1.3. Ряд, образованный геометрической прогрессией

Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии с начальным членом и знаменателем:

.

Частичной суммой этого ряда является сумма первых членов геометрической прогрессии. Рассмотрим возможные случаи для знаменателя.

1. . В этом случае все члены прогрессии одинаковы, и ряд имеет вид:

.

Предел общего члена отличен от нуля: ; следовательно ряд расходится.

2. . Ряд имеет вид:

.

Предел общего члена не существует; следовательно ряд расходится.

3. . В этом случае предел общего члена бесконечен:

; следовательно ряд расходится.

4. . В этом случае частичная сумма ряда — сумма первыхчленов геометрической прогрессии — выражается формулой:

.

Предел последовательности части сумм существует и конечен:

;

следовательно, ряд сходится, и его сумма равна .

Подведем итог: ряд, образованный геометрической прогрессией со знаменателем , сходится, если, и расходится, если.

1.4. Остаток ряда

Если у ряда

(3)

отбросить первые слагаемых, то ряд из оставшихся членов

, (4)

где , называетсям остатком ряда (3).

Пусть — частичная сумма ряда (3),— его сумма;— частичная сумма ряда (4),— его сумма.

Теорема. Если исходный ряд (3) сходится, то при любом

сходится его остаток (4). При этом

. (5)

Доказательство. Зафиксируем количество отброшенных членов . Прии(так что) имеем:

.

Отсюда:

.

Итак, ряд (4) сходится, и его сумма связана с суммой исходного ряда формулой:

. ■

Теорема. Если при некотором остаток ряда сходится, то сходится исходный ряд (3). При этом справедлива формула (5).

Доказательство. При по аналогии с предыдущим:

.

Ряд (3) сходится, и его сумма связана с суммой остатка формулой:

. ■

Из двух последних теорем вытекает, что сходимость ряда равносильна сходимости любого его остатка.

Поэтому при исследовании сходимости ряда можно не учитывать любое количество начальных членов. Их отбрасывание повлияет на сумму, но не повлияет на сходимость или расходимость ряда.

1.5. Арифметические свойства сходящихся рядов

Теорема. Пусть ряды исходятся, и их суммы равны, соответственно,и. Тогда рядыи, полученные почленным сложением и вычитанием исходных рядов, также сходятся, и их суммы равны, соответственно,и.

Доказательство. Пусть и— частичные суммы исходных рядов. Тогда числаиявляются частичными суммами рядов, полученных почленным сложением и вычитанием. По свойствам предела:

. ■

Теорема. Пусть ряд сходится, и его сумма равна. Тогда ряд, полученный почленным умножением исходного ряда на постоянное число, также сходится, и его сумма равна.

Доказательство. Пусть — частичная сумма исходного ряда. Тогда частичная сумма нового ряда:

.

Поэтому

. ■

Итак, сходящиеся ряды можно почленно складывать, вычитать и умножать на постоянное число.

1.6. Ассоциативность сходящихся рядов

Рассмотрим числовой ряд

. (6)

Расставим в нем произвольным образом скобки:

.

Получаем новый ряд

, (7)

у которого

…

и т.д.

Теорема. Если исходный ряд (6) сходится и имеет сумму , то и всякий ряд(7) также сходится и имеет ту же сумму.

Доказательство. Частичные суммы ряда (7) образуют подпоследовательность последовательности частичных суммисходного ряда; так, в рассматриваемом случае

; …

и т.д.: . По теореме о пределе подпоследовательности [1]: . ■

Итак, в сходящемся ряде можно произвольным образом расставлять скобки (не нарушая, однако, порядок следования слагаемых).