3.3. Нахождение нод через каноническое разложение чисел.

3.3.1. Теорема. Пусть a=… и b=… канонические разложения чисел a и b. Тогда (a, b)=….

Эта теорема даёт ещё один практический способ нахождения наибольшего общего делителя (a, b) двух чисел a и b, который заключается в следующем.

1. Найти каноническое представление чисел a и b.

2. Взять простые сомножители, которые входят в разложение обоих чисел

3. Возвести взятые простые сомножители в наименьшую из степеней, с которыми они входят в разложения a и b.

4. Из полученных степеней составить произведение, которое и будет (a, b).

3.3.2. Упражнение. Найти НОД чисел:

а) 308 и 264; б) 112 и 490; в) 420 и 252; г) 1512 и 1260;

д) чисел из упр. 2.1.4.

Решение. в) 1. Разложим числа 420 и 252 в произведение простых сомножителей: 420=2²357 и 252=2²3²7.

2. Берём простые сомножители, которые входят в разложение обоих чисел  2, 3 и 7.

3. Возводим взятые простые сомножители в наименьшую из степеней, с которыми они входят в разложения 420 и 252: 2², 3¹, 7¹.

4. Из полученных степеней составяем произведение, которое и будет (420, 252): 2²37.

Ответ: (420, 252)=2²37.

§4. Сравнения по модулю числа.

4.1. Понятие сравнения. Пусть m  целое число, большее 1.

4.1.1 Определение. Говорят, что целые числа a и b сравнимы по модулю m, если они при делении на m дают одинаковые остатки.

4.1.2. Определение. Говорят, что целые числа a и b сравнимы по модулю m, если m делит разность ab.

4.1.3. Определение. Говорят, что целые числа a и b сравнимы по модулю m, если существует такое целое число c, что a=b+cm.

Тот факт, что a и b сравнимы по модулю m, обозначают через ab(modm) (эту запись называют сравнением).

Например, 125(mod7), 487(mod11), 270(mod9) в смысле всех трёх определений.

Действительно, 12 и 5 при делении на 7 дают один остаток — 5, 48 и 7 при делении на 11 дают остаток 4, 27 и 0 при делении на 9 дают остаток 0. Таким образом, эти сравнения имеют место в смысле первого определения.

Покажем, что они имеют место и в смысле второго определения. Имеем: 7 делит 125, 11 делит 48(7), 9 делит 270.

Ясно, что из справедливости в смысле второго определения и определения делимости чисел легко получить эти сравнения в смысле третьего определения.

4.1.4. Теорема. Определения 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3 равносильны.

Из равносильности определений сравнимости по модулю вытекает, что в качестве определения можно брать любую из них.

4.1.5. Упражнение. Доказать равносильность определений 4.1.1  4.1.3.

Решение. Достаточно доказать цепочку следований 4.1.1  4.1.2  4.1.3  4.1.1. Докажем, например, что 4.1.1  4.1.2. Пусть ab(modm) в смысле определения 4.1.1. Тогда, разделив a и b с остатком на m, получим a=mq+r, b=mp+r, r  остаток от деления a и b на m (они по условию одинаковы). Вычтем почленно из первого равенства второе: ab=m(qp). Это означает, что m делит разность ab, и из определения 4.1.1 вытекает определение 4.1.2. Аналогично доказываются остальные следования (докажите!).

4.2. Простейшие свойства сравнений.

4.2.1. Теорема. Справедливы следующие простейшие свойства сравнимости чисел по модулю:

1^о. Отношение сравнимости чисел по модулю является отношением эквиваленции.

2^о. Если ab(modm) и сd(modm), то:

а) a+cb+d(modm) (сравнения можно почленно складывать);

б) acbd(modm) (сравнения можно почленно перемножать).

3^о. Если ab(modm), то для любого натурального n aⁿbⁿ(modm) (обе части сравнения можно возводить в любую натуральную степень).

4^о. Если ab(modm), то a+kb+k(modm) (к обеим частям сравнения можно прибавлять любое целое число). В частности, из любой части сравнения можно переносить в другую часть слагаемые с противоположным знаком: a+cb(modm)  abc(modm) и ab+c(modm)  acb(modm).

5^о. Если ab(modm), то множество общих делителей чисел a и m совпадает с множеством общих делителей чисел b и m. В частности, (a, m)=(b, m).

4.2.2. Упражнение. Доказать свойства 1^о  4^о сравнений.

