Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Lektsii_po_algebre_i_geometrii_Chast1_3

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
12.03.2016
Размер:
640.25 Кб
Скачать

Доказательство. Пусть А=(аіј)n×n. Тогда каждый член определителя |А| имеет вид (1)δ a1α1 a2α2 K anαn , где δ определяется четностью подстановки

 

1

2 ...

n

 

 

 

α2 ...

 

.

α1

αn

Заметим , что данный член является также членом определителя |АТ| в силу того, что он

представляется в виде (1)δ aα11 aα2 2 ... aαn n

, где aij

- элементы матрицы АТ . Поскольку

подстановка

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

α

 

...

α

 

 

 

1

 

2

 

 

n

 

1

2 ...

 

 

 

n

имеет ту же четность, что и приведенная выше, то и знак вхождения данного члена в определитель |АТ| тот же самый, что и знак вхождения в определитель |А|. Таким образом, перебирая все члены определителя |А|, мы получим все члены определителя |АТ|, и свойство (2) доказано.

Замечание. Полученное свойство позволяет нам все доказанные утверждения относительно строк определителя переносить на столбцы (и наоборот).

Свойство 3. При перемене местами двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак на противоположный.

Доказательство. Пусть А=(аіј)n×n , и матрица А´ получена из матрицы А переменой местами i- ой и j-ой строчек. Тогда каждый член определителя |А| имеет вид (1)δ a1α1 a2α2 ... anαn .

Отметим, что данное произведение является также и членом определителя |А´|, однако знак его определяется четностью подстановки

 

1

2 ...

j

...

i

...

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

α1

α2 ...

αi

...

αj

...

 

 

αn

 

четность которой не совпадает с четностью подстановки

 

1

2

...

i

...

j

...

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

α1

α2

...

αi

...

αj

...

 

 

αn

 

определяющей δ, и следовательно знак вхождения данного произведения в |А´| является противоположным относительно знака вхождения его в определитель |А|. Перебирая таким образом все члены определителя |А|, мы получим все члены определителя |А´|, взятые с обратным знаком, и свойство (3) доказано.

Свойство 4. Если в определителе существуют две одинаковые строчки (столбца), то данный определитель равен нулю.

Доказательство. Если в определителе А существует две одинаковые строки, то поменяв их местами, получим А = − А , следовательно А = 0 .

Свойство 5. Если в определителе каждый элемент строки (столбца) умножить на некоторое число, то сам исходный определитель умножится на это число.

Доказательство. Пусть в определителе А i-ая строка умножается на число k, тогда получим определитель

 

 

 

a11

a12

...

a1n

 

 

 

 

...

...

...

...

,

A'

 

=

k ai1

k ai 2

...

k ain

 

 

 

 

 

 

...

...

...

...

 

 

 

 

an1

an 2

...

ann

 

причём A' = (1) n a1α1 Lka iαi Lanαn = k · A , и всё доказано.

Определение. Пусть ei = (ai1 ai2 ... ain ) – строка матрицы, α – число. Произведением строки ei на число α называется строка α ei = (α ai1 α ai2 ... α ain ).

Аналогично определяется произведение столбца на число.

Свойство 6. Если каждый элемент строчки (столбца) исходной матрицы можно представить в виде суммы двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, определяемых первыми и вторыми слагаемыми; т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11

 

a12

...

a1n

 

a11

a12 ...

a1n

 

a11

a12 ...

a1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

...

 

...

...

 

... ... ... ...

 

... ... ... ...

 

 

 

 

 

A'

 

=

ai1 + bi1

ai2 + bi2

...

ain + bin

=

ai1

ai2 ...

ain

+

bi1

bi2 ...

bin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

...

 

...

...

 

... ... ... ...

 

... ... ... ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an1

 

an2

...

ann

 

an1

an2 ...

ann

 

an1

an2 ...

ann

 

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A'

 

=(1)δa1α1 L(aiαi +biαi

)Lanαn

=(1)δ a1α1 Laiαi

Lanαn L+(1)δa1α1 Lb1α1

Lanαn ,

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и следует требуемое равенство.

 

ain ) и

 

 

= (a j1

 

 

 

a jn )

 

 

 

 

 

 

 

Определение.

Пусть

 

= (ai1

ai2 ...

 

 

a j2

...

– две

строки

 

 

 

 

ei

ej

одинаковой

размерности.

 

Суммой

этих

 

 

строк

 

называется

строка

 

 

+

 

= (ai1 + a j1

 

ai2 + a j2

... ain

+ a jn ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ei

ej

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогичным образом определяется сумма столбцов одинаковой размерности.

Свойство 7. Если в определителе существуют две пропорциональные строки (столбца), то данный определитель равен нулю.

Доказательство. Если в определителе А элементы a jk = c aik для k =1,n , то A = с A' = 0 ,

поскольку в определителе А' i-ая и j-ая строки одинаковые.

Свойство 8. Если к строке (столбцу) определителя прибавить другую строчку (столбец), умноженную на некоторое число, то определитель не изменится

Данное свойство непосредственно следует из свойств 6 и 7.

Определение. Пусть е1 , ......, ek – это некоторые строки матрицы А. Линейной комбинацией данных строк с коэффициентами β1,K, βk мы назовем строку, получающуюся

следующим образом:

e = β1e1 + β2e2 +L+ βk ek = (β1a11 + β2a21 +L+ βk ak1 β1a12 + β2a22 +L+ βk ak 2 L L β1a1n + β2a2n +L+ βk akn ).

Аналогично определяется понятие линейной комбинации столбцов матрицы А.

Свойство 9. Если одна из строк (столбцов) определителя |А| является линейной комбинацией всех его остальных строк (столбцов), то данный определитель равен нулю.

Действительно, если одна из строк является линейной комбинацией остальных, то разложим определитель в сумму (n - 1) определителей, каждый из которых будет содержать две пропорциональные строки, и следовательно равен нулю.

Определение. Строчки е1, е2 ,K, еk называют линейно зависимыми, если найдется такой набор чисел α1 ,K,αn , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация

k

αi ei = 0 = (0 0 0 L 0).

i=1

Линейную комбинацию строк (столбцов) хотя бы с одним ненулевым коэффициентом называют нетривиальной.

Теорема. Система строк e1 ,K, en одинаковой размерности линейно зависима тогда и только тогда, когда одна из этих строк является линейной комбинацией остальных.

Доказательство. Допустим, что система строк e1 ,K, en линейно зависима, тогда найдется α1 ,K,αn (α12 +K+αn2 0) – такой набор чисел, чтоα1 e1 +K+αn en = 0 .

Поскольку найдется αi 0 ,то прибавляя к обеим частям равенства (αi ) ei , получим

α1

e1

+K+αn

en

= −αi

ei

данном

равенстве

слагаемое в левой

части

с индексом i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

отсутствует).

Умножив

 

 

обе

части

равенства

на

число

 

 

получим, что

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

αi

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

αj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= a*j

 

 

 

, где

a*j = −

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ei

e j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

i

 

 

 

 

 

 

 

 

αi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратно, если одна из строчек является линейной комбинацией всех остальных, то найдется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i ,

такое,

что

 

 

 

= a j

 

 

, тогда,

прибавив

к

обеим

частям

данного равенства (

 

),

 

ei

 

e j

 

ei

ji j=1

n

получим: ei + a j ej = 0 , и, таким образом, система строк e1 ,K, en линейно зависима, так

i j j =1

как в данной нулевой линейной комбинации αi = −1. Теорема доказана.

Свойство 10. Если между строками (столбцами) определителя существует линейная зависимость, то данный определитель равен нулю.

Действительно, если между строками определителя существует линейная зависимость, то одна из них является линейной комбинацией остальных, и следовательно определитель равен нулю.

6.4. Вычисление определителей.

Определение. Пусть А – квадратная матрица n-го порядка. Если мы вычеркнем из матрицы А i–ую строку и j–ый столбец, то определитель полученной матрицы (n - 1)-го порядка называют минором элемента аij и обозначают Мij. Алгебраическим дополнением элемента aij называют число

Aij = (1)i + j Mij .

Пример.

A =

1

2

3

, M33 =

 

1

2

 

, A33

= (1)3+3

 

1

2

 

, A23

= (1)2+3

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

4

1

2

 

 

 

 

 

.

 

6

7

9

 

 

4

1

 

 

 

 

4

1

 

 

 

 

6

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема. Если в матрице А существует строка, все элементы которой, за исключением одного, равны нулю, то определитель матрицы А равен произведению данного элемента на его алгебраическое дополнение.

Доказательство.

1. Пусть данный ненулевой элемент находится в первой строчке и в первом столбике матрицы

А, т.е., для

всех

j 1,

 

a1 j = 0 .

Тогда,

 

A

 

 

 

= (1)δ a1α1

a2α2

... anαn

,

то

так

как

a1α1

 

 

 

 

 

A

 

= (1)δ a11 a2α2

... anαn

= a11 (1)δ a2α2 ... anαn ,

где

 

 

 

 

 

подстановки

поскольку

по

определению

= 0

при

α1 1,

то

δ

определяется

чётностью

1

2

3 L n

 

 

.

 

α2

 

1

L L αn

Заметим, что каждое такое произведение (1)δ a2α2 .. anαn - это не что иное, как член минора М11, причём знак вхождения данного произведения в М11 будет то же самый, поскольку

 

1

2

K n 1

 

определяется чётностью подстановки

 

 

 

 

, составленной из индексов, с

 

1

α3 1

 

 

α2

K αn 1

 

которыми сомножители произведения входят в определитель М11. Таким образом, в этом случае

A = a11 M11 = a11 (1)1+1 M11 = a11 A11 .

2. Пусть все элементы i-ой строки, за исключением aij, равны нулю.

Меняем j-ый столбик местами с предыдущими столбцами до тех пор, пока он не окажется на первом месте. После этого, аналогичным образом, i-ю строчку поднимаем вверх. В результате мы

получаем определитель А, с единственным ненулевым первым элементом в первой строке. Заметим, что в результате этих преобразований определитель |А| поменяет знак (i + j – 2) раза. Полученный определитель A' = aij A'11 по доказанному первому пункту.

При указанной перемене местами строк и столбцов, элементы остальных строк и столбцов (кроме i-ой строки и j-го столбца) остались в том же положении относительно друг друга. Поэтому, вычеркивание i-ой строки и j-го столбца в исходной матрице А, и вычеркивание первой

строки и первого столбца в получившейся матрице А/

приводят к одному и тому же минору.

Тогда,

 

A'

 

= a

ij

A'

= a

ij

(1)1+1 M '

= a

ij

M

ij

. Но

 

 

A

 

= (1)i + j 2

 

A'

 

= (1)i + j a

ij

M

ij

= a

A .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ij ij

Теорема доказана.

Теорема. Определитель матрицы А равен сумме произведений элементов любого его столбца (строки) на их соответствующие алгебраические дополнения, т.е. если A = (aij )n×n , то

 

 

n

 

 

 

n

A

 

= akj Akj , и

 

A

 

= aik Aik для i, j =1,2,K,n .

 

 

 

 

 

k =1

 

 

 

k =1

Доказательство. Пусть

Тогда, поскольку

(ai1 ai2 L ain )= (ai1

 

 

a

a

L a

 

 

 

 

 

11

12

1n

 

 

 

 

a21

a22

K a2n

 

 

 

A =

K

K K K

 

 

 

 

a

K a

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

i1

i2

in

 

 

 

 

 

K

K K K

 

 

 

 

 

an2

 

 

 

 

 

 

an1

K ann

 

 

i

строку

мы

можем

представить

в

виде суммы:

0 0

L 0)+ (0 ai2

0 L 0)+... + (0 0

0

L ain ) строк с

единственным ненулевым элементом, то А можно представить в виде суммы n определителей

 

 

 

 

 

a11 K K

K a1n

 

 

 

 

 

 

K K K

K K

 

 

А

 

=

ai1 0 0

K 0

+

 

 

 

 

 

 

 

K K K

K K

 

 

 

 

 

 

an1 K K

K ann

 

 

 

 

 

a11 K K K

a1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K K K K K

 

 

+

 

 

0 0 0 K a1n

 

= ai1

 

 

 

 

K K K K K

 

 

 

 

 

 

an1 K K K ann

 

 

a11

K

0

K an1

Ai(11)

K K ai2

K K

+ai2

K

K a1n

 

K

K K

 

0

K

0

+

K

K K

 

K

K ann

 

A(2)

+a

A(3)

i2

i3

 

i3

a11

K K

K a1n

 

 

 

 

 

 

 

K K K

K K

 

 

 

 

 

 

 

0

0

ai3

K 0

 

+... +

 

 

 

K K K

K K

 

 

 

 

 

 

 

an1

K K

K ann

 

 

 

 

 

 

 

+.. + A(n) = a

A

+a

i2

A

+a

A

+... +a

A ,

 

in

i1

i1

 

i2

i3

i3

in

in

поскольку A( j) = A

для всех

j =

1, n

. Теорема доказана.

 

 

 

ij

ij

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

2

6

= 1 A + 1 A

21

+ 2 A

31

+ 2 A

,

 

 

 

 

2

1

2

3

11

 

 

41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

4

1

 

 

 

 

 

 

таким образом, вычисление данного определителя 4го порядка сводится к вычислению четырёх определителей третьего порядка. На практике, чтобы упростить вычисления, при помощи прибавления к строкам (столбцам) других строк (столбцов), умноженных на некоторые коэффициенты, получают вначале определитель с минимальным числом ненулевых элементов в некотором столбце (строке), а уже затем вычисляют его по данной теореме. Таким образом, значительно проще будет вычислять приведенный в примере определитель, используя подобный способ:

 

 

1

2

3

4

 

 

1

2

3

4

 

0

1

2

 

0

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

2

6

 

 

0

0

1

2

=1 (1)1+1

 

 

 

 

=

3

4

5

=

3

4

13

=

 

 

2

1

2

3

0

3

4

5

 

 

2

2

4

1

 

 

0

2

2 7

 

2 2 7

 

2

2

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (1) (1)1+2

 

3

13

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В данных вычислениях, в исходном определителе мы из второй строки вычитали первую, из 3й 1ю умноженную на 2, из 4й 1ю умноженную на 2, затем разложили по 1му столбцу. В полученном определителе 3го порядка к 3му столбику прибавляем 2й, умноженный на 2, и затем разлагаем его по 1й строчке.

Теорема. Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Доказательство. Пусть матрица

a

a

K a

 

11

12

1n

a21

a22

K a2n

 

K

K

K K

A =

 

a j 2

.

a j1

K a jn

 

 

 

 

 

K

K

K K

 

 

an2

 

an1

K ann

Пусть i

j , тогда, заменив в матрице А j-ю строку на i-ю, мы получим матрицу A ,

определитель которой A′ = 0 , поскольку в нём присутствуют две одинаковые строки. С другой

 

 

 

 

 

 

n

 

стороны

 

A

 

= aj1 Aj1 +... + ajn Ajn = aik Ajk , поскольку ajk = aik , а Ajk

= Ajk для всех

 

 

 

 

 

 

 

 

k =1

 

k =

 

. Теорема доказана.

 

1, n

 

§7. Формулы Крамера.

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными x1 , x2 ,K, xn :

(1)

Обозначим

(2)

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ ... + a

1n

x

n

= b

 

 

 

 

 

 

1

a

21 x1 + a 22 x2 + ... + a 2 n xn = b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.......... .......... .......... .......... ......

 

 

 

 

+ a n 2 x2

+ + a nn xn = bn

a n `1 x1

a

a

...

a

 

11

12

 

1n

a21

a22

...

a2n

A =

 

...

...

 

... ...

 

 

an2

...

 

 

an1

ann

– матрицу данной системы (1), и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B =

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bn

 

 

 

 

 

 

столбец,

состоящий

из

свободных

членов

данной

системы

(1).

Положим

 

A

 

= ∆ .

Далее, для каждого i =

 

определим определитель i следующим образом:

 

 

1, n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( i )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11 ...

b1 ...

a1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21 ...

b2 ...

a2 n

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i =

... ...

b3 ... ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

... ... ... ... ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an1 ...

bn ...

ann

 

 

 

 

т.е. определитель i получается из определителя ∆ заменой i-го столбца на столбец В свободных членов системы (1).

Теорема. Если система линейных уравнений (1) имеет матрицу с ненулевым определителем, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера

x =

1

, x

 

=

2

,K, x

n

=

n .

1

 

2

 

 

 

Доказательство. Пусть определитель матрицы А отличен от нуля и система (1) имеет решение x1 , x2 ,K, xn . Умножив 1е уравнение на А11, 2е на А21, … , n-е на An1, и сложив затем их все, получим равенство

x1 (a11 A11 + a21 A21 +... + an1 An1 ) + x2 (a12 A11 + a22 A21 +... + an2 An1 ) +... +

+ xn (a1n A11 + a2n A21 +... + ann An1 ) = b1 A11 + b2 A21 +... + bn An1

Заметим, что каждое из выражений, стоящее в скобках в левой части, кроме 1го, равно нулю в силу последней теоремы, а 1я скобка равна ∆, правая же часть совпадает с 1 , следовательно

x 1 ∆ = ∆ 1 , и x 1 =

1

.

 

 

Если бы мы первое уравнение умножили на А12, второе на А22, … , n-е на Аn2 и

просуммировали, мы бы получили x

2

=

2

,

и т.д., … , x

n

=

n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Докажем, что найденные значения

x1 , x2 ,K, xn действительно образуют решение системы

уравнений (1). Для каждого i =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

k

 

1

n

 

 

 

1

n

 

n

 

 

ai1 x1 + ... + ain xn = aik xk

= aik

=

aik k

=

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

aik

b j Ajk

k =1

 

k =1

 

 

k =1

 

 

 

k =1

j=1

 

 

=

1

∑∑n n (aik b j Ajk

)=

 

1

∑∑n n (aik b j Ajk )=

1

∑∑n n (b j aik Ajk )=

 

 

k =1

j=1

 

 

 

 

j=1 k =1

j=1 k =1

 

1

n

 

n

 

 

 

1

 

 

 

=

 

b j aik Ajk

=

 

 

 

bi ∆ = bi ,

 

 

 

 

 

 

j=1

 

k =1

 

 

 

 

 

 

 

и таким образом теорема полностью доказана.

§8. Матрицы и действия над ними.

Определение. Пусть даны две матрицы A = (aij )m×n и B = (bij )m×n одинаковой размерности над полем Р. Суммой данных матриц называют матрицу той же размерности, каждый элемент

A (B C)= (A B) C .

которой равен сумме соответствующих элементов первой и второй матрицы: Am×n + Bm×n = Cm×n

, где C = (cij )m×n , и cij = aij +bij для всех i =1, m и j =1, n .

Приведём некоторые свойства определённой нами операции сложения матриц.

1.A + B = B + A ;

2.(A + B)+C = A + (B +C);

3.0 = (0)m×n – нулевая матрица, является нейтральным элементом в данной алгебре матриц,

т.е. А+ 0 ;

4. A = (aij )m×n – обратный элемент для матрицы А по сложению.

Таким образом, множество матриц одинаковой размерности образует коммутативную группу

по сложению.

 

Определение. Пусть A = (aij )m×n , гдеaij P, и α P,

Р – некоторое поле.

Произведением матрицы А на число α мы будем называть матрицу D = α A , такую, что

каждый её элемент получен в результате произведения

элементов матрицы А на α , т.е.

D = (dij )m×n , где все элементы dij =α aij .

Определённая таким образом операция умножения матрицы на число обладает следующими достаточно очевидными свойствами, вытекающими из свойств операций поля Р:

1.(α β) A =α (β A)= β (α A);

2.0 A =0;

3.1 A = A ;

4.(α + β) A =α A + β A ;

5.α (A + B)=α A +α B ;

где α, β – любые элементы поля Р.

А размерности

m ×n

 

 

 

 

 

 

 

Заметим,

что любую

матрицу

можно представить

в виде строки

размерности m n , или столбца той же размерности.

 

m ×n

и n ×k соответственно, т.е.

 

Определение. Пусть А и В – матрицы размерности

A = (aij )m×n

и B = (bij )n×k . Произведением матрицы А на матрицу В мы будем называть матрицу

 

 

 

 

 

m ×k такую, что C = (cij )m×k , где

 

n

 

 

 

 

C = A B

размерности

cij = ais

bsj для всех i =

 

и

1, m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s=1

 

 

 

 

j =

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Другими

словами,

каждый

элемент cij

матрицы

С

равен

сумме

произведений

соответствующих элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.

Заметим, что умножение матриц определено в том и только в том случае, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй, поэтому произведение матриц, очевидно, не является коммутативной операцией. Отметим следующие свойства операции произведения матриц:

1. Ассоциативность, т.е.

Данное равенство справедливо для любых матриц А, В, С, для которых определено одно из произведений (т.е. из определённости левой части следует определённость правой и их равенство и наоборот).

2.

Дистрибутивность относительно сложения, т.е. (A + B) C = A C + B C ,

A (B +C)= A B + A C .

 

3.

α (A B)= (α A) B = A (α B)

для любого α Р.

4.

Если А – квадратная матрица

n-го порядка, то A E = E A = A, где Е – единичная

матрица n-го порядка, определяемая следующим образом:

1

0

0

K

0

 

 

0

1

0

 

0

 

 

 

K

 

 

E = K K K K

K

,

 

 

 

 

 

 

 

 

K K K K

K

 

 

0

0

0

K

1

 

 

 

 

 

т.е. Е – квадратная матрица, у которой по главной диагонали расположены единицы, а остальные элементы равны нулю.

5. Если А и В – квадратные матрицы n-го порядка, то A B = A B .

6. (A B)T = BT АТ . Здесь также из определённости левой части следует определённость

правой и их равенство, и наоборот.

Доказательство всех данных свойств, за исключением пятого, носит технический характер и не представляет сложностей, поэтому предлагается проделать самостоятельно.

Определение. Пусть А – квадратная матрица n-го порядка. Матрица An-го порядка, являющаяся обратным элементом для матрицы А относительно операции произведения матриц,

A = E ), и обозначается

называется обратной для матрицы А (т.е. A обратная, если

A A

= A

A1 в силу её единственности (при условии существования). Отметим, что не каждая квадратная матрица имеет обратную, например нулевая матрица, очевидно, не обладает обратной. Условие существования обратной матрицы для данной описывает следующая теорема.

Теорема. Квадратная матрица А n-го порядка имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда определитель А отличен от нуля.

Доказательство.

Достаточность. Пусть определитель квадратной матрицы А n-го порядка отличен от нуля, т.е.

a

 

a

 

...

a

 

 

 

 

11

 

12

 

 

1n

 

a

21

a22

...

a2 n

,

A =

 

...

...

...

 

 

...

 

 

 

 

an 2

...

 

 

 

 

an1

ann

 

и

 

A

 

0

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Рассмотрим матрицу А, определённую следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

A

A

21

...

A

n1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

A12

A22

...

An 2

 

,

 

 

 

 

 

A

=

 

...

... ...

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

A

2 n

...

A

nn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1n

 

 

 

 

 

где Аij

 

алгебраические дополнения элементов

~

 

aij матрицы А. Назовём А присоединенной

матрицей для матрицы А.

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

~

 

 

Покажем, что матрица A

 

Положим

 

A

 

 

 

 

обратная для исходной.

 

 

A = A .

 

 

 

 

 

 

1

 

~

 

 

1 ~

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(A A)= E , поскольку если cij - элементы матрицы (A A), то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно,

 

A

 

A

A =

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

0, i

cij = Asi asj =

 

A

 

, i =

 

 

s=1

 

 

 

j

 

 

1

 

~

 

1

~

 

.

Аналогично доказывается, что A

 

 

 

A

=

 

 

(A A )= E

j

 

 

 

A

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Необходимость. Пусть обратная матрица для матрицы А существует, докажем, что определитель А отличен от нуля. От противного, допустим, что A = 0 .

Тогда A A1 = E =1, но с другой стороны A A1 = 0 , получим противоречие, следовательно это предположение неверно. Теорема доказана.

Заметим, что данное доказательство дает конкретный способ нахождения обратной матрицы. Отметим ещё несколько достаточно очевидных свойств произведения матриц.

7.(A1 )1 = A.

8.(AB)1 = B1 A1 .

9.Множество квадратных матриц n-го порядка с операциями сложения и умножения

матриц образуют кольцо.

10. Множество квадратных невырожденных (т.е. с ненулевым определителем) матриц n-го порядка образует группу по умножению матриц.

§9. Ранг матрицы.

Определение. Пусть дана матрица Am×n . Выберем в этой матрице произвольным образом

некоторые к строк и к столбцов. Рассмотрим элементы матрицы А, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов. Определитель, состоящий из данных элементов, стоящих в том же порядке, называется минором к - го порядка матрицы А.

Например, для матрицы

2

3

4

5

 

 

6

1

2

3

 

A =

,

 

2

1

3

0

 

 

 

выбирая 1ую и 3ью строчку и 2й и 4й столбец, мы получим

 

 

 

2

3

4

5

 

 

 

 

 

6

1

2

3

 

3

5

- минор второго

A =

, и, таким образом мы получим определитель

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

3

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

порядка матрицы А.

Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличного от нуля минора

матрицы А.

А будем обозначать r(A), или rg(A). Очевидно, если A = (aij )m×n , то

Ранг матрицы

rg(A)m и rg(A)n одновременно.

Определение.

Элементарными преобразованиями матрицы A = (aij )m×n называются

следующие преобразования:

-перемена местами строк (столбцов);

-умножение всех элементов строки (столбца) на ненулевое число;

-прибавление к некоторой строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число;

-транспонирование матрицы.

Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Доказательство.

1). Рассмотрим произвольную матрицу А и поменяем местами i-ую и j-ую строчки, получим матрицу A. Тогда любой минор матрицы Aявляется либо минором матрицы А, либо может быть получен из минора матрицы А при помощи перемены местами строк. Поэтому ранг матрицы

Aбудет не больше ранга матрицы А. rg(A)rg(A)

Заметим, что матрица А получается из матрицы Aобратной перестановкой указанных строк, следовательно и rg(A)rg(A). Значит, rg(A)= rg(A).

2). Если в матрице А умножить j-й столбик на любое ненулевое число α, то получим матрицу A. Тогда минор матрицы A– либо минор матрицы А, либо минор, полученный умножением соответствующего минора матрицы А на число α.

Поэтому rg(A)rg(A).

Поскольку А получается из Aпри умножении j-го столбца на 1/α, то rg(A)rg(A), и следовательно rg(A)= rg(A).

3). Пусть к i-ой строчке матрицы А прибавлена j-ая строчка, умноженная на α. Получим матрицу A, где на i-ом месте будет стоять строчка следующего вида:

 

 

a11

 

 

 

a12

 

 

K

 

 

a1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

 

K

 

 

K

 

 

K

 

a

i1

+α a

j1

a

i2

+α

a

j2

K

a

in

+α a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jn

A′ =

 

K

 

 

 

K

 

 

K

 

 

K

 

 

 

a

j1

 

 

 

a

j2

 

 

K

 

 

a

jn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

 

K

 

 

K

 

 

K

 

 

 

am1

 

 

 

am2

 

 

K amn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим любой минор матрицы A.

Если он не содержит i-ую и j-ую строчки, то он является минором исходной матрицы.

Если он содержит i-ую и j-ую строчки, то его можно рассматривать как сумму двух миноров, где первый будет являться минором исходной матрицы, а второй будет равен 0, в силу того, что он содержит две пропорциональные строки.

Если же в выбранном миноре есть строчка j, а i-ой строки нет, то данный минор также является минором исходной матрицы.

Наконец, если минор не содержит j-ую строчку, но содержит i-ую, то он разлагается на сумму двух миноров, где первый– минор исходной матрицы, а второй – минор, полученный путем перестановки строк из минора исходной матрицы, и умножения строки на число.

Поэтому данное преобразование не увеличивает ранга матрицы. Но матрица А также может

быть получена из матрицы A

путем прибавления к i-ой строке

j-ой строки, умноженной на (–α),

 

 

 

 

 

 

 

следовательно rg(A )= rg(A).

 

 

 

 

= A

T

, то любой минор матрицы A

получается транспонированием минора

4). Если A

 

 

матрицы А, и следовательно rg(AT )rg(A), но поскольку (AT )T

= A , то rg(A)= rg(AT )

Теорема (о базисном миноре). Если ранг матрицы А равен числу r, то в данной матрице найдутся r линейно независимых строк (столбцов), и каждая строка (столбец) матрицы А может быть представлена в виде линейной комбинации данных r строк (столбцов).

Доказательство. Пусть матрица

 

 

 

 

 

 

a

11

a

12

 

a

1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

a21

a22

 

a2n

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

.……………

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a m1

a m2 a mn

 

и пусть rg(A)= r . Тогда существует максимальный минор М порядка r матрицы А, отличный от

нуля. Пусть он получен пересечением строк

 

 

i1 ,K,ir и столбиков j1 ,K, jr , т.е.

 

 

 

 

 

ai

 

j

 

ai

1

j

ai

j

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

M =

ai

 

j

 

ai

 

j

 

ai

 

j

 

.

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

2

 

2

 

 

2

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.………………….

 

 

 

 

 

 

ai

r

j

 

ai

r

j

 

ai

r

j

r

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

1) Докажем, что строки

 

i1 ,...,

 

матрицы А являются линейно независимыми.

e

eir

Допустим, это не

так. Тогда существует набор чисел α1, α2, ……, αr (и i, αi 0) такой, что

линейная комбинация

α1

ei

+ … + αr

 

=

0

.

e

 

 

1

 

ir

Данное равенство говорит о том, что линейная покомпонентная комбинация данных строк с указанными коэффициентами α1, α2, ……, αr равна нулю для каждой компоненты.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]