2.3. Взаимно простые числа.

2.3.1. Определение. Если (a, b)=1, то числа a и b называются взаимно простыми. Вообще, пусть дана совокупность чисел a₁, a₂, …, a_k. Они называются взаимно простыми (в совокупности), если (a₁, a₂, …, a_k)=1. Если для любых ij (i, j=1, 2, … k) имеет место (a_i, a_j)=1, то числа a₁, a₂, …, a_k называются попарно взаимно простыми.

2.3.2. Теорема. Справедливы следующие свойства взаимно простых чисел:

1^о. Если a и b  взаимно простые, то существуют такие целые числа u и v, что

ua+vb=1. (2.5)

2^о. Если a и b  взаимно простые, то для любого целого c имеет место равенство (ac, b)=(с, b).

3^о. Если a | bc, a и b  взаимно простые числа, то a | c.

4^о. Если a | c и b | c, (a, b)=1, то ab | c.

5^о. Если каждое из чисел a₁, a₂, …, a_k взаимно просто с каждым из чисел b₁, b₂, …, b_l, то произведение a₁a₂…a_k взаимно просто с произведением b₁b₂…b_l.

6^о. Числа 1, 2, …, a1 взаимно просты с a тогда и только тогда, когда a  простое.

§3. Простые числа. Основная теорема арифметики.

На какие числа делится 6? На 1, 2, и 3. А на какие делится 5? На 1 и 5. На какие делятся соответственно 12 и 13? 12 — на 1, 2, 3, 4, 6 и 12, а 13 — на 1 и 13. Как видим, некоторые числа могут делиться только на 1 и само себя, а некоторые — кроме 1 и самого себя, ещё на другие.

3.1. Простые числа.

3.1.1. Определение. Если число, не равное 1, делится только на единицу и на само себя, то оно называется простым. Если кроме 1 и самого себя у числа есть другие делители, то оно называется составным. Число 1 считается ни простым, ни составным.

В наших примерах простыми являются 5 и 13, а 6 и 12 — составные.

Простыми являются числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т.д. Этот ряд можно продолжить. Возникает вопрос: можно ли этот ряд простых чисел продолжить до бесконечности, или существует такое простое число p, больше которого простых чисел не существует?

Ответ на этот вопрос даёт

3.1.2. Теорема. Простых чисел бесконечно много.

3.1.3. Теорема. Справедливы следующие простейшие свойства простых чисел:

1^о. Наименьший отличный от 1 положительный делитель целого числа a является простым. В частности, любое целое число делится на некоторое простое число.

2^о. Для любого числа a и простого p либо p | a, либо (a, p)=1.

3^о. Если p | a₁a₂…a_k, где p  простое число, то p делит один из сомножителей числа a₁a₂…a_k.

3.2. Основная теорема арифметики. Рассматривая 6 как произведение, имеем 6=23=32, то есть 6 можно представить как произведение простых чисел. Далее, 12=43=26. В свою очередь, 4 и 6 можно тоже представить в виде произведения 4=22, 6=32. Поэтому 12=223=232, то есть 12 тоже представляется в виде произведения простых чисел. Рассмотрим ещё пример:

720=7210=23625=24925=2223325,

то есть, постепенно разлагая делители числа 720, мы пришли к тому, что представили это число в виде произведения простых сомножителей. Ясно, что это произведение можем записать в другом виде

720=2532232.

В любом случае в разложении числа 720 будут участвовать 5 двоек, 2 тройки и 1 пятёрка. Это же можно сказать про любое целое положительное число.

Таким образом, простые числа являются своеобразными “кирпичиками”, из которых состоят числа.

Сформулируем сказанное в виде теоремы:

3.2.1. Теорема. Любое целое положительное число можно представить в виде произведения простых чисел. Если имеются два различных таких представления, то они могут отличаться только порядком следования сомножителей, но не количеством тех или иных сомножителей.

Эта теорема носит название основной теоремы арифметики.

