9
Числа
«Перемалывание чисел» (решение числовых задач большого объема) – одна из сильных сторон Лиспа. В нем имеется богатый набор числовых типов, а по их поддержке он даст фору многим другим языкам.
9.1. Типы
Common Lisp предоставляет множество различных числовых типов: це лые числа, числа с плавающей запятой, рациональные и комплексные числа. Большинство функций, рассмотренных в этой главе, работают одинаково со всеми типами чисел, за исключением, может быть, ком плексных чисел, к которым некоторые из этих функций не применимы.
Целое число записывается строкой цифр: 2001. Число с плавающей за пятой, помимо цифр, содержит десятичный разделитель – точку, на пример 253.72, или 2.5372e2 в экспоненциальном представлении. Рацио нальная дробь представляется в виде отношения двух целых чисел: 2/3. Комплексное число вида a+bi можно записать как #c(a b), где a и b – два действительных числа одного типа.
Проверку на принадлежность к соответствующему типу осуществляют предикаты integerp, floatp и complexp. Иерархия численных типов пред ставлена на рис. 9.1.
Ниже приведены основные правила, согласно которым можно опреде лить, число какого типа будет получено в результате вычисления:
1.Если функция принимает хотя бы одно число с плавающей запя той, она также вернет десятичную дробь (или комплексное число, компоненты которого – десятичные дроби) . Так (+ 1.0 2) вернет 3.0, а (+ #c(0 1.0) 2) вернет #c(2.0 1.0).
2.Рациональная дробь при возможности будет сокращена до целого числа. Вызов (/ 10 2) вернет 5.
9.2. Преобразование и извлечение |
155 |
3.Комплексные числа, мнимая часть которых равна нулю, будут преоб разованы в действительные. Таким образом, вызов (+ #c(1 -1) #c(2 1)) вернет 3.
Правила 2 и 3 вступают в силу в момент считывания выражения, по этому:
> (list (ratiop 2/2) (complexp #c(1 0))) (NIL NIL)
ratio
rational bignum integer
fixnum bit
real |
|
short float |
|
|
|
||
number |
float |
single float |
|
double float |
|||
|
|
||
|
|
long float |
|
complex |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9.1. Численные типы |
|
|
9.2.Преобразование и извлечение
ВЛиспе имеются средства для преобразования, а также извлечения компонентов чисел, принадлежащих любым типам. Функция float пре образует любое действительное число в эквивалентную ему десятичную дробь:
> (mapcar #’float ’(1 2/3 .5)) (1.0 0.66666667 0.5)
Также можно конвертировать любое число в целое, но к этому преобразо ванию не всегда следует прибегать, поскольку это может повлечь за со бой некоторую потерю информации. Целочисленную компоненту любо го действительного числа можно получить с помощью функции truncate:
> (truncate 1.3) 1 0.2999995
Второе значение является результатом вычитания первого значения из аргумента. (Разница в .00000005 возникает вследствие неизбежной неод нозначности операций с плавающей запятой.)
Функции floor, ceiling и round также приводят свои аргументы к цело численным значениям. С помощью floor, возвращающей наибольшее целое число, меньшее или равное заданному аргументу, а также ceiling, возвращающей наименьшее целое, большее или равное аргументу, мы
156 |
Глава 9. Числа |
можем обобщить функцию mirror? (стр. 62) для распознавания палинд ромов:
(defun palindrome? (x)
(let ((mid (/ (length x) 2))) (equal (subseq x 0 (floor mid))
(reverse (subseq x (ceiling mid))))))
Как и truncate, функции floor и ceiling вторым значением возвращают разницу между аргументом и своим первым значением:
> (floor 1.5) 1 0.5
В действительности, мы могли бы определить truncate таким образом:
(defun our-truncate (n) (if (> n 0)
(floor n) (ceiling n)))
Для получения ближайшего к аргументу целого числа существует функ ция round. В случае когда ее аргумент равноудален от обоих целых чи сел, Common Lisp, как и многие другие языки, не округляет его, а воз вращает ближайшее четное число:
> (mapcar #’round ’(-2.5 -1.5 1.5 2.5)) (-2 -2 2 2)
Такой подход позволяет сгладить накопление ошибок округления в ря де приложений. Однако если необходимо округление вверх, можно на писать такую функцию самостоятельно.1 Как и остальные функции та кого рода, round в качестве второго значения возвращает разницу меж ду исходным и округленным числами.
Функция mod возвращает второе значение аналогичного вызова floor, а функция rem – второе значение вызова truncate. Мы уже использовали функцию mod (стр. 107) для определения делимости двух чисел и для на хождения позиции элемента в кольцевом буфере (стр. 137).
Для действительных чисел существует функция signum, которая воз вратит 1, 0 или -1 в зависимости от того, каков знак аргумента: плюс, ноль или минус. Модуль числа можно получить с помощью функции abs. Таким образом, (* (abs x) (signum x)) = x.
> (mapcar #’signum ’(-2 -0.0 0.0 0 .5 3)) (-1 -0.0 0.0 0 1.0 1)
В некоторых реализациях -0.0 может существовать сам по себе, как в примере, приведенном выше. В любом случае это не играет роли, и в вычислениях -0.0 ведет себя в точности как 0.0.
1Функция format при округлении не гарантирует даже того, будет ли получе но четное или нечетное число. См. стр. 136.
9.3. Сравнение |
157 |
Рациональные дроби и комплексные числа являются структурами, со стоящими из двух частей. Получить соответствующие целочисленные компоненты рациональной дроби можно с помощью функций numerator и denominator. (Если аргумент уже является целым числом, то первая функция вернет сам аргумент, а последняя – единицу.) Аналогично функции realpart и imagpart извлекают действительную и мнимую час ти комплексного числа. (Если аргумент не комплексный, то первая вер нет это число, а вторая – ноль.)
Функция random принимает целые числа или десятичные дроби. Выра жение вида (random n) вернет число, большее или равное нулю и мень шее n, и это значение будет того же типа, что и аргумент.
9.3. Сравнение
Для сравнения двух чисел можно применять предикат =. Он возвраща ет истину, если аргументы численно эквивалентны, то есть их разность равна нулю:
>(= 1 1.0)
T
>(eql 1 1.0) NIL
Он менее строг, чем eql, так как последний также требует, чтобы его ар гументы были одного типа.
Предикаты для сравнения: < (меньше), <= (меньше или равно), = (равно), >= (больше или равно), > (больше) и /= (не равно) . Все они принимают один или более аргументов. Вызванные с одним аргументом, они всегда возвращают истину. Для всех функций, кроме /=, вызов с тремя и более аргументами:
(<= w x y z)
равноценен объединению попарных сравнений:
(and (<= w x) (<= x y) (<= y z))
Так как /= возвращает истину, лишь когда ни один из аргументов не ра вен другому, выражение:
(/ w x y z)
эквивалентно
(and (/= w x) (/= w y) (/= w z) (/= x y) (/= x z) (/= y z))
Существуют также специализированные предикаты zerop, plusp и minusp, принимающие только один аргумент и возвращающие истину, если он =, > или < нуля соответственно. Эти предикаты взаимоисключающие. Что касается -0.0 (если реализация его использует), то, несмотря на знак минус, это число = 0