6.3. Геометрический и механический смысл производной функции одной переменной

● Геометрический смысл производной функции одной переменной. Числовое значение производной функции в точке есть угловой коэффициент касательной, построенной к графику данной функции в данной точке с абсциссой . Следовательно, где α – угол наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс.

● Уравнение касательной к гра-фику функции в точке :

Уравнение нормали:

или

● Механический смысл производной.

Если – функция зависимости пути материальной точки от времени, то – скорость движения этой точки, а – ускорение движущейся точки в любой момент времени . Значит

Пример 1. Записать уравнение касательной к графику функции , которая параллельна прямой .

Решение. Угловой коэффициент касательной т. к. по условию касательная параллельна прямой С другой стороны, где Следовательно, Далее составим уравнение касательной считая При этом Подставляя найденные числовые значения , в уравнение касательной, получим:

или

Пример 2. Найти скорость движения точки, движущейся вдоль оси по закону в тот момент времени, когда ускорение движения равно нулю.

Решение. Ускорение скорость движения

Определяем По условию задачи следовательно, Далее находим скорость в момент времени

Итак, скорость равна в тот момент времени, когда ускорение движения равно нулю.

6.4. Частные производные функции двух переменных

Если дважды дифференцируемая функция по каждой переменной, то

;

; ; ;

При этом смешанные производные второго порядка равны между собой:

6.5. Исследование функций

6.5.1. Теоремы ролля, лагранжа, коши и формула тейлора

Т еорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале и если то в интервале найдется хотя бы одно значение , при котором (касательная к кривой в точке параллельна оси ).

Если в частности , , то теорема Роля означает, что между двумя корнями функции содержится хотя бы один корень ее производной.

Т еорема Лагранжа (о конечном при-ращении). Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то в этом интервале найдется хотя бы одно значение , при котором выполняется равенство

(касательная в точке параллельна хорде АВ).

Теорема Коши. Если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы в интервале , причем , то в этом интервале найдется хотя бы одно значение , при котором

где

Формула Тейлора. Функция , дифференцируемая раз в некотором интервале, содержащем точку а, может быть представлена в виде суммы многочлена n-й степени и остаточного члена следующим образом:

где , причем .

При получается формула Маклорена

.

6.5.2. Правило лопталя раскрытия неопределенностей

Пусть функции и дифференцируемы в -окрестности точки и . Если или т. е. частное представляет собой в точке неопределенность вида или , то при условии, что существует предел отношения производных.

Если частное в точке также есть неопределенность вида или и производные и удовлетворяют соответствующим условиям, то следует перейти к отношению вторых производных и т. д.