Экономико-математическая модель мб.

Основу информационного содержания МБ составляет матрица, содержащая коэффициенты прямых материальных затрат на производство единицы продукции. Для производства единицы продукции в j-ой отрасли требуется определенное количество затрат промежуточной продукции i-ой отрасли, равное . Величины называются коэффициентами материальных затрат. Как показано выше, условие баланса имеет вид

i, j=1, 2…n (1)

Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат А=(), вектор – столбец валовой продукции Х и вектор- столбец конечной продукции Y, то система уравнений (1) примет вид

Х= АХ+Y (2)

Это экономико-математическая модель МБ или модель «затраты - выпуск».

По этой модели можно провести два варианта расчета.

1. Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли () можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли () :

Y= (E-A)·X

2. Задав величины конечной продукции всех отраслей () можно определить величины валовой продукции каждой отрасли () :

Матрица А, элементами которой являются коэффициенты прямых затрат , называется еще структурной матрицей экономики. В. Леонтьев показал, что в течение небольших промежутков времени коэффициенты прямых затрат остаются практически неизменными, а конечный спрос меняется.

Соотношение баланса (2) можно представить и в виде

(Е-А)·Х=Y (3)

Одна из основных задач межотраслевого баланса – найти при заданной структурной матрице экономической системы в условиях баланса совокупный выпуск, необходимый для удовлетворения заданного спроса.

Предположим, что в течение некоторого промежутка времени коэффициенты прямых затрат остаются постоянными, а конечный спрос изменяется. Это означает, что существует линейная связь между выпуском и затратами и изменение выпуска хотя бы в одном секторе экономики влечет за собой пропорциональное изменение затрат всех производящих секторов. Коэффициентами пропорциональности этой связи являются элементы структурной матрицы. То есть в линейной модели «затраты – выпуск» соотношения баланса описывают связь неизвестного выпуска с заданным спросом. Эти соотношения позволяют определить, каким должен быть совокупный выпуск в каждом секторе, чтобы удовлетворить изменившиеся потребности общества.

На языке линейной алгебры это значит, что требуется решить систему линейных уравнений (Е-А)·Х=Y относительно неизвестного вектора Х при заданной матрице системы Е-А и правой части Y. Если матрица Е-А обратима, то.

Рассмотрим матрицу D==}. Если записать выражение компонент вектора выпуска Х через компоненты вектора конечного спроса Y

то становится понятным, что элемент матрицы показывает, на сколько нужно увеличить выпуск i-го сектора при увеличении на единицу конечного спроса на продукцию j-го сектора.

Матрица D= называется матрицей полных затрат.