§2. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа.

2.1. Наибольший общий делитель.

2.1.1. Определение. Число a называется общим делителем чисел a₁, a₂, ..., a_k, если a делит каждое из них. Наибольший из общих делителей чисел называется их наибольшим общим делителем.

Наибольший общий делитель чисел a₁, a₂, ..., a_k обозначается через (a₁, a₂, ..., a_k) или НОД(a₁, a₂, ..., a_k).

Так 1 делит каждое из чисел a₁, a₂, ..., a_k и из a | a_i следует, что a|a_i| либо a_i=0, то (a₁, a₂, ..., a_k) существует.

2.1.2. Упражнение. Найти наибольший общий делитель чисел:

а) 60 и 100;

б) 60, 100 и 125;

в) 24, 60, 100 и 125.

Решение. б) Положительные общие делители чисел 60, 100 и 125  это 1 и 5. Поэтому (60, 100, 125)=5.

2.1.3. Теорема. Справедливы следующие свойства (a, b):

1^o. Если b | a, то множество общих делителей чисел a и b совпадает с множеством делителей b. В частности, (a, b)=b.

2^o. Если a=bq+c, то множество общих делителей чисел a и b совпадает с множеством общих делителей чисел b и c. В частности, (a, b)=(b, c).

3^o. Пусть дана последовательность равенств, которые получаются при делении с остатком:

a=bq₁+r₁, 0r₁<|b|,

b=r₁q₂+r₂, 0r₂<r₁,

r₁=r₂q₃+r₃, 0r₃<r₂, (2.1.1)

…………………..

r_n2=r_n1q_n+r_n, 0r_n<r_n1,

r_n1=r_nq_n+1.

Тогда (a, b)=r_n.

4^o. (a,b)делится на любой общий делитель чиселaиbи,обратно,любой общий делитель числа(a,b)является общим делителем чиселaиb.

5^o. (am,bm)=(a,b)m.В частности,=1.

Равенства (2.1.1) дают практический способ нахождения (a,b). Этот способ называетсяалгоритмом Евклида.

2.1.4. Упражнение. Используя алгоритм Евклида, найти наибольший общий делитель чисел:

а) 391 и 713;

б) 1641 и 1457;

в) 3731 и 4633;

г) 6188 и 4709;

д) 9817 и 10561.

Решение. в) Разделим с остатком 4633 на 3731:

_4633		3731
3731		1
902

то есть 4633=37311+902.

Теперь с остатком разделим 3731 на 902:

_3731		902
3608		4
123

то есть 3731=9024+123.

Делим 902 на 123 с остатком:

_902		123
861		7
41

то есть 902=1237+41.

Наконец,

_123		41
123		3
0

Таким образом, НОД(4633, 3731)=41.

2.1.5. Упражнение. Найти наибольший общий делитель чисел (nN):

а) 2n+13 и n+7;

б) 27n+4 и 18n+3.

Решение. а) Выпишем равенства деления с остатком:

2n+13=(n+7)+(n+6) (n+6 — остаток от деления 2n+13 на n+7),

n+7=(n+6)+1.

Очевидно, 1 — последний ненулевой остаток. Следовательно, НОД(2n+13, n+7)=1.

2.2. Линейное представление нод.

2.2.1. Теорема. Пусть d=(a, b). Существуют такие целые числа u и v, что

ua+vb=d. (2.2.1)

2.2.2. Упражнение. Найти линейное представление НОД чисел упражнения 2.1.4.

Решение. в) Выпишем равенства (2.1.1) алгоритма Евклида для чисел 3731 и 4633:

4633=37311+902,

3731=9024+123,

902=1237+41,

Из последнего равенства выражаем 41 через 123 и 902:

41=9021237. (2.2.2)

Из предпоследнего равенства выражаем 123 через 902 и 3731 и подставляем это выражение в (2.2.2): 41=902(37319024)7=37317+90229, то есть

41=37317+90229. (2.2.3)

Наконец, выражая 902 через 3731 и 4633, и, подставляя в (2.2.3), получаем 41=37317+(46333731)29=463329373136, то есть

41=294633363731.

Ответ: в) 41=294633363731.