ФОС_ОбщийПоток_Математика
.pdf
2 |
(3 балла). Постройте график функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
f(jx) = x |
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
f(x) = |
|
x2 + 2x |
; f(x) = |
|
x + 1 |
3jxj |
+ 2jx |
|
1j; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Вариант №2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jj |
|
j j |
|
jj |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
(3 балла). Найдите область определения функций: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f(x) = ln |
(x |
x 3 |
2) |
|
( +x 4 |
|
|
|
; f(x) = arccos(x2 x): |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1)(x |
|
|
|
|
x |
|
1)(x + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
(3 балла). Постройте график функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
f(xj) = 2 x + 1 |
|
|
x 1 |
||||||||||||||||||
|
f(x) = |
|
+ 6x + 1 ; f(x) = 2 |
|
x + 2 |
3jx + 3j |
+ 4jx + 4j; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j j |
|
|
|
|
j j |
|
jj |
|||||||||
|
Вариант №3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
(3 балла). Найдите область определения функций: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 3)(x + 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
f(x) = ln |
(x + 1)(x 2) |
|
|
1; f(x) = |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
1: |
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
(3 балла). Постройте график функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
f(jx) = x |
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
f(x) = |
|
x2 + 2x |
; f(x) = |
|
x + 1 |
3jxj |
+ 2jx |
|
1j; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Вариант №4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jj |
|
j j |
|
jj |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
(3 балла). Найдите область определения функций: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
f(x) = s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; f(x) = ln(1 ln(x + 1)): |
|||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
x1)( 3+ 2) ( +x |
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1)(x |
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
(3 балла). Постройте график функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
f(x) = 2 x + 1 + x 1 |
||||||||||||||||||||||
|
f(x) = |
|
|
|
|
6x |
|
1 ; f ( x ) = 2 |
|
|
x |
|
2j 3jx |
|
3j |
+ 4jx |
|
4j; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j j |
|
|
|
|
j |
|
|
j |
|
jj |
||||||
Тема: дифференциальное исчисление ВАРИАНТ №1.
1 |
(4 балла). Вычислите производную функций |
|||||||||||
|
1 |
ln x2 + 4 ; f(x) = |
|
|
(1 + x) |
|||||||
|
f(x) = |
|
|
|
|
; f(x) = arcsin(x2): |
||||||
|
6 |
(1 + sin(x)) |
||||||||||
2 |
(5 балла). Вычислите производные второго порядка функций: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
|
f(x) = |
p |
|
; f(x) = sin(x3); f(x) = ln(1 + x4): |
||||||||
|
1 + x2 |
|||||||||||
3 |
(5 балла). Найдите интервалы монотонности и локальные экстре- |
|||||||||||
мумы функций |
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
1 |
|
||||||||
|
f(x) = 6 x + |
|
x3 |
|
|
x2; f(x) = ex + e x: |
||||||
|
3 |
2 |
||||||||||
ВАРИАНТ №2.
1 (4 балла). Вычислите производную функций
1 |
x2 + 1 |
||||
f(x) = |
|
x2 arcsin (x) ; f(x) = |
|
|
ex; |
|
x2 |
|
|||
2 |
+ 4 |
||||
2 (5 баллов). Вычислите производные второго порядка функций:
f(x) = arcsin(x); f(x) = x(1 + x)5=2; f(x) = x arctg(x) |
(1) |
3 (5 баллов). Найдите интервалы монотонности и локальные экстремумы функций
f(x) = 4 6 x + 23 x3 32 x2; f(x) = ln(x) + x:
ВАРИАНТ №3.
1 (4 балла). Вычислите производную функций
1 |
arctan (2 x) x2; f(x) = ln( |
x2 + 1 |
|
|||||
f(x) = |
|
|
|
); |
|
|||
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
x2 + 4 |
|
|||
2 (5 баллов). Вычислите производные второго порядка функций: |
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
(2) |
|
f(x) = x sin(2x); f(x) = |
|
; f(x) = (x + 1) ln(x + 1): |
||||||
1 + x2 |
||||||||
3 (5 баллов). Найдите интервалы монотонности и локальные экстремумы функций
f(x) = 4 + 7 x + 53 x3 72 x2; f(x) = x3e 6x2 :
ВАРИАНТ №4.
