Студеникин - Технические средства судовождения

ВВЕДЕНИЕ К РАЗДЕЛУ

Выступая на заседании научной сессии Российской академии наук, посвящен- ной 85-летию академика РАН А. Ю. Ишлинского руководитель Центрального науч- но – исследовательского института “Электроприбор” профессор В. Г. Пешехонов сказал [22]: “Завершающийся ХХ век отмечен многими выдающимися

достижениями в области технических наук. Его по праву называют веком атомной физики, веком авиакосмической техники, веком информатики. Мне кажется, что не будет большим преувеличением назвать его и веком гироскопии, веком автономной навигации и ориентации”. Очевидно, что с этим трудно не согласиться.

Впервые потребность применения гироскопических приборов возникла в конце ХIX, начале ХХ веков на военных кораблях, имеющих механические движители и элементы конструкции, выполненные из ферромагнитных материалов, которые су- щественно искажали на судне магнитное поле Земли. В этих условиях работа маг- нитных компасов стала неудовлетворительной. Именно гирокомпас решил пробле- мы курсоуказания, а гировертикаль и гироскоп направления позволили существенно повысить точность стрельбы. В нашей стране развитие гироскопической техники началось в тридцатые годы и стало особенно интенсивным с конца пятидесятых го- дов. В настоящее время гироскопические системы являются основой всех систем управления, стабилизации и ориентации подвижных объектов.

Эти системы представляют собой сложные электромеханические или электрон- ные изделия, использующие последние достижения в области науки и технологии. Они постоянно и достаточно интенсивно совершенствуются, расширяются их функ- циональные возможности, улучшаются технические характеристики, упрощается

эксплуатация за счет высокого уровня автоматизации рутинных и вычислительных операций. В свою очередь, высокий уровень развития вычислительной техники по- зволил объединить различные по принципу действия источники навигационной ин- формации в единые интегрированные системы, обладающие еще более высокими техническими и эксплуатационными характеристиками.

3.2. Основные свойства классических гироскопов

Общее представление об основных свойствах гироскопов можно получить, используя теорему о кинетическом моменте. Эта теорема фактически является фор- мулировкой первого закона И. Ньютона для вращательного движения. Действитель- но, названный закон аналитически можно представить в следующем виде:

приложенная к телу. Физический смысл этого закона заключается в том, что изме- нение вектора скорости движущегося тела происходит только в том случае, если на него действует какая-либо приложенная извне сила.

Используя выражение (3.1) и аналогии между параметрами, характеризующи- ми поступательное и вращательное движение, запишем:

где I0 – момент инерции тела относительно оси вращения, Ω– угловая скорость вращения тела, М - вектор момента внешней силы, приложенный к телу. Равенство (3.2) представляет собой математическую формулировку теоремы о кинетическом моменте вращающегося тела. Если учесть, что

где Н – вектор кинетического момента этого тела, то выражение (3.2) можно пере- писать в виде:

Принимая во внимание, что & определяет скорость конца вектора кинетического

Н

момента, т.е. изменение этого вектора по модулю и направлению, можно утвер- ждать, что это изменение имеет место лишь в том случае, если на тело действует

ский момент гироскопа остается неизменным как по величине, так и по направле- нию.

Гироскоп, на ротор которого не действуют никакие моменты внешних сил, называют свободным. Учитывая это, можно сформулировать первое свойство гироскопов – свободный гироскоп сохраняет ось вращения своего ротора (главную ось) неизменно ориентированной в пространстве.Это свойство имеет большое практическое значение, так как из него вытекает возможность построения на борту подвижного объекта автономной ортогональной системы координат, не

вращающейся в пространстве или изменяющей свою ориентацию заранее заданным образом. Указанное обстоятельство дало мощный толчок для развития инерциаль- ных навигационных систем.

Второе свойство гироскопа определяет его поведение при воздействии постоянных моментов внешних сил [19,20,23,24]. Так, момент внешней силы, приложенный относительно главной оси гироскопа, изменяет скорость вращения его рото- ра и не сказывается на направлении главной оси.

Если на ротор гироскопа действует внешний момент относительно оси, не совпадающей с главной, то ротор начинает прецессировать таким обра- зом, чтобы кратчайшим путем совместить вектор своего кинетического мо- мента с вектором момента внешней силы.

Используя указанное правило легко найти направление прецессии оси гироскопа.

Следующее свойство определяет поведение гироскопа при действии на него им- пульса момента внешней силы (удара). Если считать, что этот момент приложен к гироскопу в течение короткого промежутка времени t , то, используя теорему о кинетическом моменте, можно записать:

где Н - изменение вектора кинетического момента гироскопа за время t дейст- вия момента М . Учитывая, что это время мало, даже при относительно больших

величинах внешних моментов изменение кинетического момента гироскопа будет оставаться незначительным. Отсюда можно сделать вывод, что действие на гиро-

скоп импульса момента силы не приводит к существенному изменению век- тора его кинетического момента.

