Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Волгоградский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы математики. Неопределенный и определенный интеграл

.pdf

Скачиваний:

207

Добавлен:

14.03.2016

Размер:

2.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

3.ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРА ЛА

КРЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ГЕОМЕТРИИ

•Площадь криволинейной трапеции. Если на отрезке [a,b] функ-

ция f (x) ≥ 0 , то площадь криволинейной трапеции, огран иченной кривой

y = f (x), осью Ох и прямыми x = a , x = b (рис. 1), равна S = ∫ f (x)dx.

Если f (x) ≤ 0 на отрезке [a,b], то площадь соответствующей криво-

линейной трапеции S = −∫ f (x)dx.

Рис. 1

В общем случае, когда функция f (x) меняет знак на отрезке [a,b]

(рис. 2), то площадь ограниченной кривой y = f (x), осью Ох и прямыми

x = a , x = b, может быть найдена как сумма площадей ф игур, лежащих

выше и ниже оси Ох. Ин аче S = ∫ f (x) dx.

Рис. 2

Если кривая задана уравнением в параметрической форме: x = ϕ(t), y = ψ(t),

где α ≤ t ≤ β и ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, площадь криволинейной трапеции в этом случае равна

	β
	S = ∫ψ(t)ϕ′(t)dt .
	α
Если кривая	задана уравнением в полярной системе координат:
ρ = ρ(ϕ), где ρ(ϕ)	– непрерывная функция, определенная при α ≤ ϕ ≤ β

(рис. 3), то площадь сектора, ограниченного заданной кривой и лучами ϕ = α, ϕ =β, равна

S= 1 ∫β ρ2 (ϕ)dϕ .

2 α

ρ= ρ(φ)

Рис. 3

• Длина дуги плоской кривой. Длина дуги кривой y = f (x), ограниченной точками с абсциссами x = a , x = b, вычисляется по формуле

L = ∫ 1+ [ f ′(x)]2 dx .

Если дуга кривой задана уравнениями в параметрической форме: x = ϕ(t), y = ψ(t), где α ≤ t ≤ β и ϕ(α) = a; ϕ(β) = b, то длина дуги равна

L = ∫ [ϕ′(t)]2 + [ψ′(t)]2 dt .

Длина дуги кривой, определенной в полярной системе координат

уравнением ρ = ρ(ϕ) , вычисляется по формуле L = ∫ [ρ(ϕ)]2 + [ρ′(ϕ)]2 dϕ .

α
• Объем тела вращения. Рассмотрим тело, образованное вращением
вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой	y = f (x),
осью Ох и прямыми x = a , x = b. Объем тела вращения
b
Vx = π∫[ f (x)]2 dx .
a
Если тело образовано вращением вокруг оси Оу криволинейной тра-
пеции, ограниченной линией x = ϕ(y), осью Оу и прямыми y = c	и y = d ,
то его объем вычисляется по формуле

Vy = π∫[ϕ(y)]2 dy .

Если фигура, ограниченная кривыми y1 = f1(x) и y2 = f2(x), причем 0 ≤ f1(x) ≤ f2 (x), и прямыми x = a , и x = b, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения равен

V = π∫(y22 − y12 )dx.

Задача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками

функций y = (x − 2)3, y = 4x − 8.

y = (x − 2)3

y = 4x − 8

Рис. 4

Решение. Изобразим графики функций и найдем точки их пересечения (рис. 4).

y1 = (x − 2)3 – кубическая парабола, проходящая через точку (2; 0). y2 = 4x −8 – прямая, проходящая через точки (0; –8) и (2; 0). Найдем точки пересечения графиков функций, решая систему урав-

нений пересекающихся линий:

y = (x − 2)3	(x − 2)3 = 4x − 8 (x − 2)(x − 4)x = 0 x = 0; x = 2; x = 4.
	(x − 2)3 = 4x − 8 (x − 2)(x − 4)x = 0 x = 0; x = 2; x = 4.
y = 4x − 8

