Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский Национальный Университет им. В. Н. Каразина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

zadachi_TFKP

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2016

Размер:

634.19 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

Практическое занятие 12.

(x 1)eix

e ixdx

[28.05 (1,6,8), 28.07 (1,5)]. Вычислить интегралы:

;

б) R1 x4 + 8x2 + 16

;

а) R1 x2 2x + 2

cos x

1 (x + 1) sin 2x

1 (x 1) cos 2x

в) R1

dx; г) R1

dx; д) R1

dx.

(x2 + 2ix 2)2

x2 + 2x + 2

x2 4x + 5

[28.09 (1,2)]. Вычислить интегралы в смысле главного значения:

1 ei x

а) v:p: R1

; a > 0; 1 < < 1;

б) v:p: R1

dx; > 0; < 0.

(x2 + a2)(x )

Домашнее задание 12.

а) R1 x2 2x + 5

; б) 1 Ri1 z2 + 1

;

[28.05 (5,9), 28.07 (3,7,12)]. Вычислить интегралы:

(x + 1)e 3ix

1+i1

etzdz

; t > 0

в)

1 (x

+ 5x) sin x

dx;

г)

x cos x

dx;

д) 1

cos ax

dx; a > 0; Re b > 0.

x4 + 10x2 + 9

2x + 10

(x2 + b2)2

[28.09 (5)]. Вычислить интеграл в смысле главного значения: v:p:

1 1

cos x

dx;

> 0.

Практическое занятие 13.

1 e xdx

85 [28.19 (1), 28.22 (1,5), 28.25 (2), 28.29 (3,15)]. Вычислить интегралы: а) 1 ex + 1; 0 < Re < 1;

1	dx		1	cos(ln x)
R			R
б) 0	(x + 1)p	x	; в) 0	x2 + 1	dx; г)

R2 (x 1)(2 x)

1x + 2

	1	ln xdx			1 ln2 xdx
	R				R
dx; д)	0	(x2 + 1)p	x	; е)	0	x2 + a2	; Re a > 0.

Домашнее задание 13.

x 1dx

86 [28.22 (9), 28.25 (4,13), 28.29 (2,12,13)]. Вычислить интегралы:

а)

; 0 < Re < 3;

(x + 1)(x + 2)(x + 3)

2 5

x 1Rln x

dx; a > 0; 0 < Re < 1

1 x2

ln xdx

x)3dx

v:p:

б)

; д)

x2 + 1

; в)

; г)

p3 x(x + 1)2

x a

R p

1 ln xdx

е)

; Re a > 0.

x + a

Ответы

81. а) ie 1+i;

б) 3e 2=32;

г) e 2 cos 2;

д) e 2(cos 4 sin 4).

в)

(sin 1 cos 1);

82. а)

;

б) i; i.

2 + a2

83. а) (1 i)e 3i 6;

б) 2i sin t;

в)

(e 1 + e 3);

г) e 3

cos 1 sin 1 ;

д)

(ab + 1)e ab.

4b3

84. =2.

85. а)

sin

;

б) ;

в)

2 ch(=2)

; г)

3);

д)

2=4;

е)

(ln

a +

=4).

a ; е)

86. а) 2 sin (1 2 +3 1);

б) (p2 1);

в) 25 sin(2=5) ;

г) 2

;

д) a 1 ctg a ln a + sin2

Занятие 14. Контрольная работа по теме ¾Теория вычетов¿ (занятия 10–13)

ln a .

IX. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

Преобразованием Лапласа функции действительной переменной f(t) называется функция F (p) комплексной переменной

p = u + iv, такая что:

F (p) = e ptf(t)dt:

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного F (p) называется функция f(t) действительной переменной, такая что:

	+i1
	Z	e		F (p)dp =		p=pk e		F (p) (Im pk < );
2 i					k
f(t) = 1	i1		pt		X	res	pt

где – некоторое вещественное число (выбирается произвольно в пределах, определяемых условием сходимости интегралов на бесконечности в прямых преобразованиях Лапласа для каждой из функций).

Для функций, связанных преобразованием Лапласа принято обозначение: f(t) : F (p), где f(t) – оригинал, F (p) – изображение.

При решении уравнений обычно производится преобразование Лапласа над всем уравнением, после чего вычисляется образ

F (p), из которого находится решение f(t). При этом существенно используются формулы:

(0; x)

t)'(t)dt

K(p) (p)

k(x

изображение интегралов с пределами

и ядром типа свёртки:

R01

;

изображение интегралов с пределами (x; 1) и ядром типа свёртки:

k(x t)'(t)dt : K( p) (p), K( p) =

eptk( t)dt;

n 1

n 2

(n 1)

изображение производной n-ого порядка:

(n)

(x) : p

(p) p

(0)

: : : '

(0);

'(0) p

Практическое занятие 15.

87 [59,60,62,87,891]. Решить следующие интегральные уравнения с ядром типа свёртки:

		x						x			x
а) '(x) = ex ex t'(t)dt;							б) '(x) = x ex t'(t)dt;				в) '(x) = x (x t)'(t)dt;
		R	1					R	1		R
	0		ex t'(t)dt;					0			0
г) '(x) = e x +			ex t'(t)dt;				д) '(x) = cos x +			ex t'(t)dt.
			R						R
			x						x
		88 [80,82]. Решить следующие интегро-дифференциальные уравнения с заданными начальными условиями:
		x
а) '00(x) + e2(x t)'0(t)dt = e2x; '(0) = 0; '0(0) = 1;
		R			x				x
	0				R		cos(x t)'00(t)dt + 2 sin(x t)'0(t)dt = cos x; '(0) = '0(0) = 0.
б) '00(x) 2'0(x) + '(x) + 2
									R
					0				0
		Домашнее задание 15.
		89 [61,65,86,88]. Решить следующие интегральные уравнения с ядром типа свёртки:
			x					x
	'(x) = e2x +		et x'(t)dt					'(x) = x +	sin(x t)'(t)dt
а)		R1		;			б)	R1			;
	0							0	ex t	'(t)dt.
в) '(x) = e x +			'(t)dt;			г) '(x) = cos x +			ex t	'(t)dt.
			R					R
			x					x

90 [81]. Решить интегро-дифференциальное уравнение с заданными начальными условиями:

'0(x) '(x) + R (x t)'0(t)dt R '(t)dt = x; '(0) = 1.

Ответы

		x2								1
87.	а) '(x) = 1; б) '(x) = x		; в) '(x) = sin x; г) '(x) = C + 2e x;					д) '(x) =				e( 1)x.
87.	а) '(x) = 1; б) '(x) = x	2	; в) '(x) = sin x; г) '(x) = C + 2e x;					д) '(x) =	1		1	e( 1)x.
88.		1
	а) '(x) = ex 1; б) '(x) =				x sin x.
	а) '(x) = ex 1; б) '(x) =			2	x sin x.
						x3
89.	а) '(x) = (3e2x 1)=2; б) '(x) = x +						; в) '(x) = (1 x)e x; г) '(x) = cos x sin x.
89.	а) '(x) = (3e2x 1)=2; б) '(x) = x +					6	; в) '(x) = (1 x)e x; г) '(x) = cos x sin x.
90.	'(x) = ex.

1По данной теме в скобках указаны номера задач из сборника задач по интегральным уравнениям (М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко – 1968 г.)

Copyleft «2010 КТЯФ ФТФ ХНУ. No rights reserved. Копирование в любом формате и в любом количестве приветствуется. Файл-источник в формате LATEX можно найти по ссылке.

Дата последней редакции: 25.05.2010 (А.Г. Сотников)

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.02.2015934.4 Кб10what_is_your_line.doc
#
14.11.2019938.5 Кб1what_is_your_line.doc
#
25.11.2019118.27 Кб0world_freedom_day.doc
#
18.09.201934.15 Кб1Yaki_teoriyi_individualnikh_vidminnostey_vi_zna...docx
#
28.10.2018251.39 Кб34Zadachi.doc
#
13.03.2016634.19 Кб23zadachi_TFKP.pdf
#
23.02.20151.52 Mб31Zadachnik.doc
#
23.02.2015256.51 Кб20Zadania_SI_nachalny_semestr.doc
#
23.02.20154.51 Mб82Zagalna_gidro.pdf
#
12.11.2018349.7 Кб3Zagurskaya_-_Istoria_Filosofskoy_Psihologii_-_K....doc
#
23.02.2015284.4 Кб407Zavyalova_Otvety.docx