3.8. Производная функции, заданной параметрически

Пусть зависимость между аргументом и функциейзадана при помощи уравнений

, (3.10)

где – вспомогательная переменная, называемая параметром.

Пусть для функция существует обратная функция. Тогда равенства (3.10) определяют сложную функциюаргумента, заданную параметрически уравнениями (3.10). Найдем ее производную, используя теоремы о дифференцировании сложной и обратной функций:

.

Здесь производная выражена через параметр . Чтобы установить ее связь с переменной, нужно использовать уравнение . Т. о., если функция задана параметрически, то и ее производная задана параметрически:

_{функция:} ее производная:

_{Если при этом функции} дважды дифференцируемы на , то существует производная второго порядка, выраженная через параметр. Но нет смысла запоминать последнюю формулу, так как указанный метод можно применять столько раз, сколько потребуется.

Пример 3.10. Найти для функции, заданной параметрическими уравнениями

Решение. Первая производная . Вторая производная.

3.9. Дифференцирование функций, заданных неявно

Пусть функция задана в неявном виде, т. е. уравнением, не разрешенным относительно,

.

Если функция дифференцируема на, то можно вычислить производную, не зная в явном виде формулы, задающей. Для этого тождествонужно продифференцировать по переменной, считая при этомфункцией от. Получим равенство, которое вместе с соотношениемнеявно определяет производную.

Пример 3.11. Найти производную функции , заданной уравнением. Вычислить значение.

Решение. Дифференцируем уравнение по переменной , считая при этомфункцией от:

.

Пользуемся правилами дифференцирования сложной функции и произведения функций: ,. Тогда уравнение принимает вид: . Отсюда. Нозависит не только от, но и от . Чтобы найти , сначала нужно найти. Подставимв исходное уравнение:. Так как в левой части уравнения возрастающая функция, а в правой убывающая, тоявляется единственным корнем этого уравнения. Итак,.

Глава 4. Производные и дифференциалы высших порядков

4.1. Дифференциал функции одной переменной

Пусть функция определена на множестве идифференцируема в точке предельной для множества.

Определение. Дифференциалом или функции в точкеназывается линейная функция приращения:

. (4.1)

Формулу (4.1) приращения дифференцируемой функции можно записать в виде:

.

Заметим, что из последней формулы вытекает, что

,

т. е. разность имеет более высокий порядок малости по сравнению с. Поэтому говорят, что дифференциал естьглавная часть приращения функции в точке.

Если , то, очевидно,и, то есть.

Поэтому

или

,

то есть отношение дифференциалов иравно. По этой причине, следуя Лейбницу, производную частообозначают символом наряду с предложенным впоследствии Лагранжем символом.

Геометрический смысл дифференциала

Посмотрим на дифференциал с геометрической точки зрения (рис. 4.1). На рисунке к графику функции проведена касательная в точке А с абсциссой . Согласно (4.1)–приращение ординаты касательной к графику функции в точке . При этом разность

–бесконечно малая более высокого порядка, чем .