Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Lektsii_po_algebre_i_geometrii_Chast1_3

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
12.03.2016
Размер:
640.25 Кб
Скачать
x,y,z X

1) для x, y Y , x y Y

(т.е. Y вместе с любыми двумя своими элементами содержит их

произведение);

 

2) для x Y , x1 Y (т.е.

Y вместе с каждым элементом содержит и обратный для него).

Теперь мы рассмотрим некоторые бинарные алгебры с двумя заданными операциями. Определение. Алгебра (Х, · , + ) с двумя бинарными операциями называется кольцом, если

(Х,+) образует коммутативную группу, (Х, · ) – образует полугруппу и операция умножения “·” является дистрибутивной относительно операции сложения “+“, т.е. выполняются условия:

(x + y) z = x z + y z , и x ( y + z) = x y + x z .

Замечание. Порядок выполнения операций в алгебре (Х, · , + ) определяется с помощью скобок, однако принято считать, что при отсутствии таковых операция “·” имеет приоритетное значение по сравнению с операцией “+“.

Пример 6. Рассмотрим группу ({а}, · ) из примера 2, тогда, если мы определим операцию “+”, в {а}, полагая а + а = а · а, то получим алгебру ({а},+ , · ) – одноэлементное кольцо.

Пример 7. Множество целых чисел, с обычными операциями сложения и умножения (Z, + , · ) – является кольцом.

Пример 7. Положим Kf - множество всех числовых функций из множества Х в R . Определим сумму функций f + g = γ Kf следующим образом: γ(x) = (f+g)(x)= f (x)+g(x); и произведение

функций f · g= λ K f : λ(x) = (f · g)(x)=f(x) · g(x) для каждого x X.

Тогда алгебра (К, + , · ) является кольцом.

Действительно, определим нулевую функцию 0(х)=0 для x X , тогда она является

нейтральным элементом в множестве Kf

относительно операции“+“. ; для любой функции f Kf

функция (-f), определяемая: для x X,

(-f)(x) = - f(x) – обратная относительно операции “+”,

следовательно (Kf, + ) – коммутативная группа. Ассоциативность операции “·” и дистрибутивность её относительно “+” следуют из свойств сложения и умножения в R.

Определение. Алгебру (P, + , · ) называют полем, если выполняются следующие условия:

1)(P,+, · ) - кольцо.

2)(P\{o},· ) - является коммутативной группой, где 0 – это нейтральный элемент относительно операции “+”. Нейтральный элемент в поле (или кольце) относительно операции “·” обозначают 1 и называют единицей поля (кольца), а 0 – нулём поля (кольца).

Примерами полей могут служить: поле действительных чисел, а также поле (Q ,+, ·) – рациональных чисел. Заметим, что кольцо (Z, + , · ) не является полем.

Приведём некоторые свойства колец и полей.

Пусть (К,+, · ) – произвольное кольцо, тогда справедливы следующие равенства:

1) a · 0=0 · a=0 для а К.

Доказательство. a·0=a·(0+0)=a·0+a·0. Прибавим к обеим частям равенства -(а·0) – обратный для (а·0) по отношению к операции “+”, тогда, используя ассоциативность, получим:0=a·0+0=a·0, аналогично 0·a=(0+0)·a=0·a+0·a, и прибавляя к обеим частям -(0·а) получим 0=0·a+0, и следовательно 0=0·a.

2) -(a·в)=(-a)·в=a(-в) для а, в К.

Доказательство. Докажем, что -(a·в)=(-a)в. Действительно, в силу дистрибутивности (-a)·в+a·в=((-a)+a) ·в=0·в=0 по свойству 1, и следовательно (-a)·в=-(a·в) в силу единственности обратного элемента для a·в. Аналогично доказывается, что –(a ·в)=a ·(-в).

3) Определим разность элементов a-в следующим образом: a-в=a+(-в). Тогда, для а,в,с К справедливо равенство: (a-в)·c=a·c-в·c.

Действительно, (a-в)·c=(a+(-в)) ·c=a·c+(-в)·c=a·c+(-(в·c))=a·c-в·c.

Исключительно важную роль в современной математике играют булевы алгебры. Определение. Бинарная алгебра (В, + , · ) называется булевой алгеброй, если выполняются

следующие условия:

1)Операции “+”, “·” - коммутативны: для a,в B, a+в = в+a, a ·в = в ·a.

