Основы математики. Неопределенный и определенный интеграл
.pdf
|
|
|
|
|
|
Вариант 8 |
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
∫esin x cos xdx |
2. |
∫ |
|
xdx |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
4x2 +1 |
|
|
|
|||||||
3. |
∫(x −1)ln xdx |
4. |
∫xsin 2xdx |
|
||||||||||||
5. ∫ |
6x +1 |
6. ∫ |
|
|
x2dx |
|
||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x2 + 6x +13 |
|
|||||||||||||||
x2 + 3x + 2 |
|
|||||||||||||||
7. |
∫ |
|
2− x |
8. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x(x +1)2 |
cos4 x |
|
||||||||||||||
|
π |
|
4 |
|
dx |
|
||||||||||
9. |
∫sin2 xdx |
10. ∫1 |
|
|
||||||||||||
3 x2 + 2 x |
|
|||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить площадь фигуры, заключенной между параболами
y = x2 − x и y2 = 2x . |
|
2. Найти длину кривой y =1− lncos x от точки x = 0 до точки x = |
π . |
|
4 |
3.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной параболой y2 = 4 − x и осью Оу вокруг оси Ох.
4.Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал
dU = sin(x − y)dx + sin(y − x)dy
5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-
∞
ла ∫3 1+dxx2
100
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
∫cos(1− 2x)dx |
|
|
2. ∫ |
|
|
exdx |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ e2x |
|
|
|
|
||||||||
3. |
∫ |
|
|
6x − 5 |
|
dx |
4. ∫xcos2xdx |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
3x2 − 5x + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. ∫ |
|
|
|
(x + 2)dx |
|
|
6. ∫ |
|
x2 +1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||||||
|
|
|
x2 + 8x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 − x2 |
|
||||||||||||||||
7. |
∫ |
|
|
|
cosx |
dx |
|
|
8. ∫sin2 5xdx |
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
+sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
10. |
∫0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9. |
∫π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|||||||||||||
cos xsin3 x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y = 2x − x2
и прямой y = −x .
2.Найти длину дуги полукубической параболы y2 = (x + 1)3 , отсеченной прямой x = 4.
3.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограничен-
ной гиперболой y = 2 |
и прямыми x =1, x = 4 и y = 0 вокруг оси Ох. |
x |
|
4. Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал |
|
2(x +1) |
2y |
dU = x2 + y2 + 2x +1dx + x2 + y2 + 2x +1dy
5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-
∞
ла ∫1 3xdx− 2
101
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 10 |
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
∫ |
|
|
dx |
2. |
∫ |
|
|
x3dx |
||||||||||||
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1+ tgx |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x4 +1 |
|||||||||||||||||||
3. |
∫ |
|
1+ x |
|
|
dx |
4. |
∫xsin 2xdx |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. ∫ |
|
x − 3 |
6. ∫ |
|
|
xdx |
|||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x2 +10x + 29 |
|||||||||||||||||||||
x2 + 4x + 3 |
|||||||||||||||||||||
7. |
∫cos2 4xdx |
8. |
∫cos2xcos4xdx |
||||||||||||||||||
9. |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
dx |
|||||||
∫cos2xsin3 xdx |
10. ∫0 |
x x +1 |
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить площади двух частей, на которые круг x2 + y2 = 8 разделен параболой y2 = 2x.
2. Найти длину дуги кривой y = lnsin x от точки x = π3 до точки
x = π2 между точками пересечения с осями координат.
3. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной параболой x2 = 4 − y и прямой y = 0 вокруг оси Ох.
4. Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал
dU = |
1 |
dx − |
e− y |
|
|
|
dy |
||
x + e− y |
|
|||
|
|
x + e− y |
||
5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-
ла ∞∫ln2 x dx
e x
102
Вариант 11
1. |
∫ |
(2x − 3)dx |
|
2. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
−3x +8 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
cos |
x3 1 |
+ tgx |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3. |
∫lnxxdx |
|
|
4. ∫arctg1+x2 xdx |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
5. ∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
6. ∫ |
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|||||||||
x3 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x2 + 7x +10 |
|
||||||||||||||||||||||
7. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
8. ∫cos2 6xdx |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos |
x3 1 |
+ tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
||||||||
9. |
∫cos3 xdx |
|
|
10. ∫0 |
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x3 +1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить площадь фигуры, |
содержащейся внутри |
кривой |
|||||
r = cos2ϕ . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Найти длину дуги линии y = x3 |
от точки |
x = 0 |
до точки x |
2 |
= 4. |
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной осями координат и линией y = 1− x2 вокруг оси Ох, считая x ≥ 0.
4. Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал
dU = (x + y +1)dx + (x − y2 + 3)dy
5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-
4
ла ∫0 16dx− x2
103
Вариант 12
1. |
∫ |
cos xdx |
|
|
2. |
∫ |
1− x + x3 |
dx |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 sin2 x |
|
|
|
|
|
x2 |
|||||||||||||||
3. |
∫e1−x2 xdx |
|
|
4. |
∫(x −1)cos2xdx |
||||||||||||||||
5. ∫xe2 xdx |
|
|
6. ∫ |
|
|
2x2 +1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 − x2 + x −1 |
dx |
|||||||||
7. |
∫ |
−2x + 4 |
dx |
8. |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x(x − 2) |
|
cos |
4 |
x |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x + 2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
9. |
∫2 |
|
|
|
|
dx |
10. |
2 |
cos x |
|
|
||||||||||
|
|
|
+1 |
|
|
||||||||||||||||
|
x + 2 |
|
|
dx |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
∫sin x +1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить площадь одного лепестка кривой r = sin3ϕ .
2
2. Вычислить длину дуги кривой y3 = x от точки x1 = 0 до точки
x2 = 12 .
3.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной осями координат и кривой y = x2 − 2x + 1 вокруг оси Ох.
4.Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал
dU = (3x2 + 6xy2 )dx + (6x2 y + 4y3)dy
5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-
3 |
|
xdx |
|
ла ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
9 − x2 |
|
||
0 |
|
|
104
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 13 |
|
|
|
||
1. |
∫sin6 xcos xdx |
2. |
∫e−2x3 x2dx |
||||||||||
3. |
∫ |
|
|
exdx |
4. |
∫(2x +1)exdx |
|||||||
|
|
4 + e2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. ∫ |
|
|
xdx |
|
5x −8 |
||||||||
|
|
|
6. ∫ x3 −1dx |
||||||||||
|
x2 − 4x + 29 |
||||||||||||
7. |
∫ |
|
dx |
|
8. |
∫sin3x cos xdx |
|||||||
sin x + cosx |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
π |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|||
9. |
2xdx |
|
x + 3 +1 |
||||||||||
∫sin4 |
10. ∫1 |
x + 3 −1dx |
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r = a(1+ cosϕ).
2. Вычислить длину дуги кривой x = 2sint |
, где 0 ≤ t ≤ |
π . |
y = 2cost |
|
4 |
3.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной осями координат и кривой x = 3t2 , x + y = 3 вокруг оси Ох.
4.Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал
dU = 3x2eydx + (x3ey −1)dy
5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-
∞
ла ∫ dx
1 xln2 x
105
Вариант 14
1. |
∫esin x cos xdx |
2. |
||
3. |
∫ |
dx |
|
4. |
xln x |
|
|||
|
|
|
||
∫
∫
(cos xcos2x)dx
(2x −1)sin 2xdx
5. ∫ |
|
|
xdx |
|
|
6. ∫ |
|
x + 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||
x2 + 4x + 20 |
|
x(x −1) |
|||||||||
7. ∫ |
arcsin5 x |
dx |
8. ∫cos4 3xdx |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1− x2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
π |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
dx |
||
9. ∫cos3 |
xsin2 xdx |
|
|
|
|||||||
10. ∫1 x + 4 x |
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой r = a(2 + cosϕ).
