участок АВ). Напомним, что максимальное напряжение, при котором еще не возникают заметные остаточные деформации, называют пределом упругости σупр. Предел упругости превышает предел пропорциональности лишь на сотые доли процента.

При напряжениях, превышающих передел упругости σупр, образец после снятия нагрузки не восстанавливает свою форму или первоначальный размер. Это область пластических деформаций. В области пластической деформации (участок ВС) деформация происходит не пропорционально увеличению напряжения. На горизонтальном участке СД материал «течет» – деформация возрастает при неизменном напряжении. Напряжение σт (ордината точки С), при котором материал "течет", называют преде-

лом текучести.

80

Если в области пластических деформаций снять напряжение с тела, то у тела сохраняется остаточная деформация εост. После точки Е кривая идет вниз, это означает, что дальнейшая деформация вплоть до разрыва происходит при все меньшем напряжении. Наибольшее напряжение σпч, которое способен выдержать образец без разрушения, называется пределом прочности.

Перейдем к более детальному рассмотрению основных видов деформации.

1. Деформация растяжения (сжатия).

Английский физик Р. Гук установил закон (закон Гука), согласно которому напряжение упруго деформированного тела прямо пропорционально его относительной деформации.

где k – модуль упругости. Отметим, что закон Гука справедлив только на участке ОА (рис. 5.1).

При продольном растяжении или сжатии модуль упругости называ-

где Е – модуль Юнга.

Физический смысл модуля Юнга заключается в том, что он равен такому нормальному напряжению, при котором относительное удлинение было бы равно единице, если бы столь большие упругие деформации были возможны (в действительности при значительно меньших напряжениях происходит разрушение стержня, еще раньше достигается предел упругости). Из выражения (5.2) следует, что относительному удлинению, равному единице, соответствует увеличение длины упруго деформируемого тела в два раза, что невозможно для реальных материалов.

Из формул (5.1), (5.2) и (5.4) следует выражение для определения модуля Юнга:

2. Деформация сдвига.

Сдвигом называют деформацию тела, при которой все его плоские слои, параллельные некоторой плоскости сдвига, не искривляясь и не изменяясь в размерах, смещаются параллельно друг другу. Деформация сдвига возникает, например, в однородном теле, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда, под действием силы F, приложенной к грани ВС, параллельной плоскости сдвига. Грань AD, параллельная ВС, закреп-

81

тится, то есть стержень согнется. Такая деформация называется изгибом. Изгиб – сложная деформация, которую можно представить как совокупность растяжения и сжатия. Мысленно разобьем стержень на “слои” вдоль его длины. В исходном состоянии все "слои" имеют длину, равную длине стержня. Легко понять, что при таком изгибе верхние слои стержня будут растягиваться, нижние – сжиматься, а некоторый средний слой, который называют нейтральным, сохранит свою длину и только претерпит искривление.

Рис. 5.3

Для отдельного "слоя" изогнутого стержня деформация будет приблизительно однородной. Зная деформацию "слоя", можно определить модуль Юнга. Но измерение деформации каждого такого элемента структуры стержня представляет значительные теоретические и экспериментальные трудности. Поэтому принято рассматривать идеализированный случай изгиба невесомых, тонких и узких стержней, у которых поперечные сечения всегда бы оставались неизменными по форме и нормальными к продольной оси. На практике тонким принято считать стержень, если его длина l много больше его ширины а и толщины b. В этих случаях можно не учитывать напряжения, возникающие при деформации на его боковых поверхностях. Практически при изгибе тонких и узких стержней принято измерять не деформацию, а стрелу прогиба. Перемещение λ, которое получает свободный конец стержня (или его середина в случае закрепления обоих концов стержня), называется стрелой прогиба. Стрела прогиба будет тем больше, чем больше нагрузка, и, кроме того, она должна зависеть от формы и размеров стержня и от его модуля упругости. Для того чтобы вычислить стрелу прогиба, рассмотрим какое–либо поперечное сечение прямоугольного стержня длины L, высоты b и ширины а. Пусть это поперечное сечение находится на расстоянии х от свободного конца стержня.

