Основы математики. Неопределенный и определенный интеграл

Вычислим в некоторых точках значение силового вектора (рис. 13)

F(A) = {3,3}, F(0) = {0,0}, F(B) = {−1,−1}.

По условию линия интегрирования l задана явно уравнением z = x2,

тогда z′ = 2x. При движении из точки А в точку В аргумент х изменяется от –1 до 1. По формуле (4.5) получаем

60

Представим уравнение прямой l в параметрическом виде:

При передвижении от точки В к точке А параметр t меняется от 1 до 0. По формуле (4.6) и по свойству определенного интеграла получим

4.3.Приложения криволинейных интегралов

4.3.1.Вычисление площади плоской области

Площадь области D, ограниченной замкнутым контуром l, находится по формуле

61

где направление обхода контура l выбрано так, что область D остается все

4.3.2. Вычисление массы неоднородной кривой

Пусть средняя линия неоднородного стержня описывается уравнением линии l. Плотность стержня задается функцией (M ) , тогда масса m

стержня l вычисляется по формуле

l

Пример

x = cost,

Найти массу четверти эллипса , расположенной в первом

z = 2sint

квадранте плоскости xoz, если линейная плотность массы (M ) = z.

62

Используя метод замены переменной cost = u и определив новые пределы интегрирования, получим

dl = sin2 t + 4cos2 tdt.

Очевидно, что параметр t меняется от 0 до π/2, тогда

63

Используя метод замены переменной cost = u и оп ределив новые пределы интегрирования, получим

4.3.4.Вычисление статических моментов

ицентра тяжести кривой

Пусть масса распределения вдоль кривой АВ с плотностью µ(x, y). Тогда статические моменты относительно координатных осей определяются формулами

Координаты центрра тяжести кривой l вычисляются по формулам

Решение. Пусть точка (xc , yc ) – центр

тяжести (ЦТ) дуги. В силу симметрии кривой относительно прямой x = πa

Вычислим статичееский момент дуги относительно осии ох

64

осей ох, оу и начала координат определяются соответствующими формулами

Нетрудно заметить, что момент инерции относительно начала координат равен сумме моментов относительно осей координат I0 = Ix + Iy.

Пример Найти моменты инерции относительно координатных осей и начала

y = 2cost,

координат четверти однородной окружности , лежащей в пер-

z = 2sint

вом квадранте плоскости yoz.

Решение. В силу одинакового расположения однородной кривой по отношению к координатным осям имеем Iy = Iz. По формулам (4.13) получаем

π/2

Iy = Iz = ∫z2dl = 4 ∫ sin2 t4sin2 t + 4cos2 tdt =

65

I0 = ∫(y2 + z2 )ds = 4π∫/2(cos2 t + sin2 t)4sin2 t + 4cos2 tdt =

Итак, Iy = Iz = 2π; I0 = 4π.

4.3.6. Вычисление работы силового поля

Пусть F = P(x, y)i + Q(x, y) j есть переменная сила. Функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны на кривой l. Работа, совершенная силой F вдоль пути l, определяется по формуле

массы m из точки O(0,0) в точку A(1,1) по прямой z = y, лежащей в плоскости yoz.

Решение. Из формулы (4.14) следует, что A = ∫ yzdy + (y + z)dz. Так

l

как мы интегрируем по прямой z = y и при перемещении из точки О в точку А у меняется от 0 до 1, получаем

66

4.3.7. Условия независимости криволинейного интеграла по координатам от пути интегрирования

В некоторой односвязной плоской области G следующие утверждения равносильны:

1. Интеграл ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy , взятый по любому замкнутому

l

контуру l, лежащему в G, равен нулю.

2. Интеграл ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy не зависит от пути интегрирова-

lAB

ния, а зависит только от положения начальной А и конечной В точек.

3. Выражение Pdx + Qdy представляет собой полный дифференциал

некоторой функции U(x, y), однозначно определенной в области G.

4. Всюду в области G выполняется равенство ∂P = ∂Q .

∂y ∂x

Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования можно сформулировать с помощью теоремы.

Теорема. Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны вместе со своими первыми частными производными в области G, ограниченной контуром l. Тогда для того, чтобы криволинейный интеграл

∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy

l

не зависит от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы во

∂P ∂Q

всех точках области G выполнялось равенство ∂y = ∂x .

Эту теорему можно сформулировать иначе:

Криволинейный интеграл ∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy не зависит от пути

l

интегрирования тогда и только тогда, когда его подынтегральное выражение есть полный дифференциал некоторой функции U(x, y).

67

4.3.8. Нахождение функции по ее полному дифференциалу

Если в области G известен полный дифференциал некоторой функции U(x, y), т. е. P(x, y)dx + Q(x, y)dy = dU(x, y), то функцию U(x, y) можно найти, вычисляя соответствующий криволинейный интеграл

(x,y)

∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy,

(x0 ,y0 )

Аналогично можно начальную точку A(x0 , y0 ) и точку с текущими координатами B(x, y) соединить ломаной ANB (криволинейный интеграл от этого не изменится, так как подынтегральное выражение является полным дифференциалом dU).

При этом получим:

68

Пример. Найти первообразную функцию U(x, y), если известно,

что выражение (ey + x)dx + (xey − 2y)dy является полным дифференциа-

лом искомой функции, т. е. dU = (ey + x)dx + (xey − 2y)dy .

Решение. Выберем в качестве начальной точки начало координат, тогда получим:

Задания для самостоятельного решения

Задача 1.

Вычислить криволинейные интегралы I рода:

1.1. ∫ y2dl, l : x = a(t − sint), y = a(1− cost), 0 ≤ t ≤ 2π.

l

1.2. ∫(x + y)dl, где l – контур треугольника с вершинами O(0,0),

l

A(1,0), В (0,1).

1.3. ∫(x2 + y2 + z2 )dl, l : x = acost, y = asint, z = bt, 0 ≤ t ≤ 2π.

l

1.4. ∫zdl, l : x = tcost, y = tsint, z = t, 0 ≤ t ≤ π.

l

69