2)Операции дистрибутивны относительно друг друга: для a,в,c B (a+в)·c = a·c+в·c,

(a ·в)+c = (a+c)·(в+c).

3)! 0 B такой, что a+0 = a для a B;

! 1 B такой, что a ·1 = a для a B; - условие существования и единственности нулевого и единичного элементов.

4) Для ( a B) ( ! аB) такой, что a · а=0 ; a+ а=1 (закон исключённого третьего). Пример 8. Пусть Х – непустое множество. Обозначим 2Х - множество всех подмножеств множества Х. Тогда алгебра (2Х , ,) является булевой. Здесь в роли операции “+”

рассматривается операция объединения, а в роли операции “·” – операция пересечения двух множеств. Тогда нулём служит пустое множество, единицей – само множество Х, для каждого

У 2Х ,У′ = Х \ У.

Пример 9. Пусть В – множество всевозможных формул алгебры высказываний. Тогда, отождествляя равносильные формулы, мы получим булеву алгебру (B,V ,&), здесь дизъюнкция

служит операцией сложения “+”, а конъюнкция – операцией умножения “·”, роль нуля играет тождественно ложное, а роль единицы – тождественно истинное высказывания, для формулы А формула Aсовпадает с ¬A .

Более наглядно данную же алгебру представляет следующий пример.

Пример 10. Положим B={a,b}. Определим операции “+” и “·” в {a,b} следующим образом

a+a = a,

a·в = a,

a+в = в,

a·a = a,

в+a = в ,

в·a = a,

в+в = в,

в·в = в.

Тогда ({a,b}, + , · ) – булева алгебра, где 0=а, 1=в, а=в и в=а. Определение. Пусть задана булева алгебра

(1)(B, + , · ).

Для данной булевой алгебры мы рассмотрим другую структуру

(2) ( B, , (·)), где a в = a·в, a(·)в = a+в, и В= В. Заметим, что алгебра (2) также является булевой алгеброй, она называется двойственной к исходной алгебре (1). Нетрудно

видеть,

что

=1,

= 0

(где 0

и

ноль и единица алгебры (2)). Заметим также, что

0

1

 

1

-

алгебра

(1)

является

двойственной

для

алгебры (2), т.е. двойственная для двойственной

алгебры совпадает с исходной.

Отметим некоторые свойства булевых алгебр.

1.Двойственность. Если справедлива некоторая формула для произвольной булевой алгебры, то будет справедлива и двойственная ей формула, т.е. формула, которая получается из исходной заменой операции “+” на “·”, ”·” на “+”, 0 на 1, и 1 на 0. Данное свойство позволяет удваивать число формул.

2.a·a = a (а+а = а – двойственная) – идемпотентность.

Доказательство. a·a = a·a+0 = a·a+a· а

= a·(a+ а) = a·1 = a.

 

3. a·0 = 0, (а + 1 = 1) – подавление.

 

 

 

Доказательство. a·0 = a·0+0 = a·0+a· а

= a· (0+ а) = a· а=0.

 

4. Ассоциативность: (a·в)·c = a·(в·c), ((a+в)+c = a+(в+c)).

 

Доказательство.

Положим (а·в)·с =

х , a·(в·c) = y , тогда a+x=a+(a·в)·c) = (a+a·в)·(a+c) =

(a·1+a·в)·(a+c) =

a·1·(a+c) = a·a+a·c

= a·1+a·c = a·(1+·c) =a·1=a. Также а+y = a+a·(в·с) =

а·1+а·(в·с) = а·(1+в·с) = а·1 = а, и, следовательно, a+x = a+y.

 

Заметим далее, что

 

 

 

а+x = а+(a·в)·c = ( а+a·в)·( а+c) = ( а+a)·( а+в)·( а+c) = ( а+b)·( а+c) = а+ в·c

а+y = а+a·(в·c) = ( а+a)·( а+в·c) = а+в·c, и таким образом а+x = а+y

Рассмотрим полученную систему

a + x = a + y

 

 

 

 

 

 

 

a′+ x = a′+ y .

а+x) = (a+y)·( а+y),

Перемножая соответственно левые и правые части, получим: (a+x)·(

тогда а+x=a· а+y, откуда и следует, что x = y.

 

5. Обращение:

(a·в)= а+ в, ((a+в)= а· в).

 

Доказательство.

( а+ в)·(a·в) = а·(a·в)+ в·(a·в) =( а·a) ·в+( в·в) ·a

= 0·в+0·a =0. Заметим,

далее, что ( а+ в)+(a·в) = а+( в+a·в)= а+( в+a)·( в+в) = а+ в+a=( а+a) + в= в+1 = 1, тогда, в силу закона исключения третьего, а+ в= (a·в).

6.Закон поглощения: a·(a+в) = а , (a+a·в = a).

Доказательство. a·(a+в) = a·a+a·в = a·1+a·в = a· (1+в) = a

7.Склейка: (a+в)·(a+ в) = a+в· в= a+0 = a,

(a·в)+(a· в) = a.

8. ( а)= а закон двойного дополнения.

9.0′ =1,

1′ = 0 .

10.a + aв = а + в и а (а′+в) = а в законы частичного поглощения.

§5. Комплексные числа

5.1. Поле комплексных чисел

Рассмотрим R2 = R×R = {(x,y)}|x,y R} - декартов квадрат множества действительных чисел R. Напомним, что упорядоченные пары считаются равными: (x1,y1)=(x2,y2) Ù [(x1=x2) (y1=y2)]. Определим в R2 операцию сложения “+” упорядоченных пар следующим образом:

(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2).

Эта операция является ассоциативной и коммутативной в силу ассоциативности и коммутативности обычной операции сложения в множестве действительных чисел. Здесь существует нейтральный элемент (0,0)=O. Обозначим R2 = С. Отметим, что для каждого z C существует обратный (относительно операции сложения ”+”): если z = (x,y), то -(x,y) = (-x,-y)

Действительно, (x,y)+(-x,-y)=(0,0)=О. Таким образом (С, + ) – является коммутативной группой.

Введём операцию умножения “·” упорядоченных пар в множестве С полагая

(x1,y1)·(x2,y2) = (x1x2 -y1y2,x1y2+y1x2).

Заметим, что определённая таким образом операция умножения обладает следующими свойствами:

1)Коммутативность: (x1,y1)·(x2,y2)=(x2,y2)·(x1,y1) – следует из свойств умножения действительных чисел;

2)((x1,y1)·(x2,y2))·(x3,y3)=(x1,y1)·((x2,y2)·(x3,y3)) – ассоциативность. Действительно, (z1·z2)·z3 =

(x1x2-y1y2, x1y2+y1x2)·(x3,y3) = (x1x2x3-y1y2x3-x1y2y3-y1x2y3; x1y3x2-y1y2y3+x1y2x3+ y1x2x3) = (x1(x2x3-y2y3)- y1(x2y3+y2x3) = x1(y3x2+y2x3)+y1(x2x3-y2y3)) = (x1y1)(x2x3-y2y3, x2y3+y2x3) = (x1,y1)((x2,y2)(x3,y3))=z1·(z2·z3)

3) (1,0) – нейтральный элемент относительно операции “·”, так как (x,y)·(1,0) = (x,y). Будем обозначать пару (1, 0) = 1

4) Пусть (x,y)(0,0) – отличный от нуля элемент С. Тогда существует элемент

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

2

+ y

2

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

C ,

 

и

произведение

 

 

 

 

,

 

 

 

 

x

 

 

,0

 

= (1,0)=1,

 

2

 

2

 

2

 

 

 

2

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

 

2

 

2

 

+ y

x

+ y

 

 

 

 

+ y

x

+ y

2 (x, y)=

+ y

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

= (x, y)

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следовательно

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

, и таким образом (С/{0}, · ) является коммутативной

 

 

2

 

 

2

 

2

 

2

 

 

 

+ y

x

+ y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

группой.

Отметим, что операция умножения в (C, + , · ) дистрибутивна относительно сложения, т.е.

((x1,y1)+(x2,y2))(x3,y3) = (x1,y1)(x3,y3)+(x2,y2)(x3,y3) для xi,yi R, i =1,3 . Действительно:

(x1+x2, y1+y2)(x3,y3) = (x1x3+x2x3-y1y3-y2y3, x1y3+x2y3+y1x3+y2x3)((x1x3-y1y3)+(x2x3-y2y3), (x1y3+y1x3)+ (x2y3+y2x3)) = (x1,y1)(x3,y3)+(x2,y2)(x3,y3).