На рис. 5.3 представлен элемент этого стержня длиной dx, непосредственно прилегающий к рассматриваемому сечению; I – обозначает на-

83

правление этого сечения перед изгибом, а II – положение того же сечения после изгиба по отношению к соседнему сечению, которое обозначено через III. Перед изгибом I параллельно III; после изгиба I переходит в положение II вследствие того, что сечение вращается около оси, проходящей через нейтральный слой OO (это происходит потому, что части dx, лежащие выше нейтрального слоя, удлиняются, лежащие же ниже – укорачиваются). Найдем удлинение dl, которое будет претерпевать некоторый произвольно выбранный слой стержня высотой dy, находящийся на расстоянии у от нейтрального слоя.

Для того, чтобы вызвать это удлинение dl, нужна некоторая сила dF, которая по закону Гука будет равна

dF = Edsddx ,

где Е – модуль упругости материала стержня, а dS – площадь растягиваемого слоя. Подставляя в это выражение уже найденное значение d (5.8), а также значение dS = a dy , что ясно из рис. 5.3, получим:

dF = 2Eabdxζ y dy .

Чтобы вычислить вращающий момент, действующий на все поперечное сечение стержня, надо вычислить моменты всех сил dF и просуммировать их. Элементарный момент вращения есть

dM = ydF = 2bdxEaζ y2dy ,

а, следовательно, вызванный упругими силами в данном поперечном сечении общий момент вращения будет иметь вид

Так как при равновесии вращающий момент, вызванный упругими силами, должен равняться моменту вращения внешней силы, то можно написать

где Р – вес груза, приложенного к свободному концу стержня, а х – расстояние от точки приложения Р до рассматриваемого сечения.

Мерой изгиба в рассматриваемом сечении является угол dφ, который

84

образован двумя направлениями I и II поперечного сечения (рис. 5.3). Легко видеть, что

dϕ = bζ = 2bζ .

2

Проведем в точках А и В перпендикуляры к направлениям сечений I и II и продолжим их до свободного конца стержня, сделав, таким образом, их длину, равной х. Ясно, что эти два отрезка образуют между собой угол, равный dφ. Расстояние dλ между концами обоих отрезков есть элемент стрелы прогиба, который образуется вследствие вращения только рассматриваемого поперечного сечения. Из рис. 5.3 становится ясно, что dλ = xdϕ . Подставляя в это выражение найденное значение dφ, а также значение

Это – стрела прогиба стержня, неподвижно закрепленного с одной стороны и несущего груз на свободном конце. В случае, если стержень будет обоими концами свободно положен на твердые опоры и нагружен в середине весом Р (рис. 5.4), то стрела прогиба найдется также из уравнения (5.10), но только

вместо величины Р надо будет поставить Р/2 Рис. 5.4 и интегрировать не от 0 до L, а от 0 до L/2.

Действительно, в этом случае изгиба каждая из опор оказывает на стержень противодействие, равное Р/2, тогда как средняя часть остается горизонтальной.

Таким образом, стержень, опирающийся обоими концами, ведет себя точно так же, как если бы он был закреплен посередине, а на каждый из обоих концов, находящихся на расстоянии L/2 от середины его, действовала вверх сила Р/2. Следовательно, в этом случае стрела прогиба будет равна:

откуда

85

Итак, измерив размеры стержня (L, a, b), стрелу прогиба λ и внешнюю силу P, можно определить модуль Юнга E.

4. Деформация кручения.

Если проволоку или стержень, закрепленные с одного конца, закручивать, прилагая к другому концу пару сил РР с моментом, равным М, то угол кручения φ по закону Гука оказывается равным

ϕ = cM ,

где с – коэффициент, зависящий от вещества проволоки. Модуль кручения f равен

Между модулем кручения и модулем сдвига материала проволоки можно установить простое соотношение. Для этого рассмотрим проволоку длиною L с радиусом R и модулем сдвига G (рис. 5.5).