1 (4 балла). Вычислите производную функций
f(x) = |
1 |
(cos (2 x))2 ; f(x) = |
x2 |
+ 1 |
; |
8 |
x2 |
+ 4 |
2 (5 баллов). Вычислите производные второго порядка функций:
f(x) = tg(2x); f(x) = |
1 |
x |
; f(x) = (x + 1) sin(x + 1): |
(3) |
|
||||
1 |
+ x |
3 (5 баллов). Найдите интервалы монотонности и локальные экстремумы функций
|
5 |
|
7 |
1 |
|
||
f(x) = 4 + 7 x + |
|
x3 |
|
x2 |
; f(x) = ln(x) + |
|
(x > 0): |
3 |
2 |
ln(2x) |
|||||
Тема: Интегральное исчисление ВАРИАНТ №1.
1 (по 2 балла). Вычислите интегралы:
Z |
(x1=3 |
+ x |
1=3)2 |
dx (2 балла); Z |
|
||||
|
|
|
|
|
x 2 ln(x) dx (2 балла) |
||||
|
x1=3 |
|
|
||||||
|
|
|
2x + 1 |
|
|
||||
Z |
|
|
|
dx (2 балла); Z (3x 1)101=102 dx (2 балла): |
|||||
(x2 1)(x2 5x + 6) |
|||||||||
2 (по 3 балла). Вычислите интегралы: |
|||||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
x + 1 |
|
|
||||
|
Z |
|
|
dx (2 балла); Z |
x sin( x) dx (2 балла); |
||||
|
|
x2 + 1 |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ВАРИАНТ №2.
|
|
1 (по 2 балла). Вычислите интегралы: |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx (2 балла); Z (x + 1) sin(x) dx(2 балла) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x2 + 1)(x2 + 4) |
|||||||||||||||||||||
|
Z |
|
|
|
|
|
2x + 1 |
|
|
|
|
|
|
dx (2 балла); Z |
sin2(2x + 1) dx (2 балла): |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
(x2 4)(x2 4x + 3) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 (по 3 балла). Вычислите интегралы: |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx (2 балла); Z |
xex dx (2 балла); |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x + 2)(x + 3) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ №3. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 (по 2 балла). Вычислите интегралы: |
|
|
|||||||||||||||||||||||
Z |
( |
x1=5 |
+ x |
|
3=5)2 |
dx (2 балла); Z |
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx (2 балла); |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x1=5 |
|
|
|
|
(x2 5x + 6)(x2 9x + 20) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z (x2 + x)ex dx (2 балла); Z (x2 x) ln(x) dx (2 балла): |
|||||||||||||
|
|
2 (по 3 балла). Вычислите интегралы: |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
x |
+ |
1 |
dx (2 балла); Z |
x cos( x) dx (2 балла): |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ВАРИАНТ №4. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 (по 2 балла). Вычислите интегралы: |
|
|
|||||||||||||||||||||||
Z (x1=3 + x2=3)2x1=2 dx (2 балла); Z |
(x2 1)(x2 7x + 12) dx (2 балла); |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
1 |
|
dx (2 балла); Z (x2 + 8x) sin(2x) dx (2 балла): |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2(2x 1) |
||||||||||||||||||
|
|
2 (по 3 балла). Вычислите интегралы: |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2x + 1 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Z |
|
|
dx(2 балла); Z (x + 1)e2x+3 dx(2 балла); |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x + 4)(x + 6) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
Тема: Теория вероятностей ВАРИАНТ №1.
1 (4 балла). Пусть дана корзина, в которой лежат 4 белых и 4 чёрных шаров. Из корзины берутся без возвращения 4 шара. Найдите вероятность того, что взято 3 белых шара.
