11.3. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Комплексное число можно изобразить на координатной плоскости (комплексной области) точкой с координатами, либо радиус-вектором(рис. 11.1).

	Определение 11.5. Длина вектора называется модулем комплексного числа:. Определение 11.6. Угол , образованный вектором и положительным направлением оси называетсяаргументом комплексного
рис. 11.1.

числа. Обозначают , причем

, .

Здесь - главное значение аргумента.

Замечание 11.2. Из рис. 12.1 видно, что справедливы следующие равенства: ,.

Учитывая замечание 12.2, можно сформулировать следующее определение.

Определение 11.7. Тригонометрической формой комплексного числа называется запись вида

.

С помощью тригонометрической формы удобно находить произведение и частное комплексных чисел.

Пусть ,, тогда

,

.

Возведение комплексного числа в натуральную степень находится по формуле

.

(11.1)

Корень -ой степени из комплексного числа имеет различных значений, которые выражаются формулой

, где .

(11.2)

Замечание 11.1. Точки, соответствующие значениям , являются вершинами правильногоугольника, вписанного в окружность радиусас центром в начале координат.

Формулы (11.1) и (11.2) называются формулами Муавра-Лапласа.

Определение 11.8. Показательной формой комплексного числа называется запись вида

.

Пример 11.2. Записать комплексное число в алгебраической форме.

Решение. .

Пример 11.3. Записать в тригонометрической форме комплексные числа:

1) ; 2); 3).

Решение. 1) , откуда.

2) , откуда.

3) , откуда.

Пример 11.4. Вычислить .

Решение. Представим комплексное число в тригонометрической форме:,, следовательно,

.

Тогда в силу формулы (11.1) имеем

.

Пример 11.5. Найти все значения корня: .

Решение. Представим комплексное число в тригонометрической форме:,, следовательно,

.

Тогда в силу формулы (11.2) получаем

, где .

При :.

При :.

При :.

11.4. Множества комплексной плоскости

Пусть ,.Заметим, что неравенство , или, что тоже самое,, задает круг с центром в точкерадиуса. Неравенствозадает полуплоскость, расположенную правее прямой, а неравенство- полуплоскость, расположенную выше прямой. Кроме того, система неравенствзадает угол между лучамии, выходящими из начала координат.

Пример 11.6. Нарисовать множество точек плоскости комплексного переменного , которые определяются заданными условиями:

1) ; 2); 3); 4).

Решение. 1) (рис. 12.2).

	2) Первому неравенству соответствует кольцо с центром в точке и двумя радиусами 1 и 2, окружности в область не входят (рис. 12.3). Второму неравенству соответствует угол между лучами(биссектриса 4 координатного угла) и
рис. 11.2.

(положительное направление оси ). Сами лучи в область не входят (рис. 11.4). Искомая область является пересечением двух полученных областей (рис. 11.5).

рис. 11.3.	рис. 11.4.	рис. 11.5.

3)

(рис. 11.6).

	4) - действительная полуось, включая точку . Пример 11.7. Написать в комплексной форме уравнение окружности .
рис. 11.6.

Решение. Так как , то справедливы следующие выражения,и. Подставляя в уравнение окружности, получаем

.