Пусть верхнее сечение закреплено неподвижно, а к нижнему приложена пара сил РР, создающих вращающий момент с моментом М. Под действием этой пары сил нижнее сечение проволоки поворачивается на угол φ. Пусть dS

– какой–либо бесконечно малый элемент площади нижнего сечения проволоки, находящийся на расстоянии r от оси кручения проволоки OO1, и пусть до кручения он находился в точке А; после кручения этот элемент перейдет в

точку В, а вертикаль СА – в винтовую линию СВ. Благодаря этому элементы, расположенные как снаружи, так и внутри на цилиндрических поверхностях, перекашиваются вследствие того, что материал проволоки претерпевает деформацию сдвига. Обозначим угол сдвига буквой ω. Из рис. 5.5 видно, что

На основании формулы (5.7, а) для того, чтобы элемент dS сдвинулся на угол ω, к нему надо приложить силу, равную dP = GωdS . Подставляя сюда значение dS = rdαdr , в чем легко убедиться из рис. 5.5, и значение ω

из уравнения (5.14), получим dP = Gr2ϕdrdα . Момент этой силы относи-

L

86

тельно оси кручения будет равен dm = dP r = Gr3ϕdrdα .

L

Для того, чтобы найти момент силы (dM), действующий на все кольцо, отмеченное на рис. 5.5, надо просуммировать по α все моменты dm:

α=2π Gr3ϕdr

dM = ∫ dα .

α=0 L

Так как все величины, стоящие под знаком интеграла, кроме dα, от α не зависят, то

dM = 2πLGϕ r3dr .

Для нахождения полного момента М, то есть момента, действующего на все нижнее основание, необходимо просуммировать по r все моменты dM; тогда интегрируя, получаем

Здесь G – модуль сдвига того материала, из которого сделана проволока, а f – модуль кручения данного отрезка проволоки.

Из формул (5.5) и (5.7, а) видно, что размерность модулей Е и G – одна и та же: [Е] = [G] = Н/м2.

Таблица 5.1

Значения модулей упругости для некоторых материалов

87

Лабораторная работа № 7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ПРИ ДЕФОРМАЦИИ КРУЧЕНИЯ

Цель работы

Экспериментальная проверка закона Гука при деформации кручения тонких стержней круглого поперечного сечения из стали и меди. Определение модуля сдвига для стали и меди.

Описание лабораторной установки

Установка для определения модуля сдвига при кручении состоит из двух идентичных модулей, различающихся материалом деформируемого стержня – сталь и медь. На рис. 5.6 показана схема одного модуля.

Исследуемый в работе стержень 1 расположен вертикально. Верхний конец стержня жестко закреплен, а нижний соединен с диском 2. Крутящий момент создается двумя нитями 3, навитыми на диск и перекинутыми через блоки 4. Нити нагружены грузами 5, которые устанавливаются на подвески 6, прикрепленные к концам нитей. С диском 2 жест-

ко связано зеркало 7, поворот которого фикси- Рис. 5.6 руется на шкале 8. Луч света от осветителя 9

отражается от зеркала, и при закручивании стержня по шкале перемещается световой "зайчик".

Порядок выполнения работы

1.Ознакомьтесь с лабораторной установкой и запишите ее технические параметры в соответствующие графы табл. 5.2.

2.Подвесьте к концам нитей 2 модуля со стальным стержнем подвески 6. Установите осветитель 9 так, чтобы видеть на шкале 8 световой "зайчик". Шкала должна быть установлена перпендикулярно отраженному световому лучу.

3.Произведите по шкале 8 отсчет n0 деления шкалы, на котором установится световой "зайчик". Запишите отсчет n0 в раздел табл. 5.3, относящийся к стальному стержню.

4.Положите на каждую подвеску по одному грузу одинаковой массы m. Произведите по шкале 8 отсчет нового положения светового зайчика n.

88