42

Глава 2. Степенные ряды

2.1. Область сходимости функционального ряда

Пусть задана последовательность функций

с общей областью определения .

Определение. Функциональным рядом называется выражение

. (18)

При фиксированном функциональному ряду (18) соответствует числовой ряд

. (19)

При одних значениях этот числовой ряд может сходиться, при других — расходиться.

Определение. Совокупность всех тех значений, при которых числовой ряд (19) сходится, называетсяобластью сходимости функционального ряда (18).

При определена функция— сумма числового ряда (19) в точке.

Примеры. 1. Пусть . Функциональный ряд

образован геометрической прогрессией со знаменателем . Как установлено в п.1.3. ряд сходится прии расходится при. Следовательно, область сходимости.

2. Пусть . Приобщий член рядане стремится к нулю; следовательно, ряд расходится. Область сходимости состоит из одной точки:.

3. Пусть . Ряд, очевидно, сходится при. Приряд сходится абсолютно на основании признака Даламбера:

Область сходимости .

2.2. Теорема Абеля для степенных рядов

Определение. Степенным рядом в окрестности точки называется функциональный ряд вида

. (20)

Ряд (20) называют также рядом по степеням . Числаназываютсякоэффициентами степенного ряда.

Замечание. Степенной ряд (20) заведомо сходится при , и его сумма равна.

Рассмотрим степенной ряд в окрестности нулевой точки (ряд по степеням ):

. (21)

Он заведомо сходится в точке .

Теорема Абеля. 1. Если степенной ряд (21) сходится в точке , то онабсолютно сходится при всех , удовлетворяющих условию, то есть при.

2. Если степенной ряд (21) расходится в точке , то он расходится при всех, удовлетворяющих условию.

Доказательство. 1. Пусть числовой ряд сходится, и. По необходимому признаку сходимости=0. В силу ограниченности сходящейся последовательности существует числотакое, что при всехвыполняется неравенство:

. (22)

Запишем ряд (21) в виде:

.

Поскольку речь идет об абсолютной сходимости, рассмотрим ряд, составленный из модулей:

. (23)

Каждый член этого положительного ряда в силу (22) меньше соответствующего члена сходящегося ряда , образованного геометрической прогрессией с начальным членоми со знаменателем:

.

Поэтому ряд (23) сходится, то есть ряд (21) сходится абсолютно.

2. Пусть числовой ряд вида (21)

.

расходится в некоторой точке , и. Если бы в точкеряд сходился, то по первому утверждению теоремы он сходился бы в точке, что противоречит предположению. ■

2.3. Радиус сходимости степенного ряда

Из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда (21) является либо единственная точка , либо промежутокчисловой оси с центром в нулевой точке, либо вся числовая ось . Действительно, если— точка сходимости, то и интервалвходит в область сходимости; если же— точка расходимости, то промежуткиисостоят из точек расходимости. (Граничная точкаобласти сходимости является точной верхней границей [1] тех положительных чисел, для которых степенной ряд сходится.)

Определение. 1. Если областью сходимости степенного ряда (20) является конечный промежуток, то интервалом сходимости степенного ряда (20) называется интервал такой, что в точкахряд сходится абсолютно, а в точкахряд расходится. Числоназывается при этомрадиусом сходимости степенного ряда.

2. Если областью сходимости является вся числовая ось , то полагают.

3. Если область сходимости состоит только из нулевой точки, то полагают .

В граничных точках интервала сходимости иряд может как сходиться, так и расходиться.

Из теоремы Абеля следует, что для степенного ряда (21) в окрестности нулевой точки интервал сходимости имеет вид , где— радиус сходимости.

Пример. Степенной ряд, образованный геометрической прогрессией со знаменателем

,

сходится при и расходится при; поэтому радиус сходимости этого ряда.