Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

ГЕОМЕТРИЯ

§ 30. Треугольник

4. Площадь треугольника равна его полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности:

5. Площадь треугольника равна произведению трех его сторон, деленному на учетверенный радиус описанной окружности:

6. Площадь треугольника с вершинами А (x1;y1), B (x2; y2) è C (x3; y3) равна половине абсолютной

П р и м е р 4. Пусть A (1; 5), B (4; 1), C (-1; 1) —

координаты вершин треугольника. Тогда, разлагая определитель по элементам первой строки, имеем

произведения векторов a è b (ñì. ï. 301).

407

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

8. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

9. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его гипотенузы на высоту, проведенную к ней:

П р и м е р 5. Найти площадь прямоугольного треугольника с катетами à = 3, b = 4 по формулам

(7) и (8), а также по общим формулам (4) и (5) (рис. 180).

q По формуле (7): S = 0,5 ab = 0,5 × 3 × 4 = 6.

åìñÿ òåì, ÷òî BF = BK = a - r (отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны) и аналогично AE = AK = b - r. Тогда a - r + b - r =

= c, откуда r = 0,5 (a + b - c) = 0,5 (3 + 4 - 5) = 1 и, следовательно, S = 6 × 1 = 6.

408

ГЕОМЕТРИЯ

§ 30. Треугольник

По формуле (5): S = abc , ãäå R = c (в прямоу- 4R 2

гольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы). Таким образом,

10. Площадь правильного треугольника со стороной а находится по формуле

4

П р и м е р 6. Найти площадь правильного треугольника, если известен радиус r вписанной в него окружности.

q Известно, что в правильном треугольнике ÀÂÑ (рис. 181) центром вписанной окружности является точка Î пересечения медиан (см. п. 273), а каждая медиана делится точкой пересечения в отношении ÂÎ : ÎÌ = 2 : 1 (см. п. 271). Поэтому если à —

278. Признаки подобия треугольников. Подобием называется такое преобразование фигуры F1 в фигуру F2, при котором расстояния между любыми

409

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

двумя точками изменяются в одно и то же число раз. Это число называется коэффициентом подобия. Для обозначения подобия используется знак ~. У подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В час-

тности, если D ABC ~ D A1B1C1, òî Ð A = Ð A1, Ð B =

Справедливы следующие признаки подобия треугольников:

Ò.9.21. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (по двум углам).

Ï ð è ì å ð 1. Â D ABC проведены средняя линия DF и медианы AF è CD (рис. 183). Убедиться в том, что медианы делятся точкой их пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины.

410

ГЕОМЕТРИЯ

§ 30. Треугольник

q Òàê êàê D AOC ~ D ODF, òî AO : OF = CO : OD =

= AC : DF. Íî AC : DF = 1 (по теореме 9.7), следо-

2

вательно, медианы делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины, что и утверждается в теореме 9.6. n

Ò.9.22. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

(по двум сторонам и углу между ними).

Ò.9.23. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны (по трем сторонам).

П р и м е р 2. Точки K, L è Ì являются серединами сторон D ABC (рис. 184). Во сколько раз длина окружности, описанной около D ABC , больше длины окружности, описанной около D KLM ?

411

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

q Òàê êàê KL, LM è KM — средние линии в

àв подобных треугольниках все соответствующие

отрезки пропорциональны. Значит, один из радиусов вдвое больше другого, откуда следует, что боль` - шая окружность вдвое длиннее. n

Заметим, что для подобия прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по одному равному острому углу.

Отметим, еще что периметры подобных треугольников относятся как соответствующие стороны,

àплощади — как квадраты этих сторон. Таким

образом, если D ABC ~ D A1B1C1, òî

Ïр и м е р 3. Периметр треугольника ð = 10 ñì,

àего площадь S = 3 cì2. Определить периметр по-

добного треугольника, имеющего площадь 27 см2. q Обозначим искомый периметр через õ. Òàê êàê

площади подобных треугольников относятся как

412

ГЕОМЕТРИЯ

§ 31. Четырехугольники

§31. Четырехугольники

279.Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны (рис. 185). Иногда какие-нибудь две параллельные стороны параллелограмма называют основаниями, тогда две другие называют боковыми сторонами. Заключенный между двумя параллельными сторонами параллелограмма отрезок прямой, перпендикулярный этим сторонам, называется высотой параллелограмма. На рис. 185 изображен па-

раллелограмм ÀÂÑD, у которого высота h1 проведена к сторонам ÂÑ è AD, а высота h2 — к сторонам

ÀÂ è CD.

Для произвольного параллелограмма справедливы следующие свойства:

10.Противоположные стороны параллелограмма

равны.

20. Противоположные углы параллелограмма равны.

30.Соседние углы параллелограмма, т. е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180°.

40.Диагонали параллелограмма делятся в точке пересечения пополам.

Каждое из перечисленных свойств является характеристическим, т. е. всякий четырехугольник, обладающий хотя бы одним из этих свойств, представляет собой параллелограмм.

Отметим еще одно свойство параллелограмма.

50.Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

П р и м е р 1. Стороны параллелограмма ÀÂÑD

относятся как 7 : 9, а его периметр равен 64. Найти

413

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

диагонали ÀÑ è BD, если известно, что периметр D ABD равен 52 (рис. 186).

q Пусть ÀÂ = 7õ, тогда AD = 9õ и по условию

PABCD = 2 × 16x = 64, PD ABD = 16x + BD = 52. Значит,

õ = 2, откуда находим ÀÂ = 14, AD = 18, BD = 20. Для отыскания диагонали ÀÑ воспользуемся свой-

Параллелограмм, смежные стороны которого взаимно перпендикулярны, называется прямоугольником (рис. 187). Таким образом, прямоугольник — это четырехугольник, все углы которого прямые. Отметим следующее важное свойство прямоугольника: его диагонали равны.

Параллелограмм, все стороны которого равны, называется ромбом (рис. 188). Заметим, что четырехугольник, все стороны которого равны, является ромбом.

414

ГЕОМЕТРИЯ

§ 31. Четырехугольники

Отметим следующие свойства ромба:

10. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

20. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Верны и такие утверждения:

Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, есть ромб.

Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, есть ромб.

П р и м е р 2. Периметр ромба равен 32, а высота

ромба равна 4. Найти углы ромба и его большую `

диагональ.

q Так как сторона ромба равна 8, а его высота равна 4, то в D AHB (рис. 189), отсеченном от ромба его высотой BH, проведенной из вершины тупого угла, катет BH равен половине гипотенузы ÀÂ и, значит,

Ð BAD = 30°. Тогда Р ADC = 150°.

Остается найти диагональ ÀÑ. Èç D ADC по теореме косинусов получим AC2 = 64 + 64 - 2 × 8 ´

415

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

Ðèñ. 189

´ 8 cos150° = 128 + 64 3 = 64(2 + 3), откуда AC =

= 8 2 + 3 . n

Прямоугольник, стороны которого равны, называется квадратом (рис. 190). Следовательно, квадрат является также и ромбом с прямыми углами. Можно сказать, что квадрат — это параллелограмм, являющийся одновременно и ромбом, и прямоугольником.

Таким образом, квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, ромба и прямоугольника.

П р и м е р 3. Диагональ данного квадрата служит стороной треугольника, у которого угол, противолежащий этой стороне, равен 150°. Доказать, что радиус окружности, описанной около треугольника, равен диагонали квадрата.

q Пусть à — сторона данного квадрата; тогда его

диагональ, равная a 2, является основанием треу-

416