1.11. Знакочередующиеся ряды

Определение. Пусть задана последовательность , в которой все члены положительны. Ряды

(13)

и

(14)

называются знакочередующимися. Ряды (13) и (14) отличаются только постоянным множителем и с точки зрения сходимости ведут себя одинаково.

Теорема  (признак  Лейбница). Пусть члены знакочереду- ющегося ряда (13) удовлетворяют двум условиям:

1. модули членов ряда монотонно убывают:

;

2) .

Тогда ряд (13) сходится, и его сумма удовлетворяет неравенству(для ряда (14), соответственно, ).

Доказательство. Докажем сначала сходимость последовательности частичных сумм с четными номерами . Имеем:

— сумма положительных слагаемых, так что , и последовательностьвозрастает. С другой стороны

,

причем значение каждой разности в скобках положительно; следовательно, . Итак, последовательностьвозрастает и ограничена сверху числом; по теореме Вейерштрасса существует предел.

Докажем теперь, что последовательность частичных сумм с нечетными номерами имеет тот же предел :

.

Значит и вся последовательность частичных сумм

имеет предел . ■

Определение. Знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница называется рядом типа Лейбница.

Следствие для остатка ряда типа Лейбница. Оценим погрешность, получающуюся при замене суммы ряда типа Лейбница (13) на частичную сумму, то есть погрешность приближенного равенства, получаемую при отбрасывании остатка ряда

. (15)

Отброшенный остаток также является рядом типа Лейбница, и потому для его суммы выполняется неравенство:. По теореме об остатке ряда (п. 1.4):, так что—погрешность не превосходит модуля первого отброшенного члена.

Пример. Рассмотрим знакочередующийся ряд

.

Последовательность монотонно стремится к нулю. По признаку Лейбница ряд сходится.

Отметим, что знакочередующиеся ряды могут сходиться весьма медленно, и для обеспечения требуемой на практике точности приближенного равенства нужно включать в частичную сумму большое число слагаемых.

1.12. Абсолютная и условная сходимость

Определение. Ряд

(16)

называется знакопеременным, если среди его членов присутствуют как положительные, так и отрицательные числа (в произвольном порядке).

Рассмотрим наряду со знакопеременным рядом (16) ряд, составленный из модулей его членов:

. (17)

Определение. Если ряд (17), составленный из модулей, сходится, то ряд (16) называется абсолютно сходящимся.

Теорема. Если знакопеременный ряд (16) является абсолютно сходящимся, то он сходится (в обычном смысле).

Доказательство. Пусть — частичная сумма исходного ряда (16);— частичная сумма ряда (17).

По условию существует конечный предел , причем при всех:. Обозначим черезсумму положительных слагаемых, входящих в, а через— сумму модулей отрицательных слагаемых, входящих в. Тогда.

Последовательности имонотонно возрастают и ограничены сверху числом:, и. Поэтому у них существуют конечные пределы:,. Тогда

.

Значит, ряд (16) сходится. Его сумма равна .■

Определение. Знакопеременный ряд (16) называется условно сходящимся, если он сходится, но не является абсолютно сходящимся, то есть если ряд (17), составленный из модулей его членов, расходится.

Условная сходимость ряда (16) связана в первую очередь не с тем, что его слагаемые быстро стремятся к нулю, а лишь с тем, что в частичных суммах слагаемые разных знаков в значительной мере взаимно погашают друг друга.

Пример. Рассмотрим снова знакочередующийся ряд

. (*)

Как уже известно, этот ряд сходится. В то же время ряд, составленный из модулей,

является гармоническим и потому расходится. Следовательно, ряд (*) сходится условно.

Отметим без доказательства, что абсолютно сходящиеся ряды ведут себя аналогично суммам с конечным числом слагаемых:

1) при любой перестановке членов сходимость таких рядов не нарушается, и сумма не изменяется;

2) ряды можно перемножать почленно, располагая попарные произведения в любом порядке, например,

;

при этом сумма ряда, полученного почленным перемножением, равна произведению сумм исходных рядов.

Напротив, сходимость условно сходящихся рядов имеет в некотором смысле случайный характер и связана с конкретным порядком следования членов ряда. Отметим, что имеет место следующая

Теорема.Если ряд сходится условно, то за счет изменения порядка следования членов, можно обеспечить как сходимость ряда к любому наперед заданному значению суммы, так и расходимость ряда(cм., например, [3] ).