2.Найти длину дуги кривой x = 3cost ; y = 3sint , где 0 ≤ t ≤ π2 .
3.Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной осью координат и линиями x2 = y + 3 и x = 3 вокруг оси Ох.
4.Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал
dU = e− ydx + (1− xe− y )dy
5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-
2
dx
ла −∫2 (x + 2)3
106
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
∫sin5 xcos xdx |
2. ∫ |
2x dx |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ 4x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
∫ |
|
|
dx |
x lnxdx |
||||||||||||||||
|
xln2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. ∫ |
|
2 − x |
6. ∫ |
|
|
|
xdx |
||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x2 + 2x + 2 |
|||||||||||||||||||||
x2 −16 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. ∫ |
|
|
|
dx |
|
8. ∫ 2 − 2x − x2 dx |
|||||||||||||||
1 |
+ 4cosx |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
||||||||||||
9. |
∫sin4 3xdx |
10. ∫0 |
|
||||||||||||||||||
|
x +1dx |
||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией r = 4 + cosϕ .
2. Найти длину дуги линии y = ln(1 − x2 ) между точками x = − 12 и
x = 12 .
3. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = 0; x2 = 1− y вокруг оси Ох.
4. Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал dU = 2xcos2 ydx + (2y − x2 sin2y)dy
5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-
5 |
|
xdx |
|
ла ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 9 |
|
||
3 |
|
|
107
Вариант 16
1. ∫ |
|
|
dx |
2. ∫ |
(arctg3x)2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1+ 9x2 |
dx |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x2 − 2x + 5 |
|
|||||||||||||||
3. |
∫ |
|
dx |
|
|
|
4. |
∫ |
x + 4 |
dx |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
||||||||
xln3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. |
∫arcsin 2xdx |
6. |
∫ |
|
|
3x + 7 |
|
|
dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −5x + 6 |
|||||||||
7. |
∫ |
|
dx |
|
|
|
8. |
∫sin2 3xdx |
|
|
|
|||||||
x4 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
x +1 |
|||||
9. |
2 |
|
|
dx |
|
|
10. ∫0 1+ |
|
|
dx |
||||||||
∫ |
|
|
|
dx |
|
x +1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1+ sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией r = 3cos2ϕ.
2.Найти длину дуги линии y = arcsin e− x от точки x = 0 до точки x = 1.
3.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной осями координат и линией 5 = y2 − x вокруг оси Ох.
4.Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал
dU = (3x2 + 2y)dx + (2x − 3)dy
5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-
∞ dx
ла ∫9 x
x
108
Вариант 17
|
|
(x +1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
∫ |
dx |
|
|
2. |
∫ |
2 + 5+ x2 |
dx |
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5+ x2 |
|||||||||||||||
3. |
∫ |
arctg2 x |
dx |
4. |
∫(2x + 3)cos2xdx |
|||||||||||||||||
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
∫ |
|
|
|
x |
|
dx |
6. |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|||||||
(x −1)(x2 + 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3+ 2cosx |
|
|||||||||||||||||||||
7. |
∫sin3 cos2 xdx |
|
|
sin4 x |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
∫cos2 x dx |
|
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1+ x +1 |
|
|
|
|
3 |
|
xdx |
|
|||||||||||||
9. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
x +1 |
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
4 − x2 |
|
||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией y = 1; x =1; x
x = e и осью ординат.
2.Вычислить длину дуги кривой r = a(1+ cosϕ) от ϕ = − π4 до ϕ = π4 .
3.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной осью Оу и параболой y2 = x + 3 вокруг оси Ох.
4.Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал
dU = (3x2 y − 4xy2 )dx + (x3 − 4x2 y +12y3)dy
5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-
ла ∫3 x2dx
−1 x3 +1
109