Основы математики. Неопределенный и определенный интеграл

Задачи для самостоятельного решения

I. Вычислить площади фигур, ограниченных следующими линиями:

50

8.y2 = x3, отсекаемой прямой x = 43.

9.y = 1− x2 + arcsin x, если 0 ≤ x ≤ 79.

10.y = 1− x2 + arccos x, если 0 ≤ x ≤ 89.

III. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями:

1. y = 2 − x4 и y = x2 вокруг оси Ох.

9.y = x2; y =1; x = 2 вокруг оси Ох.

10.y = 2x − x2; y = 2 − x и x = 0 вокруг оси Ох.

13.y2 = 9x и y = 3x вокруг оси Оу.

14.y = 14 x2 и y = 18 x3 вокруг оси Ох.

15.y2 = x и x2 = y вокруг оси Ох.

51

4. ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

4.1. Криволинейный интеграл по длине дуги

(криволинейный интеграл I рода)

4.1.1. Определение

Пусть f (M ) есть функция, непрерывная в некоторой области, и l –

некоторая плоская кусочно-гладкая кривая, расположенная в этой области.

называется интегральной суммой. Обозначим max li наибольшую из длин всех элементарных дуг.

дуг, т. е. когда все элементарные дуги стягиваются в точку:

4.1.2. Свойства криволинейного интеграла I рода

1. Линейность. Если k = const , а функция f (M ) интегрируема на

АВ, то

52

∫ kf (M )dl = k ∫ f (M )dl

AB AB

иинтеграл слева заведомо существует.

2.Коммутативность. Если функции f (M ) и g(M ) интегрируе-

мы на АВ, то их сумма f (M ) ± g(M ) интегрируема и выполняется

∫ ( f (M ) ± g(M ))dl = ∫ f (M )dl ± ∫ g(M )dl .

AB AB AB

3. Монотонность. Если f (M ) – неотрицательная интегрируемая функция, то

∫ f (M )dl ≥ 0.

AB

4. Адаптивность. Если дуга АВ, составленная из двух дуг АС и СВ, то

∫ ( f (M ) ± g(M ))dl = ∫ ( f (M ) ± g(M ))dl + ∫ ( f (M ) ± g(M ))dl .

∫ f (M )dl =f (M ) L,

AB

где L – длина дуги АВ.

7. Величина криволинейного интеграла I рода не зависит от выбора направления, то есть

∫ f (M )dl = ∫ f (M )dl.

AB BA

53

дифференциал дуги dl = (ϕ′(t))2 + (ψ′(t))2 dt.

Таким образом, криволинейный интеграл сводится к определенному интегралу:

lα

3. Кривая задана уравнением в полярной системе координат

ρ = ρ(ϕ),

В этом случае дифференциал дуги dl = ρ2 + (ρ′)2 dϕ.

ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2.

54

Следовательно,

lϕ1

Аналогично определяются криволинейные интегралы от непрерывной в некоторой пространственной области l функции f (M ) по длине дуги пространственной кусочно-гладкой кривой L, расположенной в этой области.

Если кривая задана параметрическими уравнениями

dl = (x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2 dt

и криволинейный интеграл сводится к определенному:

lα

Примеры.

няющей точки О(0,0) и А(1,2) (рис. 9).

z

Решение. Запишем уравнение заданной прямой линии l: y = 2x, тогда произ-

водная y′ = 2, дифференциал

y

dl = 1+ 22 dx = 5dx.

При движении от О к А х меняется от

55

(a > 0) (рис. 10).

y

Решение. Введем полярные координаты:

Уравнение окружности принимает вид ρ2 = aρcosϕ или ρ = acosϕ,

где − π2 ≤ ϕ ≤ π2 . Производная ρ′ = −asinϕ, тогда дифференциал

dl = a2 cos2 ϕ + a2 sin2 ϕdϕ = adϕ.

По формуле (4.2) получаем

Рис. 11. Проекция винтовой линии на плоскость xoy

56

Решение

Так как dl = (x′)2 + (y′)2 + (z′)2 dt = 2 + t2 dt, то по формуле (4.2) получим

Полученный результат можно интерпретировать как массу одного витка (0 ≤ ϕ ≤ 2π) конической винтовой линии или как площадь цилиндрической поверхности в четырехмерном пространстве, направляющая которой есть трехмерная винтовая линия.

4.2. Криволинейный интеграл по координатам (II рода)

4.2.1. Определение

Криволинейным интегралом второго рода называется выражение ви-

да ∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy, где P(x, y) и Q(x, y) – непрерывные функции

l

в некоторой области плоскости хоу вдоль кусочно-гладкой кривой l, расположенной в этой области.

Интегралы по координатам обладают теми же свойствами, что и интегралы по длине дуги. Отличительным свойством является то, что криволинейный интеграл II рода зависит от выбора направления движения по дуге АВ некоторой кривой.

Если изменить направление движения, то интеграл меняет знак на противоположный

57

∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = − ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy.

AB BA

4.2.2. Методы вычисления криволинейного интеграла по координатам (II рода)

1. Кривая явно задана уравнением y = ϕ(x). При перемещении из точки А в точку В аргумент х меняется от а до b, тогда

2.Кривая задана параметрическими уравнениями x = ϕ(t),

y = ψ(t).

Функция P(x, y) = P(ϕ(t),ψ(t)) = P(t). Аналогично Q(x, y) = Q(t).

При перемещении из точки А в точку В параметр t меняется от α до β

В случае замкнутой кривой положительным направлением движения по кривой считается то, при котором область D, ограниченная данной кривой, остается слева (рис. 12).

58

Аналогично определяются криволинейные интегралы по координатам в случае, если кривая l лежит в плоскостях xoz или yoz.

3. Пусть кривая l задана в трехмерном пространстве и в каждой точке этой кривой определены и непрерывны функции P(x, y,z), Q(x, y,z),

R(x, y,z).

Криволинейным интегралом второго рода по пространственной кривой называется выражение

∫F(M )dl = ∫P(x, y,z)dx + Q(x, y,z)dy + R(x, y,z)dz.

ll

Уравнение кривой в пространстве может быть задано в параметриче-

l

α

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L обозначается символом

Механический смысл интеграла второго рода есть работа силового поля F по перемещению материальной точки из положения А в положение В по некоторому пути l.

Физический смысл криволинейного интеграла второго рода по замкнутому контуру есть циркуляция силового поля F вдоль заданного контура l.

59