Пусть n=q₁q₂…q_t  разложение натурального числа n на простые множители. В этом разложении q₁ может участвовать несколько раз. Если q₁=p₁ в этом разложении встречается ₁ раз, то, собрав все эти сомножители вместе и обозначив их произведение, как обычно, через , получим

n=r₁r₂…r_s, (3.2.1)

где r₁r₂…r_s  произведение оставшихся простых сомножителей, отличных от p₁. Снова простой сомножитель r₁=p₂ в (3.2.1) может участвовать несколько, скажем, ₂, раз. Собрав эти сомножители вместе и обозначив полученное произведение через , имеемn=s₁s₂…s_l, где s₁s₂…s_l  произведение остальных простых сомножителей, отличных от p₁ и p₂. Далее, собрав простые сомножители s₁=p₃ и обозначив их произведение через и, продолжая дальше этот процесс, получим следующее разложение числаn:

n=…, (3.2.2)

где p₁, p₂, …, p_k  попарно различные простые числа.

3.2.2. Определение.Представление натурального числаnв виде (3.2.2), гдеp₁,p₂, …,p_kпопарно различные простые числа, называетсяканоническим разложениемчислаn.

Очевидно, если, n=… другое каноническое разложение, то k=l и эти разложения отличаются только порядком следования сомножителей вида (соответственно). Если же в (3.2.2) потребовать, чтобыp₁, p₂, …, p_k располагались в порядке возрастания (или убывания), то разложение (3.2.2) будет однозначным.

Впредь под каноническим разложением будем подразумевать такое разложение (3.2.2), в котором p₁, p₂, …, p_k располагаются по возрастанию.

Практическое разложение в произведение простых чисел заключается в следующем. Пусть требуется разложить в произведение простых сомножителей число 3603600. Это число делится на 2: 3603600=21801800. Снова 1801800 делится на 2: 1801800=2900900. Продолжая делить на 2, получаем 3603600=2⁴225225. Теперь 225225 не делится на 2, но делится на 3 (так как 2+2+5+2+2+5=18 делится на 3). Поэтому делим 225225 на 3: 225225=375075. Так как 7+5+0+7+5=24 делится на 3, то 75075 делится на 3: 75075=325025. Теперь 25025 не делится на 3 (2+5+0+2+5 не делится на 3), но делится на 5 (так как оканчивается на 5): 25025=55005. Снова 5005 делится на 5: 5005=51001. Число 1001 не делится на 5, но делится на 7: 1001=7143. Число 143, как легко видеть, не делится на 7, но делится на 11: 143=1113. В итоге получаем

3603600=2⁴3²5²71113.

Процесс постепенного разложения числа на простые множители оформляется в виде столбца

3603600	2
1801800	2
900900	2
450450	2
225225	3
75075	3
25025	5
5005	5
1001	7
143	11
13	13
1

3.2.3. Упражнение. Найти каноническое разложение чисел 1496495, 90441900, 560439000.

3.2.4. Теорема. Пусть a=… каноническое разложение числа a. Тогда b | a тогда и только тогда, когда b имеет каноническое разложение b=… и 0_i_i для всех i=1, 2, …k.

3.2.5. Упражнение. Найти все делители чисел 360, 1350, 2700.

Решение. Так как 360=2³3²5, по теореме 3.2.4 все делители числа 360 имеют вид 2^3^5^, где 04, 02, 01. Перебираем все числа такого вида: 2⁰3⁰5⁰=1, 2⁰3⁰5¹=5, 2⁰3¹5⁰=3, 2⁰3¹5¹=15, 2⁰3²5⁰=9, 2⁰3²5¹=45, 2¹3⁰5⁰=2, 2¹3⁰5¹=10, 2¹3¹5⁰=6, 2¹3¹5¹=30, 2¹3²5⁰=18, 2¹3²5¹=90, 2²3⁰5⁰=4, 2²3⁰5¹=20, 2²3¹5⁰=12, 2²3¹5¹=60, 2²3²5⁰=36, 2²3²5¹=180, 2³3⁰5⁰=8, 2³3⁰5¹=40, 2³3¹5⁰=24, 2³3¹5¹=120, 2³3²5⁰=72, 2³3²5¹=360.

Ответ: Множество делителей числа 360  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360}.