2 (5 баллов). Пусть даны две корзины: в первой лежат 3 белых и 3 чёрных шара, во втором 1 белых и 2 чёрных шаров. Из первой корзины во вторую перекладывается 3 шара. После этого из второй корзины берётся 1 шара.
a)Найдите вероятность того, что из второй корзины взяли белый шар.
b)Предположим, что из второй корзины взяли белый шар. Найдите вероятность того, что из первой корзины во вторую переложили 3 чёрных шара.
3 (5 баллов). Пусть случайная величина определяется рядом распределения
|
0 |
1 |
2 |
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
P |
1 |
2 |
3 |
?? |
|
|
7 |
7 |
7 |
|
|
Постройте ряд распределения случайной величины 3, вычислите её математическое ожидание и дисперсию.
ВАРИАНТ №2.
1 (4 балла). Пусть дана корзина, в которой лежат 6 белых и 4 чёрных шаров. Из корзины берутся без возвращения 4 шара. Найдите вероятность того, что взято 3 чёрных шара.
2 (5 баллов). Пусть даны две корзины: в первой лежат 2 белых и 4 чёрных шара, во втором 4 белых и 2 чёрных шаров. Из первой корзины во вторую перекладывается 2 шара. После этого из второй корзины берётся 1 шара.
a)Найдите вероятность того, что из второй корзины взяли чёрный шар.
b)Предположим, что из второй корзины взяли чёрный шар. Найдите вероятность того, что из первой корзины во вторую переложили 2 чёрных шара.
3 (5 баллов). Пусть случайная величина определяется рядом распределения
|
12 |
21 |
1 |
|
2 |
; |
|||||
P |
3 |
|
?? |
||||||||
|
11 |
|
|
11 |
|
|
11 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
Постройте ряд распределения случайной величины 2 + 2, вычислите её математическое ожидание и дисперсию.
ВАРИАНТ №3.
1 (4 балла). Пусть дана корзина, в которой лежат 5 белых и 3 чёрных шаров. Из корзины берутся без возвращения 3 шара. Найдите вероятность того, что все взятые шары будут белыми.
2 (5 баллов). Пусть даны две корзины: в первой лежат 3 белых и 3 чёрных шара, во втором 1 белых и 2 чёрных шаров. Из первой корзины во вторую перекладывается 3 шара. После этого из второй корзины берётся 2 шара.
a)Найдите вероятность того, что из второй корзины взяли шары разного цвета.
b)Предположим, что из второй корзины взяли шары разного цвета. Найдите вероятность того, что из первой корзины во вторую переложили 3 чёрных шара.
3 (5 баллов). Пусть случайная величина определяется рядом распределения
|
11 |
0 |
1 |
2 |
; |
P |
2 |
3 |
?? |
||
|
8 |
8 |
8 |
|
|
Постройте ряд распределения случайной величины 2 + +1, вычислите её математическое ожидание и дисперсию.
ВАРИАНТ №4.
1 (2 балла). Пусть дана корзина, в которой лежат 4 белых и 5 чёрных шаров. Из корзины берутся без возвращения 4 шара. Найдите вероятность того, что взято 3 чёрных шара.
2 (4 балла). Пусть даны две корзины: в первой лежат 4 белых и 2 чёрных шара, во втором 2 белых и 42 чёрных шаров. Из первой корзины во вторую перекладывается 2 шара. После этого из второй корзины берётся 2 шара.
1.Найдите вероятность того, что из второй корзины взяли 2 чёрных шара.
2.Предположим, что из второй корзины взяли 2 чёрных шара. Найдите вероятность того, что из первой корзины во вторую переложили 2 чёрных шара.
3 (4 балла). Пусть случайная величина определяется рядом распределения
|
2 |
1 |
1 |
|
2 |
|
||||||
|
1 |
3 |
9 |
|
; |
|||||||
P |
?? |
|||||||||||
|
14 |
|
|
14 |
|
|
14 |
|
|
|||
Постройте ряд распределения случайной величины 4 2 + 2, вычислите её математическое ожидание и дисперсию.
Критерии оценки:
Вычисляется сумма баллов S, полученных за правильно решённые
примеры, и число p = NS , где N максимальное количество боллов, которые можно получить.