Решение. Докажем, например, свойство 2. Пусть ab(modm) и сd(modm). Это означает, что a=b+qm и с=d+pm. Складывая и умножая эти равенства почленно, получаем a+с=(b+d)+(q+p)m и aс=bd+(dq+bp+pqm)m. Первое означает, что a+cb+d(modm), а второе  acbd(modm).

4.2.3. Упражнение. Найти остаток от деления:

а) 13³⁴² на 12; б) 13³⁴² на 14; в) 14²⁰⁰³+16¹⁹⁹⁹ на 15;

г) 47⁴⁴⁹⁹+16¹⁹⁹⁹ на 23; д) 2¹³⁴²⁸ на 31; е) 3⁴²⁸⁵ на 13;

ж) 12⁶⁰²+50524⁴2549⁵³² на 12;

з) 29²⁹²⁹34³⁴³⁴+29416²³¹ на 32.

Решение. а) Так как 131(mod 12), то по свойству 3^о получаем 13³⁴²1³⁴²(mod 12), то есть 13³⁴²1(mod 12). Но 1  остаток от деления 13 на 12. Поэтому остатком от деления 13³⁴² на 12 будет являться 1. Решение можно оформить короче:

13³⁴²1³⁴²1(mod 12).

в) Указание. Воспользоваться тем, что 141(mod 15), 161(mod 15) и свойствами 3^о и 2^о а).

д) Указание. Воспользоваться тем, что 2⁵=32.

Ответ: а) 1.

4.2.4. Упражнение. Найти последнюю цифру числа:

а) 13³⁴²; б) 13³⁴²; в) 14²⁰⁰³+16¹⁹⁹⁹;

г) 49⁴⁴⁹⁹; д) 2¹³⁴²⁸; е) 3⁴²⁸⁵;

ж) 12⁶⁰²+50524⁴2549⁵³²; з) 29²⁹²⁹34³⁴³⁴+29416²³¹.

Указание. Последняя цифра числа  это остаток от деления числа на 10.

С помощью сравнений намного облегчается решение многих задач на деление.

4.2.5. Упражнение. Доказать, что при любом натуральном n:

а) ((13a+5)²ⁿ⁺¹+(26b+8)²ⁿ⁺¹)  13 (a, bZ);

б) ((11a4)⁵ⁿ⁺²+(33b+2)⁵ⁿ⁺²+(9)ⁿ)  11 (a, bZ);

в) (10ⁿ+17)  3;

г) (3⁴ⁿ⁺³17)  10.

4.2.6. Упражнение. Доказать, что:

а) n(n+1) кратно 2;

б) n²+3n кратно 2;

в) n(3n+1) кратно 2;

г) n(2n1)(2n+1) кратно 3;

д) n(2n²+1) кратно 3;

е) n³+5n кратно 3;

ж) n(n+1)(2n+1) кратно 6;

з) n³n кратно n³+5n;

и) n³+5n кратно 6;

к) n³+3n²+2n кратно 6;

л) n(n²+6n+5) кратно 6.

Решение. а) Имеем либо n0(mod2), либо n1(mod2). В первом случае имеем n0(mod2) и n+11(mod2) (к обеим частям сравнения n0(mod2) прибавили 1). Тогда по свойству 2.б) n(n+1)0(mod2), что означает n(n+1) кратно 2. Во втором случае — n1(mod2) и n+12(mod2) (к обеим частям сравнения n1(mod2) прибавили 1). Снова, по свойству 2.б) n(n+1)20(mod2) и n(n+1) кратно 2.

г) Так как 21(mod3), то n(2n1)(2n+1)n(n1)(n+1) n(n+1)(n1)0(mod3).

4.3. Классы вычетов по модулю числа. Согласно свойству 1^о, множество целых чисел Z разбивается на m классов эквиваленции, каждый из которых состоит из тех и только тех чисел, которые сравнимы между собой. Класс, состоящий из чисел, сравнимых по модулю m с числом a обозначается через . Таким образом,b ab(modm).

4.3.1. Определение. Множество классов по модулю m называется классом вычетов по модулю m. Множество классов по модулю m обозначается через Z_m. Таким образом, Z_m={,, …,}. Еслиb, тоb называется представителем (или вычетом) класса .

4.3.2. Определение. Если (a, m)=1, то класс называетсяклассом, взаимно простым с модулем.

Тот факт, что класс взаимно прост с модулемm, обозначается через (,m)=1.

Данное определение корректно, так как если (,m)=1 и b, то ab(modm) и, по свойству 5^o сравнений имеем (a, m)=(b, m)=1, то есть то, что (,m)=1 не зависит от выбора представителя класса .

Множество классов, взаимно простых с модулем m, будем обозначать через Z.

18