Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

ГЕОМЕТРИЯ

§ 30. Треугольник

äóåò, ÷òî ha : hb : hc = 1 : 1 : 1 , ò. å. длины высот a b c

треугольника обратно пропорциональны длинам сторон, к которым проведены эти высоты.

Ïр и м е р. В прямоугольном треугольнике ÀÂÑ

ñкатетами à = ÂÑ = 3 è b = ÀÑ = 4 найти длину высоты CD (ðèñ. 168).

q Имеем ñ = ÀÂ = 5, ð = 0,5 (3 + 4 + 5) = 6, ð – à = = 3, p – b = 2, ð – ñ = 1. Теперь по формуле (1) находим

hc = 2 6 × 3 × 2 × 1 = 12 . n

55

Заметим, что в равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают.

Ò.9.8. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Эта точка называется ортоцентром. В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри, в тупоугольном — вне треугольника (рис. 169, à è á). В прямоугольном треугольнике ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла (рис. 169, â).

397

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

Ðèñ. 169

273. Окружность, описанная около треугольника. Замечательные точки треугольника. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Ò.9.9. Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка является центром окружности, описанной около треугольника.

На рис. 170 изображены треугольник ÀÂÑ и описанная около него окружность; ее центром Î является точка пересечения серединных перпендикуляров ÌÎ, KÎ è LO к сторонам треугольника.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — это середина гипотенузы (рис. 171).

Точку пересечения биссектрис (центр вписанной окружности), точку пересечения медиан (центр масс), точку пересечения высот (ортоцентр) и точку пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности) называют замечательными точками треугольника.

398

ГЕОМЕТРИЯ

§ 30. Треугольник

В равностороннем треугольнике все четыре замечательные точки совпадают (рис. 172).

274.Равенство треугольников. Справедливы следующие признаки равенства треугольников:

Ò.9.10. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (по двум сторонам и углу).

Ò.9.11. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (по стороне и двум углам).

Ò.9.12. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (по трем сторонам).

399

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

П р и м е р. Отрезки ÀÑ è BD пересекаются в точке Ì (рис. 173). Доказать, что треугольники ÂÀÌ

èDCM равны, если известно, что ÀÌ = ÑÌ è ÷òî

ÐBAM = ÐDCM.

q ßñíî, ÷òî Ð BMA = ÐCMD как вертикальные углы. Поэтому в треугольниках ÂÀÌ è DCM равны стороны ÀÌ è ÑÌ, а также прилежащие к этим сторонам углы ( Р BAM = ÐDCM, Ð BMA = ÐCMD ). Согласно теореме 9.11, эти треугольники равны. n

Отметим признаки равенства прямоугольных треугольников:

Ò.9.13. Если гипотенуза и катет одного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны (по гипотенузе и катету).

Ò.9.14. Если катет и противолежащий ему острый угол одного треугольника равны соответственно катету и противолежащему ему ост-

400

ГЕОМЕТРИЯ

§ 30. Треугольник

рому углу другого треугольника, то такие треугольники равны (по катету и противолежащему углу).

Ò.9.15. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника равны соответственно гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны (по гипотенузе и острому углу).

275. Свойства прямоугольного треугольника.

Выделим два специальных вида прямоугольных треугольников: равнобедренный (острые углы равны 45°) и треугольник с острыми углами 30° и 60°. Высота первого из них, проведенная из вершины прямого угла, делит исходный треугольник на два равнобедренных прямоугольных треугольника ( D AKC è D BKC íà ðèñ. 174, à). Во втором треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы

Ðèñ. 174

401

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

(òàê, äëÿ D ABC, изображенного на рис. 174, á, имеем ÂÑ = 0,5ÀÂ).

Ò.9.16. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (òåî-

рема Пифагора): c2 = a2 + b2.

Верна и обратная теорема: если в треугольнике квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник прямоугольный.

Например, треугольник со сторонами 5, 12 и 13

является прямоугольным, так как 132 = 52 + 122. В прямоугольном треугольнике имеем a : c =

= sina, b : c = cos a (рис. 175), поэтому тригономет-

рическое тождество sin2 a + cos2 a = 1 — это теорема Пифагора, записанная для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 1.

Отметим еще некоторые свойства прямоугольного треугольника.

Ò.9.17. Каждый катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу

(ðèñ. 176), ò. å.

П р и м е р. В прямоугольном треугольнике ÀÂÑ известны катет ÀÑ = 20 и высота CD = 12 (рис. 177). Найти катет ÂÑ и гипотенузу ÀÂ.

q Сначала из D ADC найдем AD = 202 - 122 = = 16. Теперь воспользуемся вторым из равенств (1);

402

ГЕОМЕТРИЯ

§ 30. Треугольник

Ò.9.18. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу (ñì. ðèñ. 176), ò. å.

(см. рис. 177) имеем CD = 12, AD = 16, BD = AB –

– AD = 9, так что соотношение (2) выполняется (16 : 12 = 12 : 9).

276. Теорема косинусов. Теорема синусов. Для произвольного треугольника верна теорема косинусов, которую можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора.

403

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

Ò.9.19. В любом треугольнике квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус их удвоенное произведение на косинус угла, заклю- ченного между ними:

Убедимся в справедливости этой теоремы, например, для равностороннего треугольника. Имеем

c2 = a2 + a2 - 2a × a × cos 60° = 2a2 - 2a2 × 0,5 = a2, т. е. третья сторона треугольника также равна à.

Заметим, что стороны и углы треугольника связаны теоремой синусов.

Ò.9.20. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов (ðèñ. 178), ò. å.

ãäå R — радиус описанной окружности.

Убедимся в справедливости этой теоремы, например, для прямоугольного треугольника ÀÂÑ с остры-

404

ГЕОМЕТРИЯ

§ 30. Треугольник

как и должно быть, поскольку в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна диаметру описанной окружности.

277. Площадь треугольника. Приведем важнейшие формулы для вычисления площади треугольника.

1. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

П р и м е р 1. Пусть сторона треугольника равна 10, а высота, проведенная к этой стороне, равна 8;

тогда S = 0,5 × 10 × 8 = 40.

Заметим, что площади всех треугольников, имеющих равные основания и равные высоты, одинаковы. Так, на рис. 179 изображены треугольники ÀÂÑ è ADC, имеющие общее основание ÀÑ и равные высо-

ты; значит, SD ABC = SD ADC .

2. Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними:

405

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел IX. ГЕОМ. ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

Ðèñ. 179 Ðèñ. 180

П р и м е р 2. Пусть стороны треугольника равны 3 и 4, а угол между ними равен 60o . Тогда

S= 0,5 3 × 4 sin60o = 0,5 3 × 4 × 0,5 3 = 3.

3.Площадь треугольника со сторонами a, b и c выражается формулой Герона:

ãäå p = 0,5(a + b + c) – полупериметр треугольника.

П р и м е р 3. Пусть à = 13, b = 14, ñ = 15; тогда p = 0,5 (13 + 14 + 15) = 21, p – a = 8, p – b = 7, p – c = = 6 и по формуле Герона находим

S = 21× 8 × 7 × 6 = Ö3 · 7 · 2 · 4 · 7 · 2 · 3 = = 7 · 3 · 4 = 84.

406