Определение интервала сходимости

Пусть радиус сходимости степенного ряда (21). Поскольку приряд сходится абсолютно, рассмотрим ряд, составленный из модулей:

, (24)

и применим к нему признак Даламбера. Пусть существует предел .

1. Пусть сначала — конечное число; тогда при:

.

По признаку Даламбера положительный ряд (24) сходится, если , и расходится, если. Поэтому для радиуса сходимостистепенного ряда (21) справедлива формула:

. (25)

2. Если , то неравенствовыполняется при всех, так что в этом случае.

3. Если , то ряд расходится при всех, и.

Пример. Найдем радиус и интервал сходимости степенного ряда . Здесь. Находим предел:

.

Поэтому радиус сходимости ; интервал сходимости. Исследуем теперь сходимость в граничных точках.

При после преобразований получаем знакочередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница.

При после преобразований получаем положительный ряд, который расходится, что следует из сравнения его с расходящимся гармоническим рядом:

(так как при справедливо неравенство).

Итак, областью сходимости данного степенного ряда является промежуток .

2.4. Почленное дифференцирование степенного ряда

Укажем без доказательства (см., например, [1]), что справедлива следующая

Теорема. Пусть степенной ряд

имеет радиус сходимости , ипри— его сумма. Тогда функциядифференцируема в интервале, степенной ряд

,

составленный из производных членов исходного ряда, имеет тот же интервал сходимости, и его сумма равна :

. (26)

Замечание.Теорема означает, что в интервале сходимости степенной ряд можно дифференцировать почленно:

.

Следствие.Сумма степенного ряда в интервале сходимости является бесконечно дифференцируемой функцией, и все ее производные можно получить последовательным почленным дифференцированием исходного ряда.

Действительно, к ряду (26), составленному из производных, снова можно применить теорему о почленном дифференцировании в интервале и т.д.

Пример.По формуле суммирования бесконечно убывающей геометрической прогрессии с начальным членоми знаменателемпри:

.

Дифференцируя это равенство (причем ряд справа — почленно), получим:

или

. (27)

Равенство (27) справедливо при .

2.5. Почленное интегрирование степенного ряда

Также без доказательства укажем (см., например, [1]), что справедлива следующая

Теорема. Пусть степенной ряд

имеет интервал сходимости , и функция— его сумма. Если отрезоксодержится в, точисловой ряд , составленный из интегралов отдельных слагаемых, сходится, и его сумма равна ,то есть

.

2.6. Степенные ряды в окрестности произвольной точки.

Снова рассмотрим степенной ряд (20) в окрестности произвольной точки :

.

Введем новую переменную . Тогда ряд (20) примет вид:

(28)

• ряд в окрестности точки . Пусть — его интервал сходимости. Тогда ряд (28) абсолютно сходится при

и расходится при . Поэтому интервал сходимости степенного ряда (20) в окрестности произвольной точкиполучается из интервала сходимости степенного ряда (28) с теми же коэффициентами, но в окрестности нулевой точки, смещением середины интервала сходимости в точку. Радиус сходимости по-прежнему может быть найден по формуле (25).