Фигура, ограниченная заданными линиями, состоит из двух одинаковых частей. Поэтому ее площадь равна удвоенной площади одной части:

4	4			2		(x −	2)	4	4

S = 2∫(y2 − y1)dx S = 2∫(4x −8 − (x − 2)3 )dx = 2		4	x		−8x −				= 8
			2			4
2	2								2

Задача 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрическими уравнениями

x = 2(t − sint),
	< t < 4π,
y = 2(1− cost), 0	< t < 4π,

y ≥ 3
Решение. Это уравнение циклоиды (рис. 5). Найдем ее пересечение
с прямой у = 3: y = 2(1− cost) = 3. Отсюда cost = −		1 t		=	2π	,	t		=	4π	.
		2	1	3				2	3
		2		3					3

2π

4π

Рис. 5

Площадь искомой фигуры равна

S = ∫(y2 (x) − y1(x))dx =∫(y(x) −

′

3)dx =∫ y(t)x

(t)dt − 3(x2 − x1).

Подставим значения t

2π

, t

4π

= x(t ), x

= x(t

)

и получим:

4π/3

4π

2π

S = ∫ 2(1− cost)2(t − sint)′dt − 3

− sin

− 2

− sin

2π/3

4π/3

4π

2π

= 4 ∫ (1− cost)

dt − 6

− sin

−

+ sin

2π/3

4π/3

2π

= 4 ∫ (1− 2cost + cos2 t)dt − 6

2π/3

4π/3			1+ cos2t		2π
= 4		− 2cost +				+		=
	1		2	dt − 6	3		3
2π∫/3

4π/3

cos2t

= 4

− 2cost +

dt − 4π − 6

2π∫/3

Вычислим отдельно определенный интеграл, используя формулу

Ньютона–Лейбница:

4π/3

− 2cost

cos2t

− 2sint +

sin 2t

4π/3

= 4

2π∫/3

2π/3

sin

8π

sin

4π

3 4π

4π

3 2π

2π

= 4

− 2sin

−

− 2sin

2 3

= 4 π + 4

− 4π − 6 3 = 4

π + 2 3

= 4π + 9 3.

Подставим найденное значение интеграла и получим

S = 4π + 9 3 − 4π − 6 3 = 3 3.

Задача 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, задан-

ной уравнением в полярных координатах

r = cos3ϕ., где r ≥ 0

Решение. Эта фигура называется трехлепестковой розой. Она со-

стоит их трех одинаковых лепестков (рис. 6).

Из условия r ≥ 0 следует:

− π

+ 2πn ≤ 3ϕ ≤

+ 2πn,

n Z или − π

2πn

≤ ϕ ≤

2πn

n Z .

Следовательно, один лепесток определяется углами −

≤ ϕ ≤

π.

π/6

Площадь одного лепестка S1 =

∫

r2 (ϕ)dϕ.

−π/6

Рис. 6

Подставим выражение r = cos3ϕ и получим


S1	=	1	π/6	cos	2	3ϕdϕ =	1 π/6	(1+ cos6ϕ)dϕ =	1				1		π/6
		1	π/6		2		1 π/6		1				1		π/6
		2	−π∫/6				4 −π∫/6		4	ϕ +			6	sin6ϕ
		2							4				6		−π/6
															−π/6
		Тогда площадь всеей розы S = 3S = 3									π	= π.
		Тогда площадь всеей розы S = 3S = 3										= π.
								1		12			4
										12			4

=	1	π		+	π	=		π	.

	4		6		6		12

Задача 4. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в пря-

моугольной системе координат y =

1− x2 + arccos x, 0 ≤ x ≤

Решение. Найдем производную

y′ = −

−

−1− x

2 1− x2

1− x2

Длину дуги найдем по формуле

L = ∫1+ (y′)2 dx.