оценка "отлично"выставляется студенту, если 0; 75 < p 6 1;
оценка "хорошо если 0; 5 < p 6 0; 75;
оценка "удовлетворительно если 0; 25 < p 6 0; 5;
оценка "неудовлетворительно если p 6 0; 25.
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Экономический Факультет
Кафедра управления человеческими ресурсами
Вопросы к коллоквиумам по дисциплине Математика
Первый семестр
1.Матрицы.
1.1Определение матрицы. Матрицы специального вида (вектор-строки, вектор-столбцы, квадратные, диагональные, нижние и верхние треугольные матрицы, единичная и нулевая матрица).
1.2Операции с матрицами и их свойства. транспонированная матрица.
1.3Обратная матрица.
2.Определитель матрицы.
2.1Определитель матриц 2 2, 3 3.
2.2Определитель произвольной квадратной матрицы.
2.2.1Определение.
2.2.2Свойства.
2.2.2Миноры, алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу
2.3.Критерий существования обратной матрицы.
3.Системы линейных уравнений.
3.1Общий вид системы линейных уравнений.
3.2Однородные и неоднородные системы.
3.3Совместные и несовместные системы.
4.Метод Гаусса.
4.1Разрешённые и свободные переменные, разрешённые системы.
4.2Метод Крамера.
4.3Метод Гаусса.
4.4Вычисление обратной матрицы методом Гаусса.
5.Векторные пространства
5.1Определение.
5.2Алгебраическое n-мерное пространство Rn
5.3 Линейно зависимые и линейно независимые семейства.
5.5Базис системы векторов.
5.6Базис векторного пространства. Размерность векторного пространства.
7.Решение произвольной систем линейных уравнений.
7.1Общий вид решение однородной системы. Алгоритм нахождения.
7.2Общий вид решения неоднородной системы. Алгоритм нахождения.
Второй семестр
1.Функции вещественной переменной.
1.1.Определение понятия функция.
1.2.Простейшие элементарные функции. Суперпозиция функций. Элементарные функции.
1.3.Аналитический способ задания функций.
1.4.Графический способ задания функций.
1.5.Табличное задания функций.
2.Схема исследования функции.
2.1.Монотонность.
2.2.Локальные экстремумы.
3.Производная функции.
3.1.Дифференцируемые функции. Производная функции.
3.2.Свойства производной (производная суммы, произведения, суперпозиции функций, таблица производных).
4.Схема исследования функции.
4.1.Интервалы монотонности.
4.2.Локальные экстремумы.
5.Неопределённый интеграл.
5.1.Первообразная функции, неопределённый интеграл.
5.2.Основные формулы интегрального исчисления (интеграл суммы формула интегрирования по частям, формула замены переменной интегрирования, формула линейной подстановки, таблица интегралов).
5.3.Разные приёмы интегрирования (метод разложения, метод преобразования подинтегрального выражения, метод интегрирования "по частям").
6.Определённый интеграл.
6.1.Криволинейная трапеция. Площадь криволинейной трапеции.
6.2.Формула Ньютона – Лейбница.
7.Теория вероятностей.
7.1.Постранство событий, пространство элементраных событй, алгебра событий, вероятность события. Классическая схема вероятности. Геометрическая вероятность
7.2.Операции с событиями. Невозможные и достоверные события. Несовместные события. Независимые события. Вероятность суммы и произведеня событий.
7.3.Полные системы событий. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
7.4.Дискретные случайные величины. Равномерно распределённые случайные величина. Схема Бернулли.
7.5.Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины.
Критерии оценки:
Задание на коллоквиум содержит 5 вопросов (теоретических и практических), каждый из которых оценивается в 4 балла. Находится сумма баллов N, полученных за правильные ответы.
оценка "отлично"выставляется студенту, если 16 < N 6 20;
оценка "хорошо если 12 < N 6 16;
оценка "удовлетворительно если 6 < N 6 12;
оценка "неудовлетворительно если N 6 5.
Составитель |
|
|
Шубарин М. А. |
|||
" " |
2105 г. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|