3.3. Природа гироскопического момента

Рассматривая основные свойства гироскопа, мы заметили одну несколько не- ожиданную особенность его поведения. При действии момента внешней силы гиро- скоп не поворачивается в том направлении, в котором этот момент стремится его повернуть, а прецессирует вокруг оси, перпендикулярной приложенному моменту. Это свидетельствует о том, что по неизвестным пока причинам в рассматриваемых условиях возникает некоторый момент, обусловленный реакцией гироскопа, кото- рый уравновешивает момент внешней силы. Очевидно, что этот момент, названный гироскопическим моментом, по модулю равен приложенному извне моменту и направлен в противоположную сторону. Определим силы, порождающие указанный

момент.

носительно осей оу и oz равны нулю, они не могут создать интересующий нас гиро- скопический момент. Единственной силой, которая может это сделать, является си- ла кориолиса f3i . Величина указанной силы определяется следующим равенством:

где vi – линейная скорость выбранной нами точки.

Моменты Муi и Mzi этой силы относительно осей, оу и oz, соответственно, будут равны:

Принимая во внимание, что произведение ρimivi представляет собой момент коли- чества движения Нi i – ой точки относительно оси ох, равенства (3.7) можно пере- писать в следующем виде:

где Н – результирующий кинетический момент ротора. В силу периодичности функций sin2φi и cos2φi результирующий момент Mгz и составляющая

N

åHiωz cos2ϕi ,будут равны нулю.

1

В том случае, если момент внешней силы приложен к оси oz, прецессия гиро- скопа будет иметь место вокруг оси оу, и величина момента гироскопической реак- ции будет определяться следующим равенством:

Таким образом, при воздействии на гироскоп момента внешней силы в результате его прецессии возникают силы кориолиса, образующие момент гироскопической реакции, который уравновешивает приложенный извне мо- мент. Величина момента гироскопической реакции равна произведению ки- нетического момента гироскопа на угловую скорость его прецессии. Вектор гироскопического момента направлен перпендикулярно векторам Н и угло- вой скорости прецессии в ту сторону, откуда с его конца движение по крат-

чайшей траектории вектора Н к вектору скорости прецессии видно происхо- дящим против часовой стрелки.

3.4. Методы составления уравнений гироскопических приборов

Уравнения гироскопического прибора или системы являются приближенной математической моделью реального изделия, позволяющей без использования на- турного макетирования исследовать его основные свойства и получить количест- венные характеристики интересующих нас параметров. На практике обычно не уда- ется составить уравнения, в полной мере соответствующие свойствам изделия, и тем более провести их анализ в общем виде. Поэтому изначально составляют уравнения с учетом тех или иных упрощающих допущений, а затем уже приводят их к виду, доступному для анализа каким-либо выбранным способом.

При составлении уравнений нужно четко определить:

§задачу, которую предстоит решить;

§кинематическую схему рассматриваемого прибора, с учетом основных факторов,

щимся, в основном, для качественного анализа работы относительно простых гиро- скопических устройств, является способ Б. И. Кудревича. В его основу положен принцип Даламбера, который применительно к вращательному движению может быть сформулирован следующим образом: сумма моментов всех сил, приложен-

ных к вращающемуся телу, равна нулю. Таким образом, задача составления уравнений гироскопа сводится к тому, чтобы определить все существенные момен- ты, действующие на его ротор, и их сумму приравнять нулю.

Рассмотрим последовательность решения указанной задачи на примере состав- ления уравнения трехстепенного гироскопа. Прежде всего, выбираем базовую сис- тему координат ох0у0z0 (рис. 3.3), которая, имеет идеальную для решаемой задачи (данного типа прибора) ориентацию осей. Будем считать, что эта система вращается в инерциальном пространстве с некоторыми угловыми скоростями ωxo,ω yo и ωzo .

Также примем, что в начальный момент времени оси Резаля совпадали с осями ба- зовой системы координат. Затем под действием внешних моментов ротор гироскопа стал последовательно поворачиваться с ускорением α&&и угловой скоростью α& во-

круг оси oz0, а также с ускорением β&&и угловой скоростью β& вокруг оси оу. В ре- зультате в некоторый фиксированный момент времени оси охуz, связанные с рото- ром, окажутся повернутыми относительно базовых осей на углы а и β. В процессе указанных поворотов на гироскоп действуют (рис. 3.3):

§ моменты сил инерции Iэα&& и Iэβ&&, направленные противоположно ускорениям

α&& и β&&;

§моменты гироскопической реакции Hq и Нr , где q и r абсолютные угловые скорости вращения осей Резаля ;

§моменты Му и Мz внешних сил.

Имеется целый ряд менее значимых по величине моментов, которые опущены из рассмотрения, в силу того, что они не искажают качественной картины поведения гироскопа и не существенно влияют на количественные оценки, если речь не идет об очень точных (прецизионных) приборах. Суммируя указанные моменты отдельно по осям оу и оz и приравнивая полученные суммы нулю, найдем:

− Iэβ&& − Hr + M y = 0, (3.11)

− Iэα&&cos β + Hq + M z = 0.

Учитывая малость угла β перепишем уравнения (3.11) в следующем виде:

Iэβ&& + Hr = M y , (3.12)

Iэα&& − Hq = M z .

Подставляя в равенства (3.12) выражения для абсолютных угловых скоростей q и r, запишем уравнения движения рассматриваемого гироскопа в окончательном виде: