5.3. Абсолютный экстремум функции

Для функции – непрерывной на отрезке – понятиеобъединяет понятия наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, то естьи.

Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной на отрезке функциидостигается либо в критической точке этой функции, либо в граничных точкаха и этого отрезка.

Для нахождения непрерывной нафункции используется следующая схема решения.

1. Найти критические точки функции , т. е. те значения, при которых либо, либоне существует (но в этих точках сама функцияопределена и непрерывна).

2. Вычислить значения функции в найденных точках и на концах отрезка .

3. Найти и. Для этого нужно сравнить значения функции в критических точках (внутри отрезка) со значениями функции в граничных точках отрезка и выбрать среди них наибольшее и, соответственно, наименьшее значения. (При этом не требуется анализ характера экстремума этих точек).

Часто вместо изаписывают соответственнои.

5.4. Выпуклость и точки перегиба графика функции

Определение. График дифференцируемой функции называетсявыпуклым вверх (выпуклым вниз) в интервале (, если он расположен не выше (не ниже), любой своей касательной к графику функции на этом интервале (рис. 5.3).

Теорема 5.4 (о достаточном условии выпуклости вниз (вверх) графика функции на данном интервале)

Если функция имеет на интервале вторую производную идля, то график функции имеет на выпуклость, направленную вниз (вверх).

Доказательство. Допустим, что и докажем, что ее график является выпуклым вверх. Через точкупроведем касательную к графику функции. Для доказательства теоремы мы должны установить, что график функции на расположен не выше своей касательной на этом интервале. Пусть– произвольная точка из,– ордината графика функции в точке. Далее– ордината касательной, соответствующая значению. Найдем

, . Имеем

, (5.1)

так каклибо , либо. По условию теоремы. Поэтому, с учетом (5.1),,, т. е. график функциинаправлен выпуклостью вверх на.

Аналогично доказывается, что при график функции является выпуклым вниз. Теорема доказана.

Точки перегиба графика функции

Определение. Точка называетсяточкой перегиба графика функции , если существует такая окрестность точки, в пределах которой, слева и справа от нее, направления выпуклости графика функции различны (рис. 5.5).

Пример 5.4. Для график функции (рис. 5.6) выпуклый вниз наи выпуклый вверх на. Точка перегиба графика функции.

Пример 5.5. Для график функции (см. рисунок 5.7) выпуклый вниз на и на, выпуклый вверх на. Точка перегиба графика функции. Заметим, что здесь точка является точкой локального минимума функции.

Теорема 5.5 (о необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция имеет перегиб в точке, то =0, или не существует.

Доказательство. Пусть точка разделяет промежутки выпуклости вниз и вверх (рис. 5.5). Пусть прикриваявыпукла вниз, а прикриваявыпукла вверх. Тогда привторая производнаяи, значит,возрастает. Прии, значит,убывает. Это означает, что функцияимеет максимум в точке, следовательно, ее производнаяв этой точке или равна нулю, или не существует.

Замечание. Необходимое условие точки перегиба не является достаточным. Например, функция является выпуклой вниз, так каки, значит, не имеет точек перегиба, хотяпри.

Определение. Точки, в которых =0 илине существует, называюткритическими точками второго рода.

Чтобы выяснить, является ли критическая точка точкой перегиба, требуется проверить достаточные условия.

Теорема 5.6 (о достаточных условиях существования точки перегиба)

Пусть функция определена в окрестности точки , в которой либо=0, либо не существует и пусть дважды непрерывно дифференцируема в проколотой окрестности этой точки. Точка является точкой перегиба графика функции, еслименяет знак при переходе через точку.

Доказательство. Пусть, например, вторая производная приипри. В этом случае (рис. 5.5) слева от график функции выпуклый вниз, а справа от выпуклый вверх, т. е. – точка перегиба графика функции.

Пример 5.6. Исследовать на выпуклость, найти точки перегиба графика функции (рис.5.9).

Область определения . Призначение функции. Производная. Точкаявляется точкой минимума функции:. Вторая производная равна. Знаки второй производной:при,при. Прииграфик функции выпуклый вверх; на интервале– выпуклый вниз. График меняет направление выпуклости в двух точках: и (рис. 5.8). Поэтому точки перегиба графика функциии.

График данной функции представлен на рис. 5.9.