Таким образом,

8/9

(x +1)2

8/9

1− x2 + x2 + 2x +1

8/9

2 + 2x

8/9

L = ∫

dx = ∫

dx =

1− x2

1− x

8/9

4 2

∫0

= 2

= −2 2 1− x

= −2 2

1−

− 1

− 0

= −2 2

−1

1− x

Задача 5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически-

ми уравнениями

x = 2(cost + tsint),	0 ≤ t ≤	π	.
	0 ≤ t ≤		.
y = 2(sint − t cost),		2

Решение. Найдем производные:

xt′ = 2(−sint + sint + tcost) = 2tcost, yt′ = 2(cost − cost + tsint) = 2tsint.

Длину дуги кривой, заданной параметрически, найдем по формуле

L = ∫(xt′)2 + (yt′)2 dt.

Подставляя данные, получим

π/2										π/2		π/2		π 2		π2

	4t	2	cos	2	t + 4t	2	sin	2	tdt =		2						.
L = ∫	4t		cos		t + 4t		sin		tdt =	∫ 2tdt = t			=	2	=	4	.
0										0		0		2		4
0										0		0

Задача 6. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в по-

лярных координатах ρ = 5e5ϕ/12, −π / 2 ≤ ϕ ≤ π / 2.

Решение.

Длина дуги заданной кривой в полярной системе координат. определяется по формуле

L = ∫ρ2 + (ρ′)2 dϕ

Найдем производную ρ′ = 5125 e5ϕ/12 = 1225e5ϕ/12.

Подставляя данные, получим

π/2

4225 e5ϕ/12 dϕ =

L = ∫ 25e5ϕ/6 + 625 e5ϕ/12 dϕ = ∫

∫ e5ϕ/12dϕ =

−π/2

144

−π/20

144

−π/20

π/2

e5ϕ/12

=13(e5π/24 − e−5π/24 )= 26sh(5π / 24).

−π/2

Задача 7. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг

оси Ох фигуры, ограниченной графиками функций y = x2,

y2 = x.

Решение. Найдем точки пересечения кривых y = x2, y = x :

x2 − x = x (xx −1)= 0 x = 0, x =1.

Изобразим заданные кривые (рис. 7).

Рис. 7

Вычислим объем тела вращения по формуле

V = π∫(y22 − y12 )dx.

Подставляем выражения для функций, получим:

1				2	1	x		2		x	5	1		1		1		3π
1					1			2			5	1
V = π∫ (	x )		− (x2 )						−						−		=		.
		2
0					0		2			5		0	2			5		10
0					0					5		0

x2 y2

Задача 8. Эллипс a2 + b2 =1 вращается сначала вокруг большой оси, затем вокруг малой оси. Найти объем полученных тел вращения.

– a	О	a	x
			x

– b

Пусть эллипс вращается вокруг оси Ох, т. е. вокруг своей большой

оси, тогда	y2	= b2		−	x	2
			1
					a	2

= 2πa b2

1−

dx = 2πb2 x a

−

2πb2

= 4 πab2.

∫b

Пусть теперь эллипс вращается вокруг оси Оу, т. е. вокруг своей ма-

лой оси, тогда	x2	= a2		−	y	2
			1
					b	2

		b				2		4
Vy	= 2π	∫0	a2	1	−	y	dy =		πa2b.
						2		3
						b

При a = b = R получаем хорошо известную формулу объема шара радиуса R

Vшара = 43 πR3

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025916.99 Кб0Оригинал ответов.doc
#
01.05.2025843.26 Кб1Оружие.doc
#
01.03.202552.8 Кб1осн законодательства.docx
#
16.09.20197.02 Mб75Основная часть.docx
#
14.03.20161.56 Mб124Основы выездки и езды.pdf
#
14.03.20162.74 Mб207Основы математики. Неопределенный и определенный интеграл.pdf
#
16.08.2019113.15 Кб39Основы налогов. Лекция 8.doc
#
01.04.2025162.4 Кб1Основы теории отраслевых рынков.docx
#
26.08.2019293.38 Кб49Основы теории транспортных процессов и систем.doc
#
01.04.2025544.77 Кб1Основы экономики.doc
#
14.03.20162.28 Mб47ОсновыКомпПроект_ИвановЕрещенко.pdf