Значит (C, + , · ) является полем, назовем данную алгебраическую структуру полем комплексных чисел. Покажем, что в этом поле уравнение z2 = -1 имеет решение. Действительно,

если положим z=(0,1), то z2=(-1,0)=-(1,0)= -1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выделим в множестве С множество пар R,

у которых вторая компонента –

нулевая,

т.е.

R={(x,0)|x R}. Договоримся данную пару (0,1) обозначать i, т.е. i=(0,1).

 

 

 

 

Операции “+” и “·” будут определены в

R

,

т.е. для z, z

R

 

 

 

 

 

 

z z , z + z

 

R .

Действительно (x,0)+(y,0)=(x+y,0) R, и (x,0)·(y,0)

=

(x·y,0). Отметим,

что О R,

и 1 R,

следовательно ( R, + , · ) является полем, в то же время - подполем поля (С, + , · ).

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим множество действительных чисел R и отображение f : f(x)=(x,0) – множества R на R. f – является взаимнооднозначным отображением множества R на R, причём это отображение задаёт соответствие, сохраняющееся при операциях “+” и “·“, т.е., если x -> (x,0), y -> (y,0), то x+y -> (x+y,0), и x·y -> (x·y,0), или f(x+y)=f(x)+f(y)=(x,0)+(y,0), f(x·y)=f(x)·f(y)=(x,0)·(y,0).

Такие соответствия называются изоморфизмами алгебр, и изоморфные алгебраические структуры отождествляются. Следовательно, мы можем считать, что R – подполе C, поскольку R и R– изоморфны. При данном изоморфизме паре (а,0) Rсоответствует а R , в частности паре (0,0) соответствует 0.

Любое комплексное число z=(a,b) можно представить следующим образом: z=(a,0)+(в,0)·(0,1). Тогда, отождествляя в силу вышесказанного пару (а,0) с действительным числом а и пару (в,0) с

действительным

числом

в,

получим

алгебраическую

форму записи комплексного числа:

z = a + в i , причём тогда

0 i = 0 в силу свойств кольца (и непосредственно из определения

данной операции).

 

 

 

 

 

Заметим, что тот же самый результат мы можем получить, если

поставим в соответствие

каждому z=(а,в)

выражение вида z=a+в·i, и определим в множестве Cтаких выражений (т.е.

C′ ={z′ = a + в i | а, в R })

операции

сложения и

умножения

следующим образом:

(a+в·i)+(c+d·i)=(a+c)+(в+d)·i; (a+в·i)·(c+d·i)=(ac-вd)+(ad+вc) ·I . В таком случае, мы получим поле ( C, + , · ), изоморфное полю (С, + , · ) в силу определения операций в C.

Запись комплексного числа в алгебраической форме позволяет нам пользоваться всеми свойствами операций + и · в множестве R действительных чисел (коммутативностью, ассоциативностью, дистрибутивностью и т.д.). Таким образом, например, при умножении комплексных чисел в алгебраической форме, мы можем действовать привычным для нас образом:

если

z = a + в i

 

и

z

2

= c + d i ,

то, отождествляя i2 = −1 + 0 i = −1,

получаем

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z z

2

= (a + в i) (c + d i) = ac + ad i + bc i + bd i2 = ac bd + (ad + bc) i .

 

При

делении

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1

 

a + b i

 

комплексных чисел в алгебраической форме поступают следующим образом:

=

=

z2

 

 

(a + b i)(c d i)

 

 

ac + bd + (bc ad ) i

= ac + bd +

(bc ad )

 

 

c + d i

=

 

=

i .

 

 

 

 

 

(c + d i)(c d i)

 

c2 + d 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2 + d 2

c2 + d 2

 

 

 

 

 

5.2. Геометрическая интерпретация поля комплексных чисел.

У

М(х,у)

γ

О

Х Х

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат на плоскости ХОY. Тогда каждому комплексному числу z = x + y i мы можем поставить в соответствие точку плоскости М(x,y) c

данными координатами. Заметим, что установленное таким образом соответствие между комплексными числами и точками плоскости является взаимнооднозначным. Существует взаимнооднозначное соответствие между точками плоскости и радиус-векторами данных точек

(точке М соответствует вектор ОМ ), и таким образом устанавливается взаимнооднозначное соответствие между комплексными числами и радиус-векторами точек плоскости, соответствующих данным числам. При данном соответствии множеству R действительных чисел соответствует множество точек оси ОХ.

Каждый вектор ОМ характеризуется длинной и направлением. Полагая r – длина вектора, а γ - угол, образуемый данным вектором ОМ с положительным направлением оси ОХ,

(отсчитываемый против часовой стрелки), мы получим полярную систему координат на плоскости, когда каждой точке плоскости М с координатами (х,у) (и, соответственно, радиус-

вектору ОМ данной точки), соответствует упорядоченная пара действительных чисел ( r,γ ), причем декартовы координаты точки связаны с полярными следующим образом: x = r cosγ , y = r sinγ .

Таким образом,

используя полярную

систему

координат,

каждое

комплексное число

z = x + y i

мы

 

можем

 

представить

 

следующим

 

 

образом:

z = x + y i = r cosγ

+ (r sinγ ) i = r(cosγ +i sinγ ) . Данное

представление называется

тригонометрической формой комплексного числа. При этом длина вектора

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

ОМ

соответствующего числу

z ,

называется модулем комплексного числа z и обозначается

 

 

z

 

, а угол

 

 

γ - аргументом числа

z ,

и обозначается

Argz .

Отметим, что модуль комплексного числа

определен однозначно, и

z = х2 + у2

, а аргументынет, они отличаются друг от друга на 2πk ,

где k - любое целое число,

т.е. если

γ = Argz , то

γ + 2πk

также будет аргументом z . Если

π < Argz π ,

то

он

обозначается

arg z , и называется

главным

значением

аргумента

комплексного числа z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.3. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Пусть z1 = x1+i·y1= r1· (cosγ1 + i ·sinγ1 ); z2 = x2+i·y2= r2· (cosγ2 + i ·sinγ2 ).

Тогда z1·z2=r1·r2(cosγ1·cosγ2+i·(sinγ2·cosγ1+cosγ2·sinγ1)+i·i·sinγ1sinγ2)=r1·r2(cos(γ12)+i·sin(γ12)).

Таким образом, при умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются. Данное свойство распространяется на произведение любого конечного числа комплексных чисел, и позволяет легко находить степень комплексного

числа zn при n N .

 

 

 

 

 

zn=rn ·(cosnγ + i· sinnγ); это

 

 

 

 

Если z=r·(cosγ + i· sinγ), то из выше сказанного следует, что

равенство называется формулой Муавра. Введём в С

операцию деления на ненулевые элементы,

полагая

 

 

z1

= z1 z 21 ,

тогда, поскольку

1=1·(cos0

+

i·sin0)

и

z2=r2·(cosγ2+i·sinγ2),

и

то

 

 

z 2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

1

=

 

 

(cos(-γ ) +i·sin(-γ )) в силу единственности обратного элемента для данного в группе, и

 

2

 

 

r1

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1

 

=

r1

 

(cos(γ1 - γ2)

+ i·sin(γ1 - γ2)),

таким образом,

при

делении комплексных

чисел

в

 

z

2

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тригонометрической форме, модуль первого делится на модуль второго, а аргумент второго вычитается из аргумента первого.

 

 

 

Далее мы рассмотрим вопрос извлечения корня n-й степени из комплексного числа z при

n N .

Мы будем полагать z′ = n z ,

если справедливо равенство (z)n

= z . Если число z в

тригонометрической форме имеет вид

z = r (cosγ + i sin γ )

и

z′ = r(cosγ ′+i sin γ ), то по

формуле

Муавра

(r)n (cos n γ ′+i sin n γ )= r (cosγ +i sin γ ),

откуда, в силу

единственности представления,

 

(r)n = r , cos n γ ′ = cosγ ,

sin n γ ′ = sin γ , следовательно,

r′ = n r , и n γ′ = γ + 2πk , k Z , отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

γ + 2πk

 

 

n

 

n

 

γ + π

 

γ

+ 2πk

 

 

γ

=

 

n

 

, и таким образом,

z =

r (cos

2 k

+i sin

),где k=0,…,n-1.

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно, заметим, что (n z)k=n =(n z)k=0 , (n z )k =n+1 =(n z )k =1 ,…, (n z )k =2 n1 =(n z )k =n1 , и т.д.

Таким образом, придавая k значения от 0 до n-1, мы получим n различных корней, которые геометрически будут лежать на окружности радиуса r′ = n r , и отличаться каждый от соседнего

на угол 2nπ . При всех остальных целых k мы будем попадать в эти уже построенные точки.

5.4. Комплексно-сопряженные числа

Если z = x + y i – комплексное число, то число z = x y i =x называют сопряжённым

для z.

Отметим некоторые свойства сопряжённых чисел:

1)z = z ;

2)комплексные числа z и z расположены симметрично относительно оси ОХ;

3)arg z = −arg z ;

4)z z = z 2 ;

5)z1 ± z2 = z1 ± z2 ;

6)z1 z2 = z1 z2 ;

7)z1 = z1 . z2 z2

Доказательство данных свойств не представляет затруднений и носит технический характер.

5.5. Корни из единицы

Поскольку

1 =1(cos0 +isin 0) , то для любого n N

n

 

n

 

0 + πκ

 

0 +

πκ

 

 

1 =

 

1(cos

2

 

+isin

2

), где

 

 

n

 

n

 

κ = 0,n 1

 

- все корни из единицы, т.е. ε j = (n 1)k = j1 , j =1,2,..., n .

 

Пусть ε1,ε2,...,εn

Заметим, что данные корни лежат на окружности единичного радиуса и делят её на п равных частей. Отсюда следует, что все эти корни можно разбить на пары сопряжённых чисел.

Отметим также, что для любого комплексного числа z все его корни n-ой степени могут быть получены при умножении любого одного из его корней z′ = n z на все корни n-й степени из единицы: ε1,...,εn . Действительно, из вышесказанного следует, что корни из единицы ε1,...,εn

лежат на окружности единичного радиуса через угол 2nπ , и, следовательно, произведение

выбранного корня zна них также даст нам такое же расположение полученных чисел, только на окружности радиусом n r , где r = z . Таким образом, мы получаем п различных комплексных

чисел. Заметим, что все эти произведения являются корнями п-й степени из z, поскольку

(zε j )n = (z)n ε nj = z 1 = z .

Отметим, что все корни п-й степени из z, также как и корни из единицы, разбиваются на пары сопряжённых чисел.

5.6. Показательная форма комплексного числа.

Рассмотрим комплексное число z в тригонометрической форме z = r (cosγ + i sin γ ) и

обозначим еiγ = (cosγ + i sin γ ). Тогда число z можно записать в виде: z = iγ , данный вид

называется показательной формой комплексного числа z. Исходя из свойств операций умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме, мы получим справедливость

следующих равенств: zn = rn еi(nγ ) ; если z

= r еiγ1

и

z

2

= r еiγ2

, то z

z

2

= r r еi(γ1 +γ 2 )

, а

z1

 

 

1

1

 

 

2

1

 

1

2

 

= r r еi(γ1 γ 2 )

, и таким образом еiγ обладает известными нам свойствами показательной

 

z2

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функции. Отметим также, что корни из комплексного числа z в показательной форме имеют вид:

γ +2πк

n z = n r е n , где k=0,…,n-1.

ГЛАВА 2

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

§6. Определители и их свойства.

6.1. Определители второго и третьего порядков.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

a1x + a2 y = c1b1x + b2 y = c2

где ai , bi и сi элементы некоторого поля (P, +, · ). Договоримся элементы поля Р называть в дальнейшем числами. Умножим обе части первого уравнения на b1 и вычтем из него соответствующие части второго, умноженные на a1, тогда получим равенство:

(a2b1 a1b2 )y = b1c1 a1c2 .

Аналогично, умножая первое уравнение на b2 и вычитая из него второе, умноженное на a2,

получим равенство:

 

(a1b2

a2b1 )x = c1b2 c2a2 . Положим a1b2 a2b1 = ∆, тогда, если ∆ ≠ 0, то,

если мы определим операцию деления в (P, +,·), естественным образом полагая, что

с

= cd 1 (при

 

 

 

= b2c1 a2c2

 

y = a1c2 b1c1

 

 

 

d

d ≠ 0), то получим x

,

, где ∆ = a 1 b 2

a 2 b 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим: c b

2

a

2

c

2

= ∆

1

,

a c

2

c b = ∆

2

, тогда x = 1 , y = 2 .

 

 

1

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последние равенства называются формулами Крамера.

Решение данной системы уравнений с двумя неизвестными естественным образом приводит нас к определению матрицы и определителя второго порядка.

Определение. Квадратную таблицу, состоящую из двух строк и столбцов элементов поля Р

a

a

 

11

12

 

A =

 

 

a21

a22

мы назовём квадратной матрицей второго порядка над полем Р.

Определителем квадратной матрицы А второго порядка называют число, полученное следующим образом:

A= a11a12 = a11a22 a12a21 a21a22

Сучётом данного определения отметим, что величины , 1 , 2 , участвующие в приведённых формулах Крамера, совпадают с определителями второго порядка:

∆ =

a1

a2

, 1 =

c1

a2

, 2

=

a1

c1

,

 

b1

b2

 

c2

b2

 

 

b1

c2

 

где 1 получается из заменой первого столбика на столбик из свободных членов c1 , c2 , а 2 - заменой второго столбика в на указанный столбец.

Определение. Пусть

 

 

 

a

a

a

 

11

12

13

 

A = a21

a22

a23

 

 

a32

a33

 

a31

 

квадратная матрица третьего порядка над полем P. Определителем квадратной матрицы А

третьего

 

порядка

называют

число,

полученное

следующим

образом:

 

 

 

 

a11

a12

a13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

=

a21

a22

a23

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33

 

 

 

 

 

 

a31

a32

a33

 

 

 

 

 

 

Формулы Крамера справедливы также и для системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

a11 x + a12 y + a13 z = c1a 21 x + a 21 y + a 23 z = c 2a31 x + a 32 y + a33 z = c3

Пусть ∆ = A 0 , тогда данная система имеет единственное решение, которое находится по

формулам:

x = 1 , y = 2 , z = 3 ,

Где ∆i получается из определителя ∆ путём замены i-го столбика на столбик из свободных членов с123, i =1,3 . Данное утверждение будет нами доказано в дальнейшем.

6.2. Определитель n-го порядка.

Рассмотрим множество P первых n натуральных чисел: P = {1,2,..., n}. Если все эти числа записать в определенном порядке так, чтобы они не повторялись, то получим упорядоченную n – ку, являющейся элементом n – ой декартовой степени множества P, например (1,2,..,n) Pn - упорядоченная n-ка, причём напомним, что, например, (2,1,..., n) (1,2,..., n) .

Любая такая упорядоченная n-ка будет называется перестановкой.

Выясним сколько всего перестановок из элементов Р существует: на первом месте может быть любое из n чисел, на втором (при выбранном первом) – любое из оставшихся n-1 и т.д. Таким образом, количество всех различных вариантов выбора элементов составляет произведение n!=1·2 ….. (n-1)·n (n факториал), следовательно, количество всех возможных перестановок первых n чисел равно n!

Рассмотрим произвольную перестановку 1, α2, … , αn). Будем говорить, что пара i, αj) образует инверсию, если i < j , но αi > αj. Будем говорить, что перестановка четная, если в ней содержится четное число инверсий, и нечетная в противном случае.

Транспозицией будем называть перемену местами двух элементов перестановки.

Теорема. Одна транспозиция меняет чётность перестановки.

Доказательство. Рассмотрим перестановку 1, … ,αi, … , αj, … , αn). Совершим транспозицию двух элементов: поменяем местами αi и αj. Если эти элементы соседние, то утверждение следует из того, что инверсии выбранных элементов с остальными элементами остаются такими же, а расположение их относительно друг друга меняется.

Пусть ј = і+ĸ, и ĸ≠1.

После транспозиции элементов αi и αj мы получим перестановку 1,… ,αj,… , αi,,… , αn). Здесь, все оставшиеся элементы (кроме αi и αj) будут составлять между собой те же инверсии, что и раньше. Данную перестановку можно также получить следующим образом: в исходной

перестановке меняем местами α і с

α і+1, затем α і с α і+2, и

т.д., …, и наконец αі с

αj. Всего

при

этом

мы

совершим

к

транспозиций,

и

получим

перестановку

(α1 ,K,αi +1 ,

αi + 2 ,

L αi + k ,αi ,K,αn ).

Сделав затем (к - 1) транспозиций

элемента αi+k с

предыдущими, мы получим требуемую

перестановку, где элементы

α і и

α ј

меняются

местами(относительно исходной).

 

 

 

 

 

 

Таким образом, требуемую перестановку можно получить, совершив (2k - 1) транспозиций соседних элементов. Полученная перестановка, следовательно, имеет другую четность, нежели исходная, и предложение доказано.

Определение. Пусть Р ={1,2, ...,

 

n}. Взаимнооднозначное отображение φ множества Р на

себя называется подстановкой n-ой степени. Всякую подстановку можно записать в виде:

(*)

 

 

α

1

L

 

α

n

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ(α1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

L ϕ(αn )

 

или, в каноническом виде:

 

 

 

 

 

 

 

n

 

(1)

 

 

1

 

2

L

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β1

β2

L

 

 

 

 

 

 

 

βn

 

где 1, … , αn) - любая перестановка элементов из множества Р, а (φ(α1),…, φ(αn)) – тоже перестановка, состоящая из образов элементов верхней перестановки при данном отображении φ, причем βi = ϕ(i) при всех i =1,2,…,n.

Подстановка называется четной, если четности верхней и нижней перестановок, образующих ее, совпадают, и нечетной в противном случае. Подстановку вида (*) очевидно можно привести за конечное число транспозиций одновременно верхних и нижних соответствующих друг другу элементов к каноническому виду (1). Четности подстановок (*) и (1) совпадают, поскольку каждая такая транспозиция меняет одновременно четность верхней и нижней перестановок, составляющих подстановку, поэтому данное определение четности и нечетности подстановки является корректным.

Заметим, что множество всех подстановок n-ой степени образует группу преобразований множества P, а все четные подстановки в ней образуют подгруппу.

Определение. Прямоугольную таблицу, состоящую из n-строк и m-столбцов, элементами которой являются элементы некоторого поля Р, мы будем называть матрицей размерности n×m на полем Р.

a

11

a

12

L

a

 

 

 

 

 

 

1m

А= a21

a22

L a2 m

 

L

L

L

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an 2

 

 

 

an1

L anm

Каждый элемент аіј матрицы А имеет два индекса: первый индекс указывает номер строки, а второй - номер столбца, в котором находится данный элемент. Будем данную матрицу А обозначать также:

А=(аіј)n×m, и А=[аіј]n×m.

Замечание. В дальнейшем мы рассматриваем матрицы и определители над полем действительных чисел, но все рассуждения и результаты без ограниченной общности переносятся на случай любого другого поля.

Если число строк и столбцов матрицы А совпадает и равно n, то матрица А называется

квадратной матрицей n-ого порядка.

Определение. Пусть матрица А – это квадратная матрица n-ого порядка. Определителем матрицы А называется сумма всевозможных произведений элементов матрицы А, стоящих в различных строках и столбцах, взятых со знаком “+” или “-” в зависимости от четности подстановки, образуемой индексами элементов произведения.

Данное определение справедливо и для определителя 1-ого порядка. Таким образом, обозначая определитель матрицы А как |А|, получим, что

A = (1)δ a1α1 a2α2 ... anαn ,

где δ=1, если перестановка 1, …, αn) – нечетная, и δ=0, если перестановка 1, . . .,αn)- четная. Каждое слагаемое указанной суммы мы будем называть членом определителя |А|. Заметим, что число различных членов определителя равно n!.

6.3. Свойства определителей.

Свойство 1. Если в определителе существует строчка (столбец) состоящая из одних нулей, то данный определитель равен нулю.

Определение. Матрица А'= (aij)m×n называется транспонированной матрицей для матрицы

А=(аіј)n×m и обозначается Ат, если для любых индексов і=1,m и ј=1,n выполняется условие а'іј=

ајі.

Столбцами матрицы А' являются соответствующие строки матрицы А, а строчками матрицы А' – соответствующие столбцы матрицы А.

Например, если А= 1

2

3

 

 

Ат=

1

4

 

, то

 

2

5

.

 

4

5

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что (Ат)т = А.

Свойство 2. При транспонировании матрицы её определитель не меняется.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]