§2 Первообразная функция и неопределённый интеграл
Потренировались немного, а теперь пeрейдём непосредственно к неопределённым интегралам. Во-первых, вспомним, что неопределённый интеграл от функции f(x) есть совокупность первообразных этой функции, а первообразной функции f(x) называется такая функция F(x) производная которой равна f(x), т.е. выполняется условие F′(x)= f(x). Это определение неопределённого интеграла. И ещё вспомним, что функция f(x) имеет множество первообразных, и все они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое (теорема 1), поэтому в определении и фигурирует слово «совокупность». В справедливости теоремы мы уже убедились, решив пример 1с) на стр.5.
Перейдём теперь к теоремам, которые непосредственно указывают на взаимную обратимость действий интегрирования и дифференцирования.
Теорема 2. Интеграл от дифференциала функции F(x) равен дифференцируемой функции F(x) плюс произвольная постоянная. Или-в символической записи теорема записывается так:
=
F(x)+С.
(3)
Очень полезная теорема. С помощью этой теоремы можно находить некоторые интегралы методом подведения под знак дифференциала. Далее мы в этом убедимся на примерах.
Теорема 3. Производная от интеграла по переменной интегрирования равна интегрируемой функции. В символической записи терема примет вид:
.
(4)
Эта теорема позволяет нам проверять правильность нахождения интегралов, т.е. нахождения первообразных.
Осталось вспомнить свойства интегралов, которые определяются следующими двумя теоремами:
Теорема 4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых. Или в символах:
.
(5)
Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
(6)
Это и все свойства. Других нет.
Прейдём теперь к таблице интегралов от основных элементарных функций. Формулы 1.-X1V. получаются после интегрирования формул соответствующих номеров таблицы 1 и перемены местами правой и левой частей формул. Правильность остальных формул проверяется дифференцированием.
ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ
Таблица 2
1.
,
m#
-1.
1X.
.
11. (1X.)*
111.
X.
1V.
X1.
V.
X11.
V1.
Х111.
V11.
=
-arccosu+C
X1V.
(V11.)*
XV.
V111.
=-arcctgu+C
XV1.
(V111.)*
=
-
+C
Здесь переменная u может быть независимой переменной или некоторой функцией от другой переменной, например, u=u(x). Формулы 1.-Х1V. непосредственно следуют после применения теоремы (2) к аналогичным номерам таблицы 1.
При применении
табличных интегралов иногда бывает
полезной формула
.
(7)
§3 НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
1. Интегрирование подведением под знак дифференциала.
А теперь приступим непосредственно к нахождению первообразных функций или, иначе говоря, к интегрированию функций, т.е. к нахождению интегралов. Вначале будем пользоваться только формулами таблицы 2, теоремой 2, понятием дифференциала функции (формулы 1и 2) и естественно формулами таблицы 1, а также формулой (7). Будем преобразовывать подынтегральное выражение так, чтобы получился интеграл вида теоремы 2. Этот метод называется подведением под знак дифференциала. Подведением под знак дифференциала мы уже занимались, решая примеры на стр.3, 4.
Найти следующие интегралы:
Пример 1.
Найти
.
Решение. Вспоминаем, чтоd
,
следовательно, интеграл можно переписать
так
=
.
Здесь мы воспользовались формулойV.
таблицы 2, где u=
.
Пример 2.
Найти
;
Решение. Рассмотрим несколько вариантов
нахождения этого интеграла.
а) Заметим, что sinxcosxdx=sinxdsinx , cos2x=1-2sin2x, получим:
=
=
=
=
В обоих интегралах применялась формула 1. таблицы 2, где u=sinx.
б)
Теперь вспомним, что sinxcosx=
sin2x
и sin2xdx=-
dcos2x,
получим
=
cos22x
+C2.
в)
Но, так как sinxcosx=
sin2x,
получаем
=
=
=
=
сos4x+С3.
Получили различные первообразные.
F1=
,
F2=
cos22x
+C2,
F3=
.
Докажем, что они отличаются на постоянное
слагаемое. F2=
cos22x
+C2=
=
(1-sin22x)+C2=
sin22x+C2=F1+C2-
-
,
следовательно С1=С2
.F3=
=
(1-2sin22x)+C3=
sin22x+C3=F1+
C3
получили С1=C3
.
Справедливость
теоремы 1 подтверждена рассмотренным
примером. Можно сделать вывод и о том,
что путей нахождения интегралов много.
При нахождении интегралов открывается
поле для творческой деятельности, но
надо помнить, что всегда можно найти
наиболее короткий путь решения
поставленной задачи, а то, что он наиболее
короткий постигается методом сравнения.
Пример 3. Решим
без подробных пояснений. Найти
=
=
ln|1+x2|
+
arcctg2x
+C.
В первом интеграле u=1+x2
во втором u=arcctgx
и применялись формулы соответ-ственно
11. и
1.
таблицы 2.
Пример 4.
Найти
Найдёмd(xcosx)=(cosx-xsinx)dx,
следовательно имеем
=
=
-
(xcosx)-2+C=
=-
+C.
К последнему интегралу применили формулу
1. табл.2,
где u=xcosx
m=
-3. Далее решим примеры без словесных
комментариев.
Пример 5.
Найти
=
=arcsin(lnx)+C.
Пример 6.
Найти
=
=ln(arcsinx)+C.
Пример 7.
Найти
=-
+C.