Глава I. Элементы элементарной теории чисел

В школьном курсе математики уже сталкиваются с понятиями «делитель», «кратное», «частное», «простое число» и т.д. Эти понятия связаны с целыми числами, то есть с числами вида 0, ±1, ±2, ±3, … . Наука, изучающая свойства делимости целых чисел, простые числа (и многое другое, связанное с целыми числами), называется теорией чисел. В этой главе мы рассмотрим некоторые первоначальные понятия и факты этой теории, необходимые при изучении дискретной математики. Теория чисел сама по себе является разделом дискретной математики. Этот факт уже оправдывает её рассмотрение при изучении этой дисциплины. Стоит также упомянуть то обстоятельство, что современная вычислительная техника вообще не обходится без теории чисел. Например, современная криптография (связанная с защитой информации на компьютерах) практически полностью базируется на теории чисел.

Всюду ниже (если особо не оговорено), под понятием «число» будет подразумеваться целое число.

§1. Делимость чисел. Деление с остатком.

1.1. Делимость чисел. Почему мы говорим, что число 48 делится на 6, а на 7 не делится? Потому, что при делении 48 на 6 получается целое число 8 (48:6=8), а при делении на 7 получается дробное, нецелое (48:7=6,85714…). Другими словами, для 48 и 6 существует такое целое число k, а именно  8, что 48=6k, а для 48 и 7 не существует такого целого числа.

1.1.1. Определение. Говорят, что число a делится на число b, если существует такое целое число k, что a=bk. При этом a называется кратным числа b, b — делителем числа a, k — частным от деления a на b.

Тот факт, что a делится на b записывается так: a  b.

Если a делится на b, то говорят также, что b делит a и пишут b | a. Таким образом, мы можем дать следующее

1.1.1'. Определение. Говорят, что число b делит число a, если существует такое (целое) число k, что a=bk.

Другими словами, a делится на b или, что то же самое, b делит a, если a можно представить в виде произведения a=bk, где k — некоторое целое число.

1.1.2. Теорема. Справедливы следующие свойства делимости чисел:

1^о. Для любого числа a 1| a и a | a.

2^o. a | b и b | a тогда и только тогда, когда a=b.

3^o. Если a | b и b | c, то a | c.

4^o. Если a | b, то для любого целого c a | cb .

5^o. Если a | b₁, a | b₂, …, a | b_s, то для любых целых k₁, k₂, …, k_s и любого натурального s a | k₁b₁+k₂b₂+…+ k_sb_s

6^o. Если в равенстве

a₁+a₂+…+a_s=b₁+b₂+…+b_t

известно,что все слагаемые,кроме,быть может,какого-то одного,делятся наa,то и это слагаемое делится наa.

7^o. Если a | b, то либо b=0, либо |b||a|.

1.1.3. Замечание. Ясно, что делимость является отношением между целыми числами. При этом свойство a | a (свойство 1^о) делимости означает, что это отношение  рефлексивно, свойство 2^о антисимметрично на подмножествах целых чисел одного и того же знака, а свойство 3^о  отношение транзитивно.

1.1.4. Упражнение. Доказать свойства отношения делимости.

Решение. Докажем, например, свойства 1^о, 3^о и 5^о.

1. Так как a=a1, то 1 | a и a | a.

3. Пусть a| bиb| c. Это означает, что существуют такиеkиl, чтоb=akиc=bl. Подставив в последнее равенство предыдущее, получаемc=bl=(ak)l=a(kl). Так какklцелое, тоc=a(kl) означает, чтоa| c.

5. Докажем сначала частный случай этого свойства: еслиa| b₁иa| b₂,тоa|b₁+b₂. Еслиa| b₁иa| b₂, то для некоторыхc₁иc₂имеемb₁=ac₁иb₂=ac₂иb₁+b₂=ac₁+ac₂=a(c₁+c₂), то естьa |b₁+b₂.

Далее рассуждаем индукцией по s. При s=1 справедливость свойства вытекает из свойства 4^о. Предположим, свойство доказано при s=l>1. Тогда при s=l+1 имеем k₁b₁+k₂b₂+…+k_lb_l+k_l+1b_l+1=(k₁b₁+k₂b₂+…+k_lb_l)+k_l+1b_l+1. Так как по предположению индукции k₁b₁+k₂b₂+…+k_lb_l, а также по свойству 4^o k_l+1b_l+1 делятся на a, то их сумма тоже делится на a, то есть a | k₁b₁+k₂b₂+…+k_lb_l+k_l+1b_l+1. Из принципа математической индукции вытекает, что a | k₁b₁+k₂b₂+…+ k_sb_s для любого натурального s.

1.1.5. Упражнение. а) Доказать, что 3⁵6 делится на 18.

б) Делится ли 3⁵6 на 7?

в) Делится ли 100 на 2? на 3? на 5? на 10? на 15? на 20? Почему? В каждом случае делимости указать делимое, делитель, частное.

г) Делится ли 3⁵6 на 2? на 3? на 4? на 5? Почему? В каждом случае делимости указать делимое, делитель, частное.

Решение. б) Не делится, так как нельзя представить 3⁵6 в виде произведения k7.

1.1.6. Упражнение. Доказать:

а) сумма 3¹⁵²+3¹⁵³+3¹⁵⁴ делится на 13;

б) разность 2⁸⁰4³⁸ делится на 15;

в) сумма 3⁷⁰+9³³+27²³ делится на 109;

г) 6¹⁴+36⁸ делится на 37;

д) 3¹²9⁵+27³ делится на 25;

е) 4¹²2²⁰+8⁶ делится на 61.

Решение. а) Имеем 3¹⁵²+3¹⁵³+3¹⁵⁴=3¹⁵²(1+3+3²)=3¹⁵²13. Поэтому сумма 3¹⁵²+3¹⁵³+3¹⁵⁴ делится на 13.

б) Указание: Представить 4³⁸ в виде 2⁷⁶.

1.1.7. Упражнение. Доказать, что если число a делится на 24, то оно делится на 2, на 4, на 8, на 12.

Решение. Так как a делится на 24, 24 делится на 2, то по свойству 3^o 24 делится на 2.

1.1.8. Упражнение. Доказать, что

а) 3⁵⁰6+2⁵⁰9 делится на 18;

б) 7⁸⁰8³⁰+56 делится на 28;

в) 33¹⁰+3⁵⁰11 делится на 11;

Решение. а) Так как 3⁵⁰6=3⁴⁹(36)=3⁴⁹18 и 2⁵⁰9=2⁴⁹(29)=2⁴⁹18, то каждое слагаемое данной суммы делится на 18. По свойству 5^о вся сумма делится на 18.

1.1.9. Упражнение. Для числа а известно, что а+45 делится на 15. Делится ли а на 15? а45 на 15?

Указание. Обозначить а+45 через b и применить свойство 6^о.

1.1.10. Упражнение. Какие из следующих утверждений верны:

а) Если одно из слагаемых делится на 20, а другое нет, то сумма делится на 20;

б) если каждое из слагаемых не делится на 15, то и сумма их не делится на 15?

1.1.11. Упражнение. Доказать, что

а) 1111⁴⁴⁴⁴+4444¹¹¹¹ делится на 11;

б) 333⁵⁵⁵+555³³³ делится на 37.

Решение. а) Имеем

1111⁴⁴⁴⁴+4444¹¹¹¹=1111(1111⁴⁴⁴³+44444¹¹¹⁰).

Так как 1111 делится на 11, то данное выражение делится на 11 (по свойству 5^о).

1.2. Деление с остатком. Как мы уже отметили, 48 не делится на 7, так как не существует целого числа c такого, что 48=7c. Но существуют такие q и r, что 48=7q+r, где 0r<7. Именно, q=6, r=6: 48=76+6.

1.2.1. Теорема. Для любых целых чисел a и b, где b 0, существуют однозначно определённые целые числа q и r такие, что

a=bq+r, (1.2.1)

причём 0r<|b|.

1.2.2. Определение. В представлении (1.2.1) число q называется частным или неполным частным от деления числа a на число b, а r  остатком от деления числа a на число b.

1.2.3. Упражнение. Найти частное и остаток от деления

а) 68 на 9;

б) 7 на 3;

в) 334 на 8;

г) 443 на 10.

Решение. б) 7=33+2. Поэтому q=3 и r=2.

1.2.4. Упражнение Какие из следующих утверждений верны:

а) Если a при делении на 8 даёт остаток 3, то при делении a на 4 остаток также равен 3.

б) Если a при делении на 4 даёт остаток 3, то при делении a на 8 остаток также равен 3.

в) Если a при делении на 15 даёт остаток 7, то при делении a на 5 остаток не равен 3.

г) Если a при делении на 15 даёт остаток 3, то при делении a на 9 остаток не равен 6.

1.2.5. Упражнение. Доказать, что произведение любых двух последовательных чисел делится на 2.

Решение. Пусть n и n+1 — последовательные числа. Если n — чётно, то n=2k и тогда n(n+1)=2k(2k+1) делится на 2. Если n — нечётно, то есть не делится на 2, то при делении n на 2 оно даёт остаток 1: n=2k+1. Тогда n+1=2k+2=2(k+1) и n(n+1)=(2k+1)2(k+1)=2(2k+1)(k+1) — делится на 2.

1.2.6. Упражнение. Доказать, что одно из любых последовательных 3 чисел делится на 3.

1.2.7. Упражнение. Доказать, что при любых целых a и b:

а) одно из чисел a, b, ab, a+b делится на 3;

б) одно из чисел a, b, ab, a+b, 2ab, 2a+b делится на 5.

Решение. а) Имеем следующие возможности: a=3q, b=2p, a=3q+1, b=2p+1, a=3q+2, b=2p+2. Если a=3q или b=2p, то доказывать нечего. Остаётся рассмотреть случаи, когда при делении на 3 a и b дают неравные нулю остатки. Эти остатки могут совпадать и не совпадать. Если они совпадают, то ab=3(qp) делится на 3, а если они не совпадают, то один остаток равен 1, а другой — двум и тогда a+b=3q+3p+3=3(q+p+1) делится на 3.

1.2.8. Упражнение. Доказать, что:

а) если a не делится на 3, то a²1 делится на 3;

б) если a не делится на 5, то a⁴1 делится на 5;

в) если a не делится на 7, то a⁶1 делится на 7.