Основы математики. Неопределенный и определенный интеграл

Вариант 18

1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 ; y = 2x .

2.Вычислить длину кардиоиды r = a(1+ cosϕ).

3.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограничен-

ной линиями y = 0 и x2 = 2 − y вокруг оси Ох.

4. Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал

dU = (xcos2y +1)dx − x2 sin 2ydy

5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-

e

ла ∫1 x dxln x

110

1. Найти площадь фигуры, заключенной внутри кривой r = 3 + 2cosϕ.

2. Найти длину дуги кривой y = ln(1 − x2 ) от точки x = 0 до точки x = 12 .

3. Вычислить объем тела, образованного вокруг оси Ох фигуры, ог-

раниченной параболой y = 2 + x2 осью Ох и прямыми x = 0 и x = 2.

4

4. Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал dU = (3x2 y − 2x3 + y3)dx − (2y3 − 3xy2 − x3)dy

5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-

ла ∫1 arctg1+ x2x dx

111

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = −x2 ;

y = 0; x = 4.

точки x = e .

3.Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой x2 − y2 = 4 и прямой x = 6.

4.Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал

5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-

π

4

ла ∫ctgxdx

0

112

Вариант 21

1.Вычислить площадь фигуры, заключенной внутри одного лепестка кривой r = 5sin3ϕ .

2.Найти длину дуги линии y = x3 от точки O(0;0) до точки B(4;8) .

3.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограничен-

ной линиями x + y = 2, x = 0; x =1 вокруг оси Ох.

4. Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал dU = (4x3 + 8xy3 + 7y)dx + (12x2 y2 + 7x)dy

5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-

0

dx

ла ∫3 x2 − 6x +10

113

Вариант 22

1. Вычислить площадь фигуры, заключенной внутри одного лепестка кривой r = 2sin3ϕ.

2. Найти длину дуги линии y = x3 от точки A(1;1) до точки B(4;8) .

3. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x2 − 3, x = 0 и x =1 вокруг оси Ох.

4. Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал

dU = (12x2 + 8y3)dx + 24x2 ydy

5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-

∞

dx

ла ∫0 x2 − 2x + 2

114

Вариант 23

1.Найти площадь фигуры, содержащейся внутри кривой r = 3cos2ϕ.

2.Найти длину петли кривой x = 3t2 , y = 3t − t2 , где −3 ≤ t ≤ 3.

3.Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограни-

ченной осями координат и линиями x2 = 2 − y и x = 1 вокруг оси Ох.

4. Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал

dU = cos xcos ydx − sin xsin ydy

5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-

0

dx

ла ∫0 x2 − 4x + 3

115

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y = x2 + 3x

и прямой y + 3x − 4 = 0 .

2.Найти длину дуги полукубической параболы y2 = (x + 1)3 отсеченной прямой x = 4.

3.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной параболой ( y − 3)2 = −3x и прямой x = −3 вокруг оси Ох.

4.Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал

dU = eydx + xeydy

5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-

∞

dx

ла ∫4 x2 − 8x +17

116

1. Вычислить площади двух частей, на которые круг x2 + y2 = 8 разделен параболой y2 = 2x .

3. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной параболой x2 = 4 − y и прямой y = 0 вокруг оси Ох.

4. Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал dU = (4x3 + 3)dx + (15y2 −1)dy

5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-

2

ла ∫1 xdx−1

117

1. Вычислить площадь фигуры, заключенной внутри одного лепестка кривой r = 4sin3ϕ.

2. Найти длину дуги линии y = arcsin e− x от x = 0 до x = 1.

3. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x3; x = 0; x = 1 вокруг оси Ох.

4. Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал dU = 2xy3dx + 3x2 y2dy

5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-

5

dx

ла ∫3 x2 − 7x +10

118

Вариант 27

1. Вычислить площадь одного лепестка кривой r = 5sin3ϕ .

x = −1 между точками пересечения с осями координат.

3.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной осью координат и кривой 4 − y = x2 вокруг оси Ох.

4.Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал

dU = 2xcos(x2 + y2)dx + 2ycos(x2 + y2)dy

5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-

+∞

ла ∫